Aangezien we het creatief product als een vectorsom kunnen uitdrukken is het dus ook mogelijk om het creatief product van en met projectoren te onderzoeken.
Te bewijzen: het creatief product van twee projectoren voor toevoeging van een onderscheiding is een projector.
Bewijs: in het creatief product (x⊗y)a=<x>⊕<y>⊕<a•x>⊕a•y (een welgevormde haakuitdrukking) stellen we dat x en y projectoren zijn, dus stel x=(<>⊕p) en stel y=(<>⊕q). Het creatief product <x>⊕<y>⊕<a•x>⊕a•y wordt dan
(<<>>⊕<p>)⊕(<<>>⊕<q>)⊕a•(<<>>⊕<p>)⊕a•(<>⊕q)
(<<>>⊕<p>)⊕(<<>>⊕<q>)⊕a⊕<a•p>⊕<a>⊕a•q
<>⊕<p>⊕<q>⊕<a•p>⊕a•q
<>⊕(p⊗q)a
Dus ((<>⊕p)⊗(<>⊕q))a=<>⊕(p⊗q)a
QED
Een speciaal geval is dan ook ((<>⊕p)⊗(<>⊕p))a=<>⊕(p⊗p)a=<>⊕p. Het creatief kwadraat van een projector is de projector zelf, wat heel snel te bewijzen is uit <>⊕<p>⊕<q>⊕<a•p>⊕a•q door q door p te vervangen. Op dat punt is er geen verschil met het kwadraat van het vectorproduct van een projector.
Een ander speciaal geval is ((<>⊕p)⊗(<>⊕<p>))a=<>⊕(p⊗<p>)a=<>⊕a•p.
Dit zijn trouwens speciale gevallen van ((r⊕p)⊗(r⊕q))a=r⊕(p⊗q)a waarmee we de distributiviteit van de som ten opzichte van het creatief product aangetoond hebben.
Te bewijzen: het creatief product van onderscheidingen met toevoeging van een projector is een som van drie projectoren.
Bewijs:
Stel enkel a=(<>⊕z) in het creatief product (x⊗y)a=<x>⊕<y>⊕<a•x>⊕a•y
<x>⊕<y>⊕<(<>⊕z)•x>⊕(<>⊕z)•y
<x>⊕<y>⊕x⊕<z•x>⊕<y>⊕z•y
y⊕<z•x>⊕z•y
(<>⊕y)⊕(<>⊕<z•x>)⊕(<>⊕z•y)
Dus: (x⊗y)(<>⊕z)=y⊕<z•x>⊕z•y=(<>⊕y)⊕(<>⊕<z•x>)⊕(<>⊕z•y)
QED
Het creatief product met toevoeging van een projector is identiek met het creatief product van een welgevormde haakuitdrukking en een gecollapste haakuitdrukking met toevoeging van een welgevormde haakuitdrukking.
We bewijzen dat door (x⊗y)(<>⊕z)=y⊕<z•x>⊕z•y op een andere manier te schrijven met toevoeging van <z>.
We berekenen (x⊗(<x>⊕<y>))<z>=<x>⊕x⊕y⊕z•x⊕<z>•(<x>⊕<y>)=y⊕<z•x>⊕z•y en dit is dus (x⊗y)(<>⊕z). QED.
Essentieel voor deze gelijkheid is dat de ene term een welgevormde haakuitdrukking is die de inbedding is van een term van de som in de tweede term van het creatief product, zoals hier x versus <x>.
Ook met de toevoeging van een projector is het creatief kwadraat idempotent en dus een projector want (x⊗y)(<>⊕z)=y⊕<z•x>⊕z•y en dus (x⊗x)(<>⊕z)=x⊕<z•x>⊕z•x=x.
De intensiteit van de toegevoegde projector wordt gegeven door het creatief product (x⊗<x>)(<>⊕z)
Bewijs: Stel a=(<>⊕z) en y=<x> in het creatief product (x⊗y)a=<x>⊕<y>⊕<a•x>⊕a•y, dus
(x⊗<x>)(<>⊕z)=<x>⊕<z•x>⊕<z•x>=x•(<>⊕z).
In x•(<>⊕z) is de eenheid (<>⊕z) want het kwadraat is idempotent zowel voor het vectorproduct als voor het creatief product. Dus x is de intensiteit van die eenheid.
We bewijzen dat de som van drie projectoren een projector is en dus een algemeen gecollapste haakuitdrukking.
Bewijs:
(x⊗y)(<>⊕z)=y⊕<z•x>⊕z•y is niet welgevormd. We kunnen daar wel een welgevormde haakuitdrukking van maken door een som met <<>>, dan krijgen we een som met het 3&1 patroon: <<>>⊕y⊕<z•x>⊕z•y.
De projector hiervan is <>⊕(<<>>⊕y⊕<z•x>⊕z•y)=y⊕<z•x>⊕z•y.
QED
Dus: <<>>⊕(x⊗y)(<>⊕z)=<<>>⊕y⊕<z•x>⊕z•y is welgevormd.
Dit is te controleren in de tabel van alle welgevormde haakuitdrukkingen in drie onderscheidingen: <<>>⊕y⊕<z•x>⊕z•y is niet anders dan <<>>⊕b⊕<c•a>⊕c•b•a met y=b en z•x=c•a. In bitstring is dit 0010.0001, op atoombuur niveau in drie onderscheidingen is dit de conjunctie van 0010.0000 en 0000.0001. Met dus is de projector 11x1.111x en dit is de disjunctie van de atoom-projectoren 11x1.1111 en 1111.111x.
Door distributiviteit geldt:
<<>>⊕(x⊗y)(<>⊕z)=((<<>>⊕x)⊗(<<>>⊕y))(<>⊕z)
Dit geeft dan onmiddellijk de mogelijkheid om nog andere welgevormde haakuitdrukkingen te maken door een som van een welgevormde haakuitdrukking met de gecollapste haakuitdrukking (x⊗y)(<>⊕z)=y⊕<z•x>⊕z•y
Bijvoorbeeld: x⊕(x⊗y)(<>⊕z)=x⊕y⊕<z•x>⊕z•y en door distributiviteit geldt de gelijkheid x⊕y⊕<z•x>⊕z•y=(<x>⊗(x⊕y))(<>⊕z). Door controle in de tabel is duidelijk dat dit type overeenkomt met een welgevormde haakuitdrukking op centraal niveau in drie onderscheidingen x, y en z.
In drie onderscheidingen zijn dat de enige mogelijkheden: atoombuur niveau of centraal niveau.
Betekenis: gelijk welke welgevormde haakuitdrukking H wordt in een ervaren haakuitdrukking getransformeerd door een som van <H> met <<>>. Inderdaad: veronderstel 1001 dan is <<>>⊕<H> niet anders dan (1111)⊕(0110) en dat is (x00x) en dit is de bitstring van de ervaren H.
Dus met de welgevormde <<>>⊕(x⊗y)(<>⊕z)=<<>>⊕y⊕<z•x>⊕z•y vormen we de inbedding, <>⊕(<x>⊗<y>)(<>⊕z)=<>⊕<y>⊕z•x⊕<z•y> en sommeren deze met <<>>. Dat betekent dus dat (<x>⊗<y>)(<>⊕z)=<y>⊕z•x⊕<z•y> een ervaren uitdrukking is, namelijk de ervaren <<>>⊕y⊕<z•x>⊕z•y.
Het creatief product met toevoeging van een projector is (x⊗y)(<>⊕z)=y⊕<z•x>⊕z•y
We kunnen nu veronderstellen dat de projector geconstrueerd wordt met behulp van de laatst toegevoegde onderscheiding, waarbij we dus bekomen dat (x⊗y)(<>⊕ℵ)=y⊕<ℵ•x>⊕ℵ•y.
We tonen nu aan dat (x⊗y)(<>⊕ℵ) en (y⊗x)(<>⊕ℵ) elkaars invers zijn ten opzichte van de eerste term. We moeten dus bewijzen dat ((x⊗y)(<>⊕ℵ) ⊗ (y⊗x)(<>⊕ℵ))(<>⊕ℵ) niet verschillend is van (x⊗y)(<>⊕ℵ).
Bewijs
(x⊗y)(<>⊕ℵ)=<x>⊕<y>⊕<(<>⊕ℵ)•x>⊕(<>⊕ℵ)•y=<x>⊕<y>⊕x⊕<ℵ•x>⊕<y>⊕ℵ•y=y⊕<ℵ•x>⊕ℵ•y
(y⊗x)(<>⊕ℵ)=<x>⊕<y>⊕<(<>⊕ℵ)•y>⊕(<>⊕ℵ)•x=<x>⊕<y>⊕y⊕<ℵ•y>⊕<x>⊕ℵ•x=x⊕ℵ•x⊕<ℵ•y>
Het creatief product van beide is:
<y>⊕ℵ•x⊕<ℵ•y>⊕<x>⊕<ℵ•x>⊕ℵ•y⊕<(<>⊕ℵ)•(y⊕<ℵ•x>⊕ℵ•y)>⊕(<>⊕ℵ)•(x⊕ℵ•x⊕<ℵ•y>)
<y>⊕<x>⊕<(<>•(y⊕<ℵ•x>⊕ℵ•y)⊕ℵ•(y⊕<ℵ•x>⊕ℵ•y)>⊕(<>•(x⊕ℵ•x⊕<ℵ•y>)⊕ℵ•(x⊕ℵ•x⊕<ℵ•y>))
<y>⊕<x>⊕y⊕<ℵ•x>⊕ℵ•y⊕<ℵ•y>⊕x⊕<y>⊕<x>⊕<ℵ•x>⊕ℵ•y⊕ℵ•x⊕x⊕<y>
<ℵ•x>⊕<y>⊕ℵ•y⊕<y>
y⊕<ℵ•x>⊕ℵ•y=(x⊗y)(<>⊕ℵ)
QED
Dit geldt uiteraard ook wanneer we de beide termen commuteren. We tonen dus aan dat (y⊗x)(<>⊕ℵ) en (x⊗y)(<>⊕ℵ) elkaars invers zijn ten opzichte van de eerste term. We moeten dus bewijzen dat ((y⊗x)(<>⊕ℵ) ⊗ (x⊗y)(<>⊕ℵ))(<>⊕ℵ) niet verschillend is van (y⊗x)(<>⊕ℵ).
Bewijs
<x>⊕<ℵ•x>⊕ℵ•y⊕<y>⊕ℵ•x⊕<ℵ•y>⊕<(<>⊕ℵ)•(x⊕ℵ•x⊕<ℵ•y>)>⊕(<>⊕ℵ)•(y⊕<ℵ•x>⊕ℵ•y)
<x>⊕<ℵ•x>⊕ℵ•y⊕<y>⊕ℵ•x⊕<ℵ•y>⊕<(<>•(x⊕ℵ•x⊕<ℵ•y>)⊕ℵ•(x⊕ℵ•x⊕<ℵ•y>)>⊕(<>•(y⊕<ℵ•x>⊕ℵ•y)⊕ℵ•(y⊕<ℵ•x>⊕ℵ•y)
<x>⊕<ℵ•x>⊕ℵ•y⊕<y>⊕ℵ•x⊕<ℵ•y>⊕x⊕ℵ•x⊕<ℵ•y>⊕<ℵ•x>⊕<x>⊕y⊕<y>⊕ℵ•x⊕<ℵ•y>⊕ℵ•y⊕<x>⊕y
x⊕<ℵ•y>⊕ℵ•x=(y⊗x)(<>⊕ℵ)
QED
Merk op dat dit verschilt van wat geldt bij toevoeging van een welgevormde haakuitdrukking als laatste onderscheiding, waar geldt dat ((x⊗y)ℵ ⊗ (y⊗x)ℵ)ℵ niet verschillend is van (x⊗x)ℵ=x, en ((y⊗x)ℵ ⊗ (x⊗y)ℵ)ℵ niet verschillend is van (y⊗y)ℵ=y. We hebben dan (x⊗y)ℵ genoteerd als de operatie a en (y⊗x)ℵ genoteerd als a-1 waarbij (a⊗a-1)ℵ=x en (a-1⊗a)ℵ=y met x en y de eenheid van de operatie.
Nu kunnen we (x⊗y)(<>⊕ℵ) noteren als de operatie b en (y⊗x)(<>⊕ℵ) noteren als b-1 waarbij (b⊗b-1)(<>⊕ℵ)=b en (b-1⊗b)(<>⊕ℵ)=b-1. Dit maakt het verschil duidelijk.
De eenheden zijn hier de operaties zelf en zijn elkaars invers. Dus y⊕<ℵ•x>⊕ℵ•y is het invers van x⊕ℵ•x⊕<ℵ•y> voor toevoeging van een laatst toegevoegde projector.
Stel x=(<>⊕p) en stel y=(<>⊕q) in (x⊗y)(<>⊕z)=y⊕<z•x>⊕z•y
((<>⊕p)⊗(<>⊕q))(<>⊕z)=(<>⊕q)⊕<z•(<>⊕p)>⊕z•(<>⊕q)
(<>⊕q)⊕<(<z>⊕z•p)>⊕(<z>⊕z•q)
<>⊕q⊕z⊕<z•p>⊕<z>⊕z•q
<>⊕q⊕<z•p>⊕z•q
We merken nu op dat
(p⊗q)(<>⊕z)=q⊕<z•p>⊕z•q=(<>⊕q)⊕(<>⊕<z•p>)⊕(<>⊕z•q) zodanig dat
((<>⊕p)⊗(<>⊕q))(<>⊕z)=<>⊕(p⊗q)(<>⊕z)
Uiteraard is dat terug een bewijs van het distributief zijn van de som met het creatief product.
<>⊕q⊕<z•p>⊕z•q is niet welgevormd, maar ((<>⊕p)⊗(<>⊕q))(<>⊕z)=<>⊕(p⊗q)(<>⊕z) geeft ons onmiddellijk de mogelijkheid om wel een welgevormde haakuitdrukking te maken, namelijk ((<<>>⊕p)⊗(<<>>⊕q))(<>⊕z)=<<>>⊕(p⊗q)(<>⊕z)=<<>>⊕q⊕<z•p>⊕z•q
Noteer ook: <>⊕(p⊗q)(<>⊕z) is geen projector aangezien (p⊗q)(<>⊕z) geen welgevormde haakuitdrukking is.
We kunnen uiteraard de voorwaarde construeren waaronder dat wel het geval is, dit is de voorwaarde waaronder het vectorkwadraat van q⊕<z•p>⊕z•q niet verschillend is van <<>>.
(q⊕<z•p>⊕z•q)•(q⊕<z•p>⊕z•q)=<<>>
<<>>⊕<z•p•q>⊕z⊕<z•p•q>⊕<<>>⊕<p•q>⊕z⊕<p•q>⊕<<>>=<<>>
<<>>⊕z•p•q⊕<z>⊕<<>>⊕p•q⊕<<>>=<<>>
<<>>⊕p•q⊕<z>⊕z•p•q=<>
De voorwaarde is dus dat de disjunctie <p•q>z ervaren is, dus z moet fijner zijn dan p•q.
Speciaal geval: Stel x=(<>⊕p) en stel y=(<>⊕<p>) in (x⊗y)(<>⊕z)=y⊕<z•x>⊕z•y
((<>⊕p)⊗(<>⊕<p>))(<>⊕z)=(<>⊕<p>)⊕<z•(<>⊕p)>⊕z•(<>⊕<p>)
(<>⊕<p>)⊕z⊕<z•p>⊕<z>⊕<z•p>
<>⊕<p>⊕z•p
<>⊕p•(<>⊕z)
Speciaal geval: ((<>⊕p)⊗(<<>>⊕<p>))(<>⊕z)=(<<>>⊕<p>)⊕<z•(<>⊕p)>⊕z•(<<>>⊕<p>)
<>•(<>⊕p)⊕<z>•(<>⊕p)⊕<z>•(<>⊕p)
(<>⊕z)•(<>⊕p)
Dus indien de toegevoegde projector orthogonaal is met een van de termen van het creatief product, dan is het anti-commutatief product gelijk aan de nulvector.