We bewijzen nu dat we elke welgevormde haakuitdrukking in een vier dimensionale basis kunnen weergeven, basis die gevormd wordt door de vier standpunten, noem deze p, q, r en s die altijd een welgevormde haakuitdrukking vormen als creatief product patroon.
We nemen als voorbeeld H=s•p⊕s•q⊕r•p⊕<r•q>. We moeten dat zien als een patroon van vier 2-vectoren. Er zijn nog 2 2-vectoren mogelijk met de vier standpunten, namelijk p•q en r•s die dan samen de 4-vector p•q•r•s vormen. De manier om deze te karakteriseren in het patroon is dat ze gevormd worden door het product van twee 2-vectoren uit het patroon, bijvoorbeeld (s•p)•(s•q) is niet anders dan p•q en (s•q)•(r•p) is niet anders dan p•q•r•s. Bij (s•p)•(s•q)=p•q herkennen we dat een onafhankelijk standpunt altijd mogelijk is en geconstrueerd wordt door de vectorvermenigvuldiging. Er zal immers altijd een gedeelte van de werkelijkheid onafhankelijk zijn van gelijk welk standpunt om de werkelijkheid te modelleren. Dit inzicht is de relativiteit zoals ze in het haakformalisme kan gemodelleerd worden.
De 2-vectoren die niet in de som voorkomen nemen dus een speciale plaats in en we kunnen ze de volgende naam geven p•q=e en r•s=f. We kunnen dan de volgende identiteiten opschrijven:
H=s•p•(<<>>⊕e⊕f⊕<e•f>)
H=s•q•(<<>>⊕e⊕<f>⊕e•f)
H=r•p•(<<>>⊕<e>⊕f⊕e•f)
H=<r•q>•(<<>>⊕<e>⊕<f>⊕<e•f>)
We merken op dat de termen tussen haken de vier OR-atomen zijn van een twee onderscheidingen universum opgespannen door e en f, en dus door p•q en r•s.
Wanneer we nu aan weerszijden van de vergelijking inbedden dan bekomen we de vier AND-atomen in e en f.
<H>=s•p•(<>⊕<e>⊕<f>⊕e•f)
<H>=s•q•(<>⊕<e>⊕f⊕<e•f>)
<H>=r•p•(<>⊕e⊕<f>⊕<e•f>)
<H>=<r•q>•(<>⊕e⊕f⊕e•f)
Merk op dat <H> gegeven wordt door <s•p>⊕<s•q>⊕<r•p>⊕r•q.
Aan weerszijden van de vergelijking kunnen we nu sommeren met eenzelfde welgevormde haakuitdrukking. Voor elke vergelijking kiezen we een specifiek geval:
<s•p>⊕<H>=<s•p>⊕s•p•(<>⊕<e>⊕<f>⊕e•f)
<s•q>⊕<H>=<s•q>⊕s•q•(<>⊕<e>⊕f⊕<e•f>)
<r•p>⊕<H>=<r•p>⊕r•p•(<>⊕e⊕<f>⊕<e•f>)
r•q⊕<H>=r•q⊕<r•q>•(<>⊕e⊕f⊕e•f)
Dit kunnen we nu compacter schrijven als
<s•p>⊕<H>=s•p•(<<>>⊕<e>⊕<f>⊕e•f)
<s•q>⊕<H>=s•q•(<<>>⊕<e>⊕f⊕<e•f>)
<r•p>⊕<H>=r•p•(<<>>⊕e⊕<f>⊕<e•f>)
r•q⊕<H>=<r•q>•(<<>>⊕e⊕f⊕e•f)
We merken nu op dat de termen tussen haken de projectoren zijn van de AND-atomen, we geven ze hierbij een suggestieve naam als een nieuwe eenheid die de 2-vector (de welgevormde haakuitdrukking) als intensiteit heeft.
<s•p>⊕<H>=s•p•es•p
<s•q>⊕<H>=s•q•es•q
<r•p>⊕<H>=r•p•er•p
r•q⊕<H>=<r•q>•e<r•q>
We kunnen nu de vier vergelijkingen optellen en dit geeft
<H>⊕<H>=s•p•es•p⊕s•q•es•q⊕r•p•er•p⊕<r•q>•e<r•q>
H=s•p•es•p⊕s•q•es•q⊕r•p•er•p⊕<r•q>•e<r•q>
We hebben H dus uitgedrukt in een vier dimensionale basis.
QED
We kunnen deze gelijkheid ook in een vorm met enkel projectoren uitdrukken:
(<>⊕H)=(<>⊕s•p•es•p)⊕(<>⊕s•q•es•q)⊕(<>⊕r•p•er•p)⊕(<>⊕<r•q>•e<r•q>)
We bewijzen dat s•p•(<>⊕es•p)⊕s•q•(<>⊕es•q)⊕r•p•(<>⊕er•p)⊕<r•q>•(<>⊕e<r•q>)=X
Bewijs
Uit het voorgaande bewijs gelden ook de volgende gelijkheden:
s•p•(<s•p>⊕<H>)=es•p
s•q•(<s•q>⊕<H>)=es•q
r•p•(<r•p>⊕<H>)=er•p
<r•q>•(r•q⊕<H>)=e<r•q>
Dus
(<>⊕s•p•(<s•p>⊕<H>))=(<>⊕es•p)
(<>⊕s•q•(<s•q>⊕<H>))=(<>⊕es•q)
(<>⊕r•p•(<r•p>⊕<H>))=(<>⊕er•p)
(<>⊕<r•q>•(r•q⊕<H>))=(<>⊕e<r•q>)
en
s•p•(<>⊕s•p•(<s•p>⊕<H>))=s•p•(<>⊕es•p)
s•q•(<>⊕s•q•(<s•q>⊕<H>))=s•q•(<>⊕es•q)
r•p•(<>⊕r•p•(<r•p>⊕<H>))=r•p•(<>⊕er•p)
<r•q>•(<>⊕<r•q>•(r•q⊕<H>))=<r•q>•(<>⊕e<r•q>)
en
(<s•p>⊕<s•p>⊕<H>)=s•p•(<>⊕es•p)
(<s•q>⊕<s•q>⊕<H>)=s•q•(<>⊕es•q)
(<r•p>⊕<r•p>⊕<H>)=r•p•(<>⊕er•p)
(<<r•q>>⊕r•q⊕<H>)=<r•q>•(<>⊕e<r•q>)
dus
(s•p⊕<H>)=s•p•(<>⊕es•p)
(s•q⊕<H>)=s•q•(<>⊕es•q)
(r•p⊕<H>)=r•p•(<>⊕er•p)
(<r•q>⊕<H>)=<r•q>•(<>⊕e<r•q>)
Hieruit volgt dat de som s•p•(<>⊕es•p)⊕s•q•(<>⊕es•q)⊕r•p•(<>⊕er•p)⊕<r•q>•(<>⊕e<r•q>) niet anders is dan (H⊕<H>), dus de nulvector.
QED