We onderzoeken nu de distributiviteit van de vectorsom (...⊕...) en creatief product (...⊗...)a.
Te bewijzen: r⊕(p⊗q)a=((r⊕p)⊗(r⊕q))a
Bewijs: in het creatief product (x⊗y)a=<x>⊕<y>⊕<a•x>⊕a•y (een welgevormde haakuitdrukking) stellen we dat x en y sommen zijn, dus stel x=(r⊕p) en stel y=(r⊕q). Hierin heeft de som r als het gemeenschappelijk element. We berekenen het creatief product:
(<r>⊕<p>)⊕(<r>⊕<q>)⊕a•(<r>⊕<p>)⊕a•(r⊕q)
(<r>⊕<p>)⊕(<r>⊕<q>)⊕<a•r>⊕<a•p>⊕a•r⊕a•q
r⊕<p>⊕<q>⊕<a•p>⊕a•q
r⊕(p⊗q)a
Dus r⊕(p⊗q)a=((r⊕p)⊗(r⊕q))a
QED
Dus geldt ook (r⊗s)a⊕(p⊗q)a=(((r⊗s)a⊕p)⊗((r⊗s)a⊕q))a=(((r⊕p)⊗(s⊕p))a⊗((r⊕q)⊗(s⊕q))a)a en dus door associativiteit van het creatief product bij toevoeging van dezelfde onderscheiding a geldt ook
(r⊗s)a⊕(p⊗q)a=((r⊕p)⊗(s⊕p)⊗(r⊕q)⊗(s⊕q))a
En ook
(<r>⊕<p>)⊕(<r>⊕<p>)⊕a•(<r>⊕<p>)⊕a•(r⊕p)
r⊕p
Zodanig dat het creatief kwadraat ((r⊕p)⊗(r⊕p))a=(r⊕p)
Te bewijzen: (x⊗(p⊕q))a≠ (x⊗p)a⊕(x⊗q)a.
Bewijs:
We vervangen in het creatief product (x⊗y)a=<x>⊕<y>⊕<a•x>⊕a•y de tweede term y door een som, dus stel y=(p⊕q) waarmee we dan (x⊗(p⊕q))a vormen. We berekenen het creatief product:
<x>⊕<(p⊕q)>⊕<a•x>⊕a•(p⊕q)
<x>⊕<p>⊕<q>⊕<a•x>⊕a•p⊕a•q
x⊕<p>⊕a•x⊕a•p⊕x⊕<q>⊕a•x⊕a•q
(<x>⊗p)a⊕(<x>⊗q)a
(x⊗(p⊕q))a=(<x>⊗p)a⊕(<x>⊗q)a en dit is niet gelijk aan (x⊗p)a⊕(x⊗q)a.
Door de niet commutativiteit van het creatief product geldt (x⊗y)a ∼ (y⊗x)<a> dus ((p⊕q)⊗x)a=(x⊗(p⊕q))<a>=(<x>⊗p)<a>⊕(<x>⊗q)<a>=(p⊗<x>)a⊕(q⊗<x>)a
QED
We kunnen ons nu wel afvragen onder welke voorwaarde de gelijkheid zou gelden. Dat zou dus onder de volgende voorwaarde zijn:
x⊕<p>⊕a•x⊕a•p⊕x⊕<q>⊕a•x⊕a•q=<x>⊕<p>⊕<a•x>⊕a•p⊕<x>⊕<q>⊕<a•x>⊕a•q
x⊕a•x⊕x⊕a•x=<x>⊕<a•x>⊕<x>⊕<a•x>
<x>⊕<a•x>=x⊕a•x
x=<a•x>
x•x=<a•x>•x
<<>>=<a>
a=<>
Dus (x⊗(p⊕q))<>=(<x>⊗p)<>⊕(<x>⊗q)<>.
Uiteraard kan a ook waarde <<>> hebben:
Dus (x⊗(p⊕q))<<>>=(p⊗<x>)<<>>⊕(q⊗<x>)<<>>.
Dus ook ((p⊕q)⊗x)<>=(p⊗<x>)<>⊕(q⊗<x>)<>.
We bewijzen dat distributiviteit van het creatief product ten opzicht van de som wel geldt als de som een welgevormde haakuitdrukking is
We vervangen in het creatief product (x⊗y)a=<x>⊕<y>⊕<a•x>⊕a•y de tweede term y door het som-patroon van een welgevormde haakuitdrukking, dus stel y=(<r•p>⊕<s•q>⊕<s•p>⊕r•q) waarmee we dan (x⊗(<r•p>⊕<s•q>⊕<s•p>⊕r•q))a vormen. We berekenen het creatief product:
<x>⊕<<r•p>⊕<s•q>⊕<s•p>⊕r•q>⊕<a•x>⊕a•(<r•p>⊕<s•q>⊕<s•p>⊕r•q)
<x>⊕r•p⊕s•q⊕s•p⊕<r•q>⊕<a•x>⊕<a•r•p>⊕<a•s•q>⊕<a•s•p>⊕a•r•q
We merken nu op dat we <x> kunnen schrijven als <x>⊕<x>⊕<x>⊕<x> en <a•x> kunnen schrijven als <a•x>⊕<a•x>⊕<a•x>⊕<a•x> zodanig dat de laatste uitdrukking kan geschreven worden als
(x⊗<r•p>)a⊕(x⊗<s•q>))a⊕(x⊗<s•p>)a⊕(x⊗r•q))a
Dus (x⊗(<r•p>⊕<s•q>⊕<s•p>⊕r•q))a=(x⊗<r•p>)a⊕(x⊗<s•q>))a⊕(x⊗<s•p>)a⊕(x⊗r•q))a
QED
Enerzijds geldt met een waarde als toegevoegde onderscheiding ((p⊕q)⊗(r⊕s))<>=(p⊗<(r⊕s)>)<>⊕(q⊗<(r⊕s)>)<>=(<p>⊗<r>)<>⊕(<p>⊗<s>)<>⊕(<q>⊗<r>)<>⊕(<q>⊗<s>)<>=<(p⊗r)<>⊕(p⊗s)<>⊕(q⊗r)<>⊕(q⊗s)<>>
Anderszijds geldt dat distributiviteit wel geldt voor gelijk welke toegevoegde onderscheiding op voorwaarde dat de som een welgevormde haakuitdrukking is.