Projector als som van projectoren

We hebben gezien dat elke welgevormde haakuitdrukking te schrijven is als een creatief product voor toevoeging van een onderscheiding die niet beschikbaar is in de termen van het creatief product en dat dit onvermijdelijk een voorstelling met zich meebrengt als een gecollapste tralie van 6 potentiële punten (namelijk x, y, x•y, <x>, <y> en <x•y>). De gecollapste tralie van 8 punten (namelijk <<>>, x, y, x•y, <>, <x>, <y> en <x•y>) is dan de uitdrukking van het feit dat de AND-atomen elkaar uitsluiten, hun conjunctie is onmogelijk te ervaren en de OR-atomen elkaar insluiten, hun disjunctie is onvermijdelijk ervaren.

De tralie genereert dan een relatie tussen de projectoren van dit universum die op basis van de drie welgevormde haakuitdrukkingen kunnen gevormd worden.

Om dit in te zien nemen we twee willekeurige welgevormde haakuitdrukkingen x en y en we drukken uit in vectorsom formaat dat het vectorproduct <x<y>><<x>y> (linker lid) en nevenschikking xy (rechter lid) niet te onderscheiden zijn (waarmee we uitdrukken dat hun conjunctie onmogelijk te ervaren is, dus dat ze elkaar uitsluiten):

x•y=<<>>⊕<x>⊕<y>⊕<x•y>

<x•y>=<<>>⊕<x>⊕<y>

x•y=<>⊕x⊕y

Bij beide leden kunnen we nu ook <> optellen en we schrijven dus:

(<>⊕x•y)=(<>⊕x)⊕(<>⊕y)

We zien hier drie projectoren aangezien we verondersteld hebben dat x en y (en dus ook x•y) welgevormde haakuitdrukkingen zijn. Het gevolg is dus dat een willekeurige projector als een som van twee projectoren te construeren is dan en slechts dan wanneer er geen verschil is tussen nevenschikking en het vectorproduct en men dus het creatief product als relatie neemt om universa op te bouwen. Inderdaad kan men vanuit projectoren uit een (n-1) onderscheidingen universum projectoren construeren in een n onderscheidingen universum.

Maar er geldt dan ook dat een welgevormde haakuitdrukking een som is van twee projectoren.

<x•y>=<<>>⊕<x>⊕<y>

<x•y>=<>⊕<>⊕<x>⊕<y>

<x•y>=(<>⊕<x>)⊕(<>⊕<y>)

Maar er geldt dan ook dat elke projector als een som van welgevormde haakuitdrukkingen te schrijven is, immers een willekeurige welgevormde haakuitdrukking is altijd als een vectorproduct van twee andere te schrijven en dan is de overeenkomstige projector altijd als (<>⊕<x•y>) te schrijven en indien <x•y>=<<>>⊕<x>⊕<y> geldt dan is (<>⊕<x•y>)=<x>⊕<y>.

Een ander gevolg is dat dan de projectoren orthogonaal zijn. Inderdaad kunnen we (<>⊕x)•(<>⊕y) uitrekenen:

(<>⊕x)•(<>⊕y)=<<>>⊕<x>⊕<y>⊕x•y=<<>>⊕<x>⊕<y>⊕<>⊕x⊕y=X.

We kunnen ook (<>⊕<x>)•(<>⊕<y>) uitrekenen:

(<>⊕<x>)•(<>⊕<y>)=<<>>⊕x⊕y⊕x•y=<<>>⊕x⊕y⊕<>⊕x⊕y=<x>⊕<y>=(<>⊕<x•y>)

In een handig overzicht: indien x en y elkaar uitsluiten dan gelden de volgende relaties:

(<>⊕x•y)=(<>⊕x)⊕(<>⊕y)

<x•y>=(<>⊕<x>)⊕(<>⊕<y>)

(<>⊕<x•y>)=<x>⊕<y>=(<>⊕<x>)•(<>⊕<y>)

(<>⊕x)•(<>⊕y)=X

Het 3&1 patroon met elkaar uitsluitende welgevormde haakuitdrukkingen

Het algemeen patroon van een welgevormde haakuitdrukking wordt gegeven door r•q⊕<r•p>⊕<s•p>⊕<s•q>.

We veronderstellen nu dat de vier opbouwende welgevormde haakuitdrukkingen p, q, r en s elkaar uitsluiten, en passen dan toe dat wanneer x en y elkaar uitsluiten, dat dan geldt dat (<>⊕x•y)=(<>⊕x)⊕(<>⊕y), dus (<>⊕r•q)=(<>⊕r)⊕(<>⊕q) en <(<>⊕r•p)>=<(<>⊕r)⊕(<>⊕p)> enz.... Dit betekent dat we elke transformatie uit de uitdrukking r•q⊕<r•p>⊕<s•p>⊕<s•q> vervangen door zijn overeenkomstige projector. We construeren hiermee dus de niet welgevormde haakuitdrukking (<>⊕r•q)⊕<(<>⊕r•p)>⊕<(<>⊕s•p)>⊕<(<>⊕s•q)>. Deze uitdrukking kan nu gereduceerd worden tot één projector.

Bewijs

(<>⊕r•q)⊕<(<>⊕r•p)>⊕<(<>⊕s•p)>⊕<(<>⊕s•q)>

(<>⊕r)⊕(<>⊕q)⊕<(<>⊕r)⊕(<>⊕p)>⊕<(<>⊕s)⊕(<>⊕p)>⊕<(<>⊕s)⊕(<>⊕q)>

(<>⊕r)⊕(<>⊕q)⊕(<<>>⊕<r>)⊕(<<>>⊕<p>)⊕(<<>>⊕<s>)⊕(<<>>⊕<p>)⊕(<<>>⊕<s>)⊕(<<>>⊕<q>)

(<<>>⊕<p>)⊕(<<>>⊕<s>)⊕(<<>>⊕<p>)⊕(<<>>⊕<s>)

(<>⊕p)⊕(<>⊕s)

(<>⊕p•s)

QED

Dit wordt volledig gestuurd door de component van de som die een andere inbedding heeft dan de drie andere, in dit concreet voorbeeld is dat dus r•q en noch r, noch q zijn te vinden in het eindresultaat..

We bewijzen nu dat de projector (<>⊕p•s) niet verschillend is van de projector (<>⊕r•q⊕<r•p>⊕<s•p>⊕<s•q>). Dit volgt natuurlijk uit de schijfwijze van de uitdrukking (<>⊕r•q)⊕<(<>⊕r•p)>⊕<(<>⊕s•p)>⊕<(<>⊕s•q)>. Maar het is verhelderend om eens te vertrekken van de volledige tabel met alle mogelijke waarden voor r•q⊕<r•p>⊕<s•p>⊕<s•q>. In die tabel drukken we ook uit wanneer aan de voorwaarde voor het elkaar wederzijds uitsluiten door p, q, r en s voldaan is. Wederzijds uitsluitend betekent dat er per rij in de eerste vier kolommen van de tabel hooguit één 0-bit voorkomt. Elkaar niet wederzijds uitsluiten betekent dat er minstens twee 0-bits in die rij voorkomen.

We reduceren nu deze tabel tot we enkel de rijen overhouden waarbij voldaan is aan de voorwaarde van elkaar uitsluiten.

Zoals kan gecontroleerd worden komt de waarde van het koppel (<<>>⊕p⊕s; r•q⊕<r•p>⊕<s•p>⊕<s•q>) dan overeen met (x; 1) ofwel (1; 0), wat dus niet anders is dan (1+0; 1) ofwel (0+0; 0), of dus sommering van r•q⊕<r•p>⊕<s•p>⊕<s•q> met <>. Er geldt dus (<>⊕p•s) = (<>⊕r•q⊕<r•p>⊕<s•p>⊕<s•q>) wanneer de p, q, r en s elkaar uitsluiten.

QED

De som van orthogonale projectoren gedraagt zich als het vectorproduct

Het bitmodel van het haakformalisme maakt heel duidelijk dat, wanneer men zich tot orthogonale projectoren beperkt om een universum op te bouwen de vectorsom van projectoren zich identiek gedraagt als het vectorproduct van de overeenkomstige welgevormde haakuitdrukkingen. Dat betekent dat er een isomorfisme te definiëren is tussen een vectorsom en een vectorproduct. Aangezien elk vectorproduct als een creatief product kan geschreven worden geldt ook dat er een isomorfisme te definiëren is tussen een vectorsom en een creatief product, en meer bepaald een anti-commutatief creatief product.

We demonstreren dat met een aantal voorbeelden waarbij we een didactische opbouw kiezen die de onbeperkte uitbreiding duidelijk maakt.

Twee onderscheidingen universum

De eerste drie kolommen geven de orthogonale projectoren en hun som. Die projectoren zijn gebaseerd op de atomen in de volgende drie kolommen met hun vectorproduct. De laatste kolom geeft de relatie van de projectoren en hun som met de atomen en hun vectorproduct.

We zien onmiddellijk dat hiermee ook het inzicht van de signatuur atomen terugkomt.

Onder voorwaarde dat men enkel orthogonale projectoren als constructie elementen gebruikt kan men dus een isomorfie construeren van de tralie met welgevormde haakuitdrukkingen door het vectorproduct te vervangen door een som. Aangezien elke welgevormde haakuitdrukking kan gevormd worden als een vectorproduct van atomen is duidelijk dat een willekeurige welgevormde haakuitdrukking ook kan geschreven worden in de vorm <>⊕<ΣP_i> met de som over i orthogonale projectoren.

We merken ook op dat sommige sommen wel elkaar uitsluiten maar niet orthogonaal zijn. Met 4 projectoren kunnen we zo 10 sommen vormen. Een som met twee termen resulteert in de projector van een punt op centraal niveau, een som met drie termen resulteert in de projector van een atomair punt (de derde kolom geeft de hybride notering van de resulterende projector). Als men de eerste zes van deze tabel sommeert levert dat de nulvector op voor het centraal niveau. Voor de som van de laatste vier levert dat de nulvector op voor de projectoren maar <<>> voor de overeenkomende welgevormde haakuitdrukkingen.

Dit demonstreert daarenboven ook nog eens de kracht van het haakformalisme: het twee onderscheidingen universum wordt opgebouwd met 4 orthogonale projectoren, terwijl het haakformalisme het mogelijk maakt om hetzelfde universum slechts met twee onderscheidingen op te bouwen. Het is voornamelijk bij hogere universa dat de exponentiële kracht van het haakformalisme spectaculair wordt.

We kunnen nu ook verschillen berekenen. Het verschil van projectoren bevindt zich op een gecollapst atoombuur niveau. Met atoomburen is eveneens een tralie op te spannen. Vraag is welke patronen ontstaan als we met verschillen gaan rekenen want in principe moet het mogelijk zijn om de hele tralie te construeren, enkel met verschillen van projectoren. Dat is uiteindelijk het veelterm model. We vinden dan de ingewikkelde constructies terug van de klassieke benadering van de geometrische algebra.

Drie onderscheidingen universum

We kunnen dat ook op nog een andere manier benaderen. We kunnen bijvoorbeeld de vier projectoren kiezen waarin het vectorproduct c•b•a voorkomt.

We maken dan de som per twee voor de projectoren of het product voor de welgevormde haakuitdrukkingen: een eerste combinatie:

En een tweede combinatie:

Met dan een combinatie van de twee combinaties:

Het patroon is ondertussen voldoende duidelijk en kan dus zonder beperkingen uitgebreid worden.

Dit inzicht kunnen we nu gebruiken om een Euclidische ruimte te definiëren.

Dit inzicht onderbouwt ook dat men door enkel projectoren te gebruiken gelijk welk universum met welgevormde haakuitdrukkingen kan opbouwen, dat is trouwens wat gedaan wordt in de geometrische algebra.

Merk op dat er twee isomorfe afbeelding zijn met orthogonale projectoren:

1. De som van de orthogonale projectoren P₁⊕P₂ beelden we af op de welgevormde haakuitdrukking <>⊕<P₁⊕P₂> die niet anders is dan A₁•A₂ met A_i de atomen die de projectoren genereren._.

2. Het creatief product ((<>⊕<P₁>)⊗(<>⊕<P₂>))_a van de welgevormde haakuitdrukkingen op basis van de orthogonale projectoren beelden we af op (is zelfs gelijk aan) de welgevormde haakuitdrukking <>⊕(<P₁>⊗<P₂>)_a =<>⊕<(P₁⊗P₂)_a>.

Noteer dat in het getallendomein de overeenkomst van een som met een product gerealiseerd wordt door de logaritme te nemen van het product, of dus een som te beschouwen als som van logaritmes.