Het creatief product van twee projectoren is een projector werd aangetoond. Op die manier zijn vanuit projectoren uit een (n-1) onderscheidingen universum projectoren te construeren in een n onderscheidingen universum.

We illustreren dat met de projectoren die overeenkomen met de atomen en waarbij we een vermenigvuldiging zullen uitvoeren met de nulvector. De berekening is snel in te zien door in de berekening van een creatief product met projectoren een van de welgevormde haakuitdrukkingen te vervangen door <<>>.

Dus ((<>⊕p)⊗(<>⊕q))_a=<>⊕(p⊗q)_a wordt met <<>> als waarde voor p (X⊗(<>⊕q))_a=<>⊕(<<>>⊗q)_a

Dus ((<>⊕p)⊗(<>⊕q))_a=<>⊕(p⊗q)_a wordt met <<>> als waarde voor q ((<>⊕p)⊗X)_a=<>⊕(p⊗<<>>)_a

Het is voldoende de constructie te tonen van projectoren op basis van de atomen van een één naar een twee onderscheidingen universum.

Merk op dat met een eenzelfde onderscheiding als toegevoegde (bijvoorbeeld een laatst toegevoegde onderscheiding) associativiteit mogelijk is zodanig dat we nuldelers kunnen construeren als volgt:

((X⊗(<>⊕b))_a⊗((<>⊕b)⊗X)_a)_a=X

Dit volgt uit de associativiteit en is gemakkelijk als volgt te controleren: bereken met de overeenkomstige vectorsommen: ((<<>>⊕<a>⊕<b>⊕a•b)⊗(<<>>⊕a⊕<b>⊕<a•b>))_a

<>⊕a⊕b⊕<a•b>⊕<>⊕<a>⊕b⊕a•b⊕a•(<>⊕a⊕b⊕<a•b>)⊕a•(<<>>⊕a⊕<b>⊕<a•b>)=

<>⊕a⊕b⊕<a•b>⊕<>⊕<a>⊕b⊕a•b⊕(<a>⊕<<>>⊕a•b⊕<b>)⊕(a⊕<<>>⊕<a•b>⊕<b>)=X

QED

Dit betekent dus dat we twee projectoren hebben die idempotent zijn en waarvan het product de nulvector is. Dus naar analogie met wat we voor het vectorproduct konden vaststellen, kunnen we nu ook met de som en het creatief product de basis [<>⊕(<<>>⊗b)_a , <>⊕(b⊗<<>>)_a] construeren waarvan de coëfficiënten, die als vectorproduct met de basis voorgesteld worden, zich gedragen als de som en product van getallen. Deze basis is geordend want commuteren levert niet meer de nulvector op, aangezien (((<>⊕b)⊗X)_a⊗(X⊗(<>⊕b))_a)_a=

((<<>>⊕a⊕<b>⊕<a•b>)⊗(<<>>⊕<a>⊕<b>⊕a•b))_a

<>⊕<a>⊕b⊕a•b⊕<>⊕a⊕b⊕<a•b>⊕<a>⊕<>⊕a•b⊕b⊕a⊕<>⊕<a•b>⊕b=<>⊕b

Ook niet met een inbedding

((<<>>⊕a⊕<b>⊕<a•b>)⊗(<>⊕a⊕b⊕<a•b>))_a

<>⊕<a>⊕b⊕a•b⊕<<>>⊕<a>⊕<b>⊕a•b⊕<a>⊕<>⊕a•b⊕b⊕<a>⊕<<>>⊕a•b⊕<b>=<a>⊕a•b

((<>⊕<a>⊕b⊕a•b)⊗(<<>>⊕<a>⊕<b>⊕a•b))_a

<<>>⊕a⊕<b>⊕<a•b>⊕<>⊕a⊕b⊕<a•b>⊕a⊕<<>>⊕<a•b>⊕<b>⊕a⊕<>⊕<a•b>⊕b=a⊕<a•b>

Er is nog een tweede basis te construeren:

((X⊗(<>⊕b))_a⊗((<>⊕<b>)⊗X)_a)_a=X

((<<>>⊕<a>⊕<b>⊕a•b)⊗(<<>>⊕a⊕b⊕a•b))_a=

<>⊕a⊕b⊕<a•b>⊕<>⊕<a>⊕<b>⊕<a•b>⊕a•(<>⊕a⊕b⊕<a•b>)⊕a•(<<>>⊕a⊕b⊕a•b)=

<>⊕a⊕b⊕<a•b>⊕<>⊕<a>⊕<b>⊕<a•b>⊕<a>⊕<<>>⊕a•b⊕<b>⊕a⊕<<>>⊕a•b⊕b=X

Zodanig dat de basis [<>⊕(<<>>⊗b)_a , <>⊕(<b>⊗<<>>)_a] evenzeer voldoet en eveneens geordend is aangezien commuteren niet meer voldoet: (((<>⊕<b>)⊗X)_a⊗(X⊗(<>⊕b))_a)_a=<>⊕a⊕b⊕<a•b>⊕<>⊕<a>⊕<b>⊕<a•b>⊕a⊕<>⊕<a•b>⊕b⊕<a>⊕<>⊕<a•b>⊕<b>=<>⊕<a•b> en dit is niet de nulvector.

Het creatief product met de laatste van de vier projectoren levert evenmin de nulvector op:

((X⊗(<>⊕b))_a⊗(X⊗(<>⊕<b>))_a)_a=((<<>>⊕<a>⊕<b>⊕a•b)⊗(<<>>⊕<a>⊕b⊕<a•b>))_a

<>⊕a⊕b⊕<a•b>⊕<>⊕a⊕<b>⊕a•b⊕a•(<>⊕a⊕b⊕<a•b>)⊕a•(<<>>⊕<a>⊕b⊕<a•b>)=

<>⊕a⊕b⊕<a•b>⊕<>⊕a⊕<b>⊕a•b⊕<a>⊕<<>>⊕a•b⊕<b>⊕a⊕<>⊕a•b⊕<b>=<<>>⊕<a>⊕b⊕<a•b>=(X⊗(<>⊕<b>))_a

Commuteren genereert: <>⊕a⊕b⊕<a•b>⊕<>⊕a⊕<b>⊕a•b⊕a⊕<>⊕<a•b>⊕b⊕<a>⊕<<>>⊕<a•b>⊕b=<<>>⊕<a>⊕<b>⊕a•b en dit is evenmin gelijk aan de nulvector.