Welgevormde haakuitdrukkingen kunnen we op verschillende manieren voorstellen. Elke voorstelling van welgevormde haakuitdrukkingen heeft zijn voordelen en nadelen. Een uitdrukking met enkel haken heeft het grote voordeel dat dit universeel is: elk symbool dat met de haken geïntroduceerd wordt kan staan voor een andere welgevormde haakuitdrukking die verder niet geëxpliciteerd wordt in symbolen. Het haakbitmodel daarentegen is hoe dan ook beperkt maar heeft het grote voordeel dat we hierin een onderscheidingen universum kiezen (het gevolg van een beperkte lengte van de bitstring). Dat maakt veel logische berekeningen zeer compact. Alleen moeten we aandachtig zijn voor de inversie die ontstaat bij de vertaling van haakuitdrukkingen in bitstrings.

Haak-AND komt overeen met bit-OR

Haak-OR komt overeen met bit-AND

Haak-XNOR komt overeen met bit-XOR

Haak-XOR komt overeen met bit-XNOR

Daarenboven hebben we nog andere symbolen geïntroduceerd die de relatie van twee symbolen kunnen weergeven (we gebruiken in deze vormen het typografisch punt voor een willekeurig symbool waarmee we de binaire relatie =, ↔, of • uitdrukken):

Haak-XNOR komt overeen met .=.

Haak-XNOR komt overeen met .↔.

Haak-XNOR komt overeen met <.•.>

Haak-XOR komt overeen met .•.

Tot overmaat van mogelijke verwarring zijn er welgevormde haakuitdrukkingen waarvoor een OR niet verschillend is van een XOR (en duaal dus zijn er welgevormde haakuitdrukkingen waarvoor een AND niet verschillend is van een XNOR) en hebben we een haakvectorvorm kunnen ontwikkelen waarin we het symbool ⊕ konden interpreteren.

Dat zijn al een hele reeks mogelijkheden om hetzelfde op verschillende manieren uit te drukken en het is de kracht van het haakformalisme dat al die mogelijkheden op hun coherentie onderzocht werden.

Zoals we niet steeds blijven herhalen dat er altijd een duale interpretatie mogelijk is, en dan toch kiezen voor een universeel supremum als <<>> en een universeel infimum als <>, zo zullen we nu ook een keuze maken voor de logische connectieven bij de parallelle manipulatie van symbolen (haakuitdrukkingen) als bitstrings (die een speciaal soort symbolen zijn). We kiezen hierbij voor de logische connectieven die uit de haakvoorstelling volgen: de logische connectief OR tussen twee symbolen komt overeen met de nevenschikking van de twee symbolen, en we gebruiken dus ook OR als die “symbolen” bitstrings zijn (alhoewel haak-OR overeenkomt met bit-AND).

Eens deze keuze helder is en consequent gevolgd wordt, is er geen verwarring meer.

Dit brengt ons terug bij de tabel waarmee een waarneming hebben gemodelleerd: vier vormen in parallel.

We merken op dat het infimum van de triade (10100000; 10111010; 11100101) die zo gevormd is, dus 10100000, zowel de OR als de XOR is van beide andere punten. Wanneer 10100000 niet verschillend is van 00000000, dan krijgen we de triade (x0x00000; x0x11010; x1x00101). We voeren hiermee een collaps uit zodanig dat de twee punten langs de rechtse kant van de triade de inbedding zijn van elkaar. Zoals elke collaps genereert dit een inwendige involutie. Het meest linkse punt van de triade kan dan niet onderscheiden worden van het ervaren zelf en we merken op dat in het ervaren van de drie punten geldt dat x0x00000 = x0xxx0x0 ⊕ xxx00x0x. Hierin gebruiken we het symbool = voor BITXOR (de haak-transformatie, ook genoteerd als ↔ of <.•.>) en het symbool ⊕ voor BITXNOR (de inbedding van de haak-transformatie, ook genoteerd als .•.). In het ervaren zelf krijgt het symbool = dus een vectorgelijkheid als betekenis en het symbool ⊕ een vectorsom. We zouden deze collaps kunnen voorstellen door een index c bij de voorstelling als M symbolen, en bijvoorbeeld de collaps van M noteren als (M)_c en dan wordt x0x00000 = x0xxx0x0 ⊕ xxx00x0x genoteerd als (M)_c•(M^<>)_c=(M•M^<>)_c=(M)_c⊕(M^<>)_c.

Merk op dat, als een van beide rechtse termen van de triade (10100000; 10111010; 11100101) ervaren is, 10100000 simultaan ervaren is. De beide rechter termen zijn echter niet simultaan te ervaren: de AND van beide rechter termen is 11111111. Een vluchtig atoom is bijvoorbeeld 11111011, het is ruimer dan 10100000, het is ruimer dan 10111010 maar het is niet ruimer dan 11100101, het sluit dit laatste punt uit. Dit staat ons toe te zeggen dat in de beschouwde vluchtige toestand 11111011 de entiteit 10100000 de eigenschap 10111010 heeft. Dit is een waargenomen of gemeten eigenschap, tijdens de meting dus, een dynamische toestand die maar even stabiel blijft (namelijk in 10111111, 11111011 en 11111110) en andere uitsluit. Dit is exact zo, juist door de eigenschap van XOR. We merken nu op dat de partiële ordening van de tralie ook de meting van een partiële orde met zich meebrengt. 11111011 realiseert niet alleen simultaan 11111011 en 10111010 maar ook de tussenliggende 10111011 en 11111010.

De toegevoegde onderscheiding

Er zijn verschillende kandidaten voor een atoom dat M realiseert. Er zijn verschillende kandidaten voor een atoom dat M^<> realiseert. Er zijn dus ook verschillende kandidaten voor een creatief toegevoegd aspect. We noteren een creatief product als (x⊗y)_a∼<a<x>><<a><y>>. Dit is dus een disjunctie van <a<x>> en <<a><y>>, beide elementen zijn een conjunctie van twee termen, een term op basis van het toegevoegd aspect en een andere term. Dus <a<x>> is <a>ANDx en <<a><y>> is aANDy, en dus is (x⊗y)_a∼<a<x>><<a><y>> te schrijven als (<a>ANDx)OR(aANDy). De bitgewijze logica van het binair isomorfisme van welgevormde haakuitdrukkingen laat nu toe te onderzoeken welke mogelijke kandidaten er zijn voor de invulling van a als we als x en y M en M^<> nemen. In de onderstaande tabel splitsen we de welgevormde haakuitdrukking <a<x>><<a><y>> in welgevormde delen die ons toelaten verschillende invullingen van a te zoeken die <a<x>><<a><y>> een waarde kunnen geven. Als a twee keuzen kan hebben: ofwel een hoogbit, ofwel een laagbit, dan noteren we een punt. Deze notering is compatibel met de notering die we gebruiken voor de relatie van relevantie.

Dit maakt duidelijk dat er 2² mogelijkheden zijn voor een toegevoegde welgevormde haakuitdrukking.

Bij verdere analyse zien we dat de vier mogelijkheden zich tot M en M^<> verhouden zoals aangegeven in de onderstaande deeltralie. We geven de mogelijke varianten van a de namen p₁ en p₄, beide punten bevinden zich op centraal niveau en kunnen dus de rol spelen van onderscheiding. Ze maken een duidelijke splitsing mogelijk van de punten die door de componenten van de waarnemingscontext gerealiseerd worden. Het punt M•M^<> is niet anders dan <p₁•p₄>, niet anders dan <<p₁>•<p₄>>.

We herinneren eraan dat we de uiterste beschouwde toestanden (AND atomen) hier wel in bitstring noteren maar dat deze toestanden niet stabiel zijn als de toegevoegde onderscheiding niet ingebouwd zijn in de tralie: ze zijn er dan individueel, enkel in het ervaren, momenteel dus en zijn niet simultaan te ervaren. Uiteraard geven deze toestanden aanleiding tot stabiele (gemeten, waargenomen) eigenschappen, die dus fijner zijn dan deze toestanden.

Er zijn vier punten fijner dan 10111010 (inclusief dus 10111010): p₁, p₂, p₃, p₄

Er zijn vier punten fijner dan 11100101 (inclusief dus 11100101). <p₁>, <p₂>, <p₃>, <p₄>

Die punten zijn elkaar inbedding. Wanneer een punt fijner is dan 10111010, dan is de inbedding van het punt fijner dan 11100101.

Deze punten kunnen in het algemeen als volgt geconstrueerd worden: waar in de linkerlid component van de triade (10100000; 10111010; 11100101) een 0 staat, staat in de andere componenten in de ene term een 1 en in de andere term een 0, dus dit voldoet al aan de voorwaarde van inbedding. Waar in het linkerlid van de triade (10100000; 10111010; 11100101) een 1 staat, staat in de andere componenten een 1, één hiervan moet een nul worden om te voldoen aan inbedding EN om een fijner punt te geven dat kans maakt om het bedoelde punt p (of <p>) te zijn. Er zijn twee bits 1 in het linkerlid, dus er zijn vier mogelijkheden

p₁ = 10011010

<p₁> = 01100101

p₂ = 00011010

<p₂> = 11100101 = M^<>

p₃ = 10111010 = M

<p₃> = 01000101

p₄ = 00111010

<p₄> = 11000101

Deze punten worden door de toestanden van de meetcontext gerealiseerd maar ook door de meetcontext zelf en aangezien ze simultaan zijn met de meetcontext zullen we ze interpreteren als eigenschappen van de meetmethode. Merk op dat ze een tralie vormen, dus er is een supremum p₃ dat de andere impliceert met p₂ het infimum van de ene tralie, en er is een infimum <p₃> dat door de andere infima geïmpliceerd wordt met <p₂> als supremum van de andere tralie. De punten p₃ en <p₂> zijn de componenten van de waarnemingscontext, dus M en M^<>: een waarnemingscontext realiseert simultaan de meetmethode (de ene deeltralie fijner dan p₃, versus de andere deeltralie fijner dan <p₂> zowel als de gemeten entiteit 10100000. De infima van de tralie zullen we de meetmiddelen noemen, ze zijn p₂ en <p₃>, dus <M> en <M^<>>. Dat niet elk punt mogelijk is maakt duidelijk dat niet elk meetmiddel mogelijk is, toegepast kan worden om een eigenschap van de entiteit te meten. De laatst toegevoegde onderscheiding (p₁ of p₄) karakteriseert ook een meetmiddel.

De relevante infima ruimer dan de evidente 00000000 van de totale tralie zijn dus de gemeten entiteit MM^<> (10100000) en twee meetmiddelen <M> en <M^<>>.

Meetmiddelen voldoen dan aan de volgende eisen:

<M><M^<>>↔p₂<p₃>↔<> of dus: 00011010OR01000101 is 00000000

<<p₂>p₃>↔<MM^<>> of dus: 00011010AND01000101 is 01011111 en is dus iets anders dan 10100000, de gemeten entiteit.

p₂ = 00011010

<p₃> = 01000101

Meetmiddelen voldoen aan:

p₂•<p₃>↔<p₂•p₃>↔M•M^<>↔MM^<> of dus: 00011010XOR01000101 is 10100000, de waargenomen entiteit.

Waarnemingscontext en voldoen aan:

<p₂>•p₃↔<p₂•p₃>↔M•M^<>↔MM^<> of dus: 10111010XOR11100101 is 10100000, de waargenomen entiteit.

We kunnen nog andere eigenschappen van de tralie afleiden. Wat we meten is 10100000, dit is de OR van 10111010 en 11100101, de meetcontext. De meetcontext componenten zijn een AND van punten die elkaars inbedding zijn. Dus: p₁ANDp₄OR<p₁>AND<p₄> is 10100000. In haaknotering herkennen we <<p₁><p₄>><p₁p₄> en dit is <p₁•p₄> maar ook het anti commutatief creatief product (<p₄>⊗p₄)_p1∼(<p₁>⊗p₁)_p4. Zowel p₁ als p₄ (of hun inbedding) kunnen dus als toegevoegde onderscheiding of spoor van de interactie begrepen worden. Merk op dat ze kunnen functioneren als onderscheiding omdat ze zich op centraal niveau bevinden in het drie onderscheidingen universum.

Met zowel p₁ als p₄ (of hun inbedding) kunnen we M en M^<> roteren (transformeren) naar een unieke toestand van MM^<>. We documenteren dat als = (gelijke bits geven 0, ongelijke bits geven 1).

In het algemeen kunnen we dus de tralie van de kwantum hypothese voorstellen door het supremum <<>>, het ene meetmiddel M als de nevenschikking A_i, en het andere meetmiddel M^<> als A_j, waarbij noch i noch j op voorhand gekend zijn en verschillend kunnen zijn van elkaar en de meetcontext de nevenschikking A_iA_j is. Bij al deze nevenschikkingen is er geen verschil met het vectorproduct want elke individuele A_k is een AND-atoom.

De structuur van een meetmethode

Het onderzoek naar de structuur van een meetmethode kan er toe leiden dat men de positie van M en M^<> moet wijzigen. Dit betekent dus dat de meetmethode de 1 bits moet hebben die in de onderzochte toestand ook aanwezig zijn. Anderzijds: de resolutie van de meetmiddelen hangt af van de 0 bits die dezelfde waarde moeten hebben. Het supremum van een waarnemingscontext is altijd <<>>, het infimum van een waarnemingscontext is altijd het waar te nemen punt.

We illustreren dat door een variant te maken van de deeltralie die we al onderzocht hebben.

Deze deeltralie van een tralie met 8 AND-atomen organiseren we nu lichtjes anders met drie categorieën M₁, M₂ en M₃ die elkaar wederzijds uitsluiten, en waarvoor geldt dat M₁•M₂•M₃ niet te onderscheiden is van M₁M₂M₃ en voor dat infimum gebruiken we eveneens de bitstring 10100000.

Hier herkennen we duidelijk dat de gekozen tralie op verschillende manieren kan voorgesteld worden. Merk de rol op van de invariante bits in de hele tralie (de hoogbit op de eerste en derde positie geteld vanaf links): een conjunctie van elk punt van de tralie met 10100000 zal geen enkel punt veranderen.

We schrijven de nieuwe punten (6 atomen en 3 atoomburen) eens uit.

Ook de drie atoomburen A₁•A₁^<>, A₂•A₂^<> en A₃•A₃^<> sluiten elkaar wederzijds uit. Er geldt ook dat het product A₁•A₁^<>•A₂•A₂^<>•A₃•A₃^<> niet te onderscheiden is van de nevenschikking A₁•A₁^<>A₂•A₂^<>A₃•A₃^<>. Dus: M₁•M₂•M₃ is niet te onderscheiden van M₁M₂M₃.

We gaan er nu van uit dat de drie atoomburen ervaren zijn:

We moeten nu goed beseffen dat OFWEL A_i ervaren is, OFWEL A_i^<> ervaren is. De notatie maakt ook duidelijk dat er drie 1-splitsingen uitgevoerd zijn die niet overlappen, zodanig dat het zin heeft om de som te maken van de drie ervaren atoomburen. Inderdaad x0xxxxx0 ⊕ xxx0x0xx ⊕ xxxx0x0x = x0x00000 en dit is de ervaren M₁•M₂•M₃ dieper in de tralie.

Ook hier merken we op dat enkel in de ervaren situatie geldt dat A₁•A₁^<>•A₂•A₂^<>•A₃•A₃^<> niet te onderscheiden is van A₁•A₁^<> ⊕ A₂•A₂^<> ⊕ A₃•A₃^<>. Of dus in haakvector: (<<>>⊕<A₁•A₁^<>•A₂•A₂^<>•A₃•A₃^<>>)=(<<>>⊕<A₁•A₁^<>>)⊕(<<>>⊕<A₂•A₂^<>>)⊕(<<>>⊕<A₃•A₃^<>>).

Het is nu duidelijk dat we de uitbreiding kunnen doortrekken tot alle AND-atomen:

(<<>>⊕<A₁•A₁^<>•A₂•A₂^<>•A₃•A₃^<>>)=(<<>>⊕<A₁>)⊕(<<>>⊕<A₁^<>>)⊕(<<>>⊕<A₂ >)⊕(<<>>⊕<A₂^<>>)⊕(<<>>⊕<A₃>)⊕(<<>>⊕<A₃^<>>)

Of dus in bitstring:

x0x00000=x0xxxxxx ⊕ xxx0xxxx ⊕ xxxxx0xx ⊕ xxxx0xxx ⊕ xxxxxx0x ⊕ xxxxxxx0

Hiervan de inbedding nemen toont hetzelfde patroon maar dan met OR-atomen:

(<>⊕A₁•A₁^<>•A₂•A₂^<>•A₃•A₃^<>)=(<>⊕A₁)⊕(<>⊕A₁^<>)⊕(<>⊕A₂ )⊕(<>⊕A₂^<>)⊕(<>⊕A₃)⊕(<>⊕A₃^<>).

We herkennen die gelijkheid als een projector die gelijk is aan een som van projectoren.

We merken op dat geen van de welgevormde haakuitdrukkingen, die tot nu toe bestudeerd zijn, andersduaal is. Dat betekent dat geen van deze welgevormde haakuitdrukkingen een klassieke entiteit kan representeren.