We zullen nu de voorwaarden voor een Euclidische ruimte uit het haakformalisme afleiden.
Aan elke welgevormde haakuitdrukking kan een projector verbonden worden en enkel in het geval dat twee welgevormde haakuitdrukkingen elkaar uitsluiten is een som van de twee projectoren gelijk aan een projector. Dit is een zeer belangrijke voorwaarde die zeker niet geldt in zijn algemeenheid. De algemeenheid onderzoeken we door ons af te vragen wanneer er geldt dat (<>⊕x)⊕(<>⊕y)=(<>⊕z) met x, y en z welgevormde haakuitdrukkingen, en dit is het gemakkelijkst te volgen met een binair voorbeeld.
Met x, y en z welgevormde haakuitdrukkingen kunnen zowel (<>⊕x) als (<>⊕y) als (<>⊕z) enkel positieve bits en don't care bits hebben, een som kan enkel positieve bits opleveren als (<>⊕x) en (<>⊕y) twee verschillende ruimtes opspannen en enkel don't care bits gemeenschappelijk hebben, namelijk de don't care bits van (<>⊕z). Hieruit volgt dat het vectorproduct van (<>⊕x) en (<>⊕y) de nulvector moet zijn. We definiëren nu dat (<>⊕x) en (<>⊕y) in dat geval Euclidisch orthogonaal zijn en dat de voorwaarde(<>⊕x)⊕(<>⊕y)=(<>⊕z) van het universum dat opgespannen wordt door x, y en z een Euclidische ruimte maakt.
We illustreren dat met een voorbeeld en gebruiken maar zes bits (het binair model van het haakformalisme laat toe om som en product uit te voeren met individuele bits). We construeren eerst een som die voldoet aan de zojuist uitgedrukte voorwaarden:
(xxx+++)⊕(x+xxxx)=(x+x+++)
Hieruit volgt onmiddellijk dat (xxx+++)•(x+xxxx)=(xxxxxx)=X
Hieruit kunnen we concluderen dat x voorgesteld wordt door (+++---), y voorgesteld wordt door (+-++++) en z voorgesteld wordt door (+-+---). We berekenen nu x•y, namelijk (+++---)•(+-++++)=(+-+---) en we merken dus op dat dit niet anders is dan z. Dus het kan niet anders dan dat (<>⊕x)⊕(<>⊕y)=(<>⊕z) geschreven moet worden als (<>⊕x)⊕(<>⊕y)=(<>⊕x•y). Dit is niet anders dan de vaststelling dat enkel in het geval dat twee welgevormde haakuitdrukkingen elkaar uitsluiten een som van de twee projectoren gelijk is aan een projector. In dat geval geldt (<>⊕x•y)=(<>⊕x)⊕(<>⊕y). In bitformaat komt dit er op neer dat de twee welgevormde haakuitdrukkingen wel gezamenlijke plus-bits kunnen hebben, maar geen gezamenlijke min-bits. Om dit te illustreren gebruiken we een analoog voorbeeld met zes bits. We kiezen twee willekeurige bitstrings zonder gemeenschappelijke min-bits: (---+++) en (+++--+). Hun projectoren zijn (------)⊕(---+++)=(+++xxx) en (------)⊕(+++--+)=(xxx++x). Merk op dat de projectoren een gemeenschappelijk positie hebben die een don't care is. Het product van de projectoren is (xxxxxx). De som van die projectoren is (+++xxx)⊕(xxx++x)=(+++++x). Het vectorproduct van de welgevormde uitdrukkingen is (---+++)•(+++--+)=(-----+). De projector van dat vectorproduct is (------)⊕(-----+)=(+++++x) en is dus niet verschillend van de som van hun projectoren en het is een deelruimte van de Euclidische ruimte.
Dit verklaart uiteraard dat een Euclidische ruimte opgespannen door n aantal don't care bits maximaal n Euclidisch orthogonale projectoren kan hebben. Dit is een toepassing van het bit model van zowel de klassieke hypothese als de kwantum hypothese en wordt voor bijvoorbeeld 6 bits voorgesteld door (<>⊕A1•A1<>•A2•A2<>•A3•A3<>)=(<>⊕A1)⊕(<>⊕A1<>)⊕(<>⊕A2 )⊕(<>⊕A2<>)⊕(<>⊕A3)⊕(<>⊕A3<>), en hierin is duidelijk dat het verschil tussen de klassieke en de kwantum hypothese de veronderstelling is dat de Ai en Ai<> atomen zijn of niet.
De ruimte die we in het haakformalisme gedefinieerd hebben als een potentiële ruimte (de tralie opgespannen door de betekende bits) is dus niet de Euclidische ruimte, maar is een interactie ruimte van een aantal deelruimten van de Euclidische ruimte. Het is de interactie ruimte die de structuur heeft van een tralie waarin de relatie van simultaneïteit gedefinieerd is.
Een drie dimensionale ruimte neemt hierbij een bijzondere plaats in omdat elke welgevormde haakuitdrukking als een som kan geschreven worden van drie gewogen projectoren die, onder voorwaarde, elkaar kunnen uitsluiten.
Een Euclidische ruimte wordt gekarakteriseerd als een ruimte waarin de deelruimten elkaar uitsluiten. Dit is niet een eigenschap van “de ruimte op zich” maar van de manier waarop we die ruimte opspannen of beschrijven. Inderdaad: een Euclidische ruimte kan gekarakteriseerd worden door het aantal don't care bits die men als nulvector zou nodig hebben. Die kan men uiteindelijk vrij kiezen. Een Euclidische ruimte veronderstelt dus dat men gekozen heeft, met andere woorden dat het aantal onderscheidingen (of het aantal atomen) die de ruimte opspannen gekend is.
We kunnen het inzicht ook als volgt uitdrukken: een Euclidische ruimte is een ruimte waarin men het begrip “simultaneïteit” niet nodig heeft om de ruimte te beschrijven. Men voert de beschrijving uit met deelruimten die niet simultaan kunnen zijn, de enige relatie die ze met elkaar kunnen hebben is elkaar uitsluiten. De deelruimten zijn dus geen tralies, enkel het supremum en zijn inbedding worden gebruikt.
Elke welgevormde haakuitdrukking kan vanuit de veronderstelling van een Euclidische ruimte opgebouwd worden wanneer men het creatief product gebruikt, immers het creatief product is een productvorm van twee componenten die elkaar uitsluiten.