Elke haakvector H is uit te drukken als een som van haakvectoren. Bijzonder interessant hierbij zijn al de opsplitsingen die een onmiddellijk gevolg zijn van de modulo3 benadering in het haakformalisme.

Een som met 2 termen

Bijvoorbeeld H=h₁⊕h₂

Hiermee kan nooit een welgevormde haakuitdrukking gevormd worden als H en de h_i welgevormde haakuitdrukking zijn en de h_i niet identiek zijn. Zo is het duidelijk dat H=<H>⊕<H>, maar de identiteit van de h_i kan ook minder duidelijk zijn. Dit is het snelst in te zien met het bitstring model: neem H=h₁•h₂⊕h₃•h₄ en H∼10010111, dan is <H>∼01101000 en dat punt kan op veel verschillende manieren geschreven worden als een vectorproduct, bijvoorbeeld: <H>∼01101000=10001111•00011000∼h₁•h₂ en er kan bijvoorbeeld ook: <H>∼01101000=11111011•01101100∼h₃•h4 zodanig dat H=h₁•h₂⊕h₃•h₄.

Er zijn dan wel 4 welgevormde haakuitdrukkingen maar slechts 2 termen in de som. Dit kan uiteraard uitgebreid worden naar n welgevormde haakuitdrukkingen maar slechts 2 termen in de som.

We kunnen ook de algemene situatie met twee gecollapste haakuitdrukkingen beschouwen. Het is mogelijk dat de som een welgevormde haakuitdrukking is, neem bijvoorbeeld p=h₁⊕h₂.

Neem nu een tweede welgevormde haakuitdrukking q=h₃⊕h₄.

We weten nu dat algemeen geldt dat (p⊕q)•(p⊕<q>)=p•p⊕p•<q>⊕q•p⊕q•<q>=<<>>⊕<>=X. Dus (h₁⊕h₂⊕h₃⊕h₄)•(h₁⊕h₂⊕<h₃⊕h₄>)=(h₁⊕h₂)•(h₁⊕h₂)⊕(h₁⊕h₂)•(<h₃⊕h₄>)⊕(h₃⊕h₄)•(h₁⊕h₂)⊕(h₃⊕h₄)•(<h₃⊕h₄>)=<<>>⊕<>=X en dus h₁•h₁⊕<h₁•h₂>⊕h₂•h₂⊕<h₁•h₃>⊕<h₁•h₄>⊕<h₂•h₃>⊕<h₂•h₄>⊕h₁•h₃⊕h₂•h₃⊕h₁•h₄⊕h₂•h₄⊕<h₃•h₃>⊕h₃•h₄⊕<h₄•h₄>=X en dus h₁•h₁⊕<h₁•h₂>⊕h₂•h₂⊕<h₃•h₃>⊕h₃•h₄⊕<h₄•h₄>=X. Merk op dat de producten h₁•h₃, h₁•h₄, h₂•h₃, h₂•h₄ niet meer optreden.

Uit h₁•h₁⊕<h₁•h₂>⊕h₂•h₂⊕<h₃•h₃>⊕h₃•h₄⊕<h₄•h₄>=X volgt

h₁•h₁⊕<h₁•h₂>⊕h₂•h₂=h₃•h₃⊕<h₃•h₄>⊕h₄•h₄ en dus (h₁⊕h₂)²=(h₃⊕h₄)². Dat is uiteindelijk niet anders dan <<>>=<<>>.

Een som met 3 termen

Bijvoorbeeld H=h₁⊕h₂⊕h₃

Een som van twee welgevormde haakuitdrukkingen die niet identiek zijn is een gecollapste haakvector, dus een haakvector met een bitstring met minstens 1 don’t care, don’t care die zich bevindt op de positie waar de ene welgevormde haakuitdrukking een hoogbit heeft en de andere een laagbit.

Met een som van drie termen kan altijd een welgevormde haakuitdrukking H gevormd worden als één van de h_i een welgevormde haakuitdrukking is en de andere een gecollapste. Dit is snel in te zien in het bitmodel door te handelen alsof er een som van twee termen berekend wordt. We zorgen er dan voor dat er op dezelfde positie ofwel een hoogbit ofwel een laagbit staat, dus niet op de ene een hoogbit en de andere een laagbit. De don’t cares kunnen dan gelijk waar genomen worden. Bijvoorbeeld: 10011101=00100100⊕0x100xx0. Er zijn dus evenveel keuzen als er welgevormde haakuitdrukkingen zijn in het gekozen universum.

Een specifieke en typische keuze is een gecollapste haakvector met enkel één betekende bit, bijvoorbeeld xxxxxxx1, dit is de projector van een AND-atoom. Zo kunnen we op elk niveau projectoren maken. We kunnen er altijd voor zorgen dat op een positie een hoogbit staat door te kwadrateren, bijvoorbeeld (00100100)²⊕(0x100xx0)² is niet anders dan (11111111)⊕(1x111xx1) en in dit geval is deze som de welgevormde haakuitdrukking (01000110). Het kwadraat van elke welgevormde haakuitdrukking is <<>> dus zal gelden dat ((00100100)²⊕(0x100xx0)²)²=H².

Een som van twee termen (dus H=h₁⊕h₂) relateert eigenlijk drie haakvectoren. Drie haakuitdrukkingen kunnen altijd als volgt met elkaar gerelateerd worden (en dat geldt zowel voor gecollapste haakuitdrukkingen als voor welgevormde haakuitdrukkingen): <h₁>=h₂⊕h₃, <h₂>=h₁⊕h₃, <h₃>=h₁⊕h₂. Dit impliceert dat er geldt dat h₁⊕h₂⊕h₃ niet anders is dan de nulvector. Een voorbeeld hiervan zijn drie welgevormde haakuitdrukkingen met dezelfde waarde die verder niet bekend is. Dat betekent dat er dan ook geldt dat <h₁>⊕h₂=<h₂>⊕h₃=<h₃>⊕h₁ en <h₁>⊕h₃=<h₂>⊕h₁=<h₃>⊕h₂. Hiermee kan nooit een welgevormde haakuitdrukking gevormd worden als de h_i welgevormde haakuitdrukking zijn die niet aan elkaar gerelateerd zijn en dus vrij kunnen gekozen worden. Dit is als volgt in te zien: met de veronderstelling dat de h_i welgevormde haakuitdrukkingen zijn, zijn de h_i met elkaar verbonden, maar niet op een unieke manier: kent men twee van de welgevormde haakuitdrukkingen dan is er soms nog een keuze voor de derde, maar het is onmogelijk om een volledig vrije keuze te maken. Om dit in te zien kan men de mogelijke combinaties van individuele bits beschouwen, enkel de volgende zes combinaties zijn mogelijk:

De 24 mogelijke kandidaten hiervoor in het drie onderscheidingen universum zijn te construeren (8 met x als enige term die geen vectorproduct is, 8 met y en 8 met z, uiteraard aangevuld met hun inbeddingen). We geven als voorbeeld de tabel met y als enige term die geen vectorproduct is:

Het patroon is duidelijk: elke haakuitdrukking in drie onderscheidingen met twee don't cares is een mogelijke kandidaat. Het is onvermijdelijk dat de bitstring zowel een don't care, positieve als negatieve bits heeft. Dus H=h₁⊕h₂⊕h₃ zal altijd kunnen geschreven worden als H=g•(<>⊕f) met g en f welgevormde haakuitdrukkingen. In bitstring is dit gemakkelijk te construeren, bijvoorbeeld: H=(++x+x---)=(++++----)•(++x+x+++)=(++++----)•{(--------)⊕(--+-+---)} en (++++----) en (--+-+---) zijn welgevormde haakuitdrukkingen.

In dat geval kan H ook altijd geschreven worden als een som van drie projectoren (die dus gecollapste haakuitdrukkingen zijn). Inderdaad H=(<>⊕h₁)⊕(<>⊕h₂)⊕(<>⊕h₃), of anders genoteerd H=e₁⊕e₂⊕e₃. Er geldt dus ook <H>=(<>⊕h₁)⊕(<>⊕h₂)⊕(<>⊕h₃)⊕h₁⊕h₂⊕h₃ en dus <H>=(<>⊕<h₁>)⊕(<>⊕<h₂>)⊕(<>⊕<h₃>) met welgevormde haakuitdrukkingen h_i is dit ook een som van volwaardige projectoren, maar ook bijvoorbeeld <H>=(<>⊕h₁⊕h₂)⊕(<>⊕h₂⊕h₃)⊕(<>⊕h₃⊕h₁) die geen som zijn van drie projectoren.

Een som met 4 termen

Bijvoorbeeld H=h₁⊕h₂⊕h₃⊕h₄

Hiermee kan altijd een welgevormde haakuitdrukking gevormd worden met andere welgevormde haakuitdrukkingen zoals bewezen bij het creatief product patroon.

In dat geval kan een som van vier projectoren altijd geschreven worden als een projector.

<>⊕<>⊕<>⊕<>⊕h₁⊕h₂⊕h₃⊕h₄=<>⊕h₁⊕<>⊕h₂⊕<>⊕h₃⊕<>⊕h₄=(<>⊕h₁⊕h₂⊕h₃⊕h₄)=<>⊕H

Elke welgevormde haakvector is uit te drukken als een som van twee projectoren, immers H=<>⊕<H>⊕<<>>⊕<H>. Dit is gelijk aan <<>>•(<>⊕<H>)⊕<>•(<>⊕H), en (<>⊕<H>) en (<>⊕H) herkennen we als projectoren in de ruimte <H> en H respectievelijk. Als we deze zouden aanduiden als de gecollapste haakuitdrukkingen h'₁ en h'₂ dan geldt dat H=h'₁⊕<h'₂>. Dit is een som van twee termen maar onderliggend vier welgevormde haakuitdrukkingen.

We kunnen er dan altijd voor zorgen dat h’₁ en h’₂ elkaars orthogonale involutie zijn. We geven hiervan een aantal voorbeelden

• Voor H ∼ ab ∼ <<>>⊕<a>⊕<b>⊕<b•a> en een orthogonalisatie volgens de andersduaal en zelfduaal opsplitsing, geldt dat h₁ kan staan voor <<>>⊕<b•a> of dus (x--x) en dat h₂ dan staat voor <a>⊕<b> of dus (+xx-)dus H = (<<>>⊕<b•a>)⊕(<a>⊕<b>) en dit wordt in koppelvorm {(<<>>⊕<b•a>), (<a>⊕<b>)} en in bitstring {(x--x),(+xx-)}.

• Een van de termen kan men ook volledig willekeurig kiezen. Bijvoorbeeld voor H ∼ <<b><c•a>> ∼ <>⊕<b>⊕<c•a>⊕c•b•a of (+++-++-+) geldt dat, indien we als h₁ kiezen voor <>⊕<a>⊕b⊕c•a⊕<b•c>⊕c•b•a of dus (x++x++-+), dat dan h₂ moet staan voor a⊕b⊕c•a⊕b•c of dus (+xx-xxxx) en dus in bitstring geldt dat H staat voor het koppel {(x++x++-+), (+xx-xxxx)}.

• Als orthogonalisatie kunnen we ook kiezen voor een creatief product. Bijvoorbeeld met H ∼ <<b><c•a>> ∼ <>⊕<b>⊕<c•a>⊕c•b•a is H te beschouwen als een creatief product dat we in een van zijn basissen uitdrukken: H=<<>>•(<>⊕<b>)⊕c•a•(<>⊕b) waarna we dan de opsplitsing volgens die basis gebruiken. Dit kan op een eenvoudige wijze in bitstring als volgt: onderlijn de bits die overeenkomen met de + bit in b, en de andere niet en splits volgens die selectie: (+++-++-+) en dit geeft aanleiding tot het koppel {(++xx++xx), (xx+-xx-+)}.

• Het gevolg hiervan is ook dat zal gelden dat H²=h₁²⊕ h₂² en dit herkennen we als de stelling van Pythagoras. Die drie kwadraten kunnen we ook schrijven als (a²+b²)² = x² + y² en dit legt onmiddellijk de relatie met de getalleer zoals ze in het haakformalisme kan uitgedrukt worden.

Noteer dat elke inwendige involutie overeenkomt met een unieke vectorvermenigvuldiging en dat dit aanleiding kan geven tot een orthogonale 1-splitsing. De involutie gaat slechts door in één van de tralies (zonder enige invloed op de tweede tralie die daarmee de gemeenschappelijke punten in de globale tralie codeert). Uiteraard is dat weer een manier om het begrip ruimte te begrijpen: de zin van een richting kan in een ruimte veranderd worden zonder de zin in andere ruimtes te beïnvloeden.

Indien de vectorsom in het universum van H uitgedrukt is (globale tralie), zijn beide (deel)universa van de 1-splitsing niet van elkaar te onderscheiden omdat de vectorsom commutatief is. Dat is uiteraard zo in het geval van de orthogonale splitsing die we kunnen beschouwen. In het geval men twee willekeurige vectoren als koppel samenstelt kent men het overkoepelend globale onderscheidingen universum (en dus H) niet op voorhand en zullen beide 1-splitsing universa wel degelijk van elkaar kunnen verschillen. In dat geval zullen we optimaal kunnen gebruik maken van de representatie van het haakformalisme met matrices en in uitbreiding van de lineaire operatoren, die twee onbekende structuren in hetzelfde universum kunnen projecteren. We zullen matrices om hun structuur eigenschappen inzetten zonder dat we op voorhand getallen moeten gedefinieerd hebben.

Een som van meerdere gecollapste haakvectoren h_i

Deze gecollapste haakvectoren moeten dan wel geen orthogonale involutie zijn van elkaar maar kunnen wel de nulvector genereren als ze met elkaar vermenigvuldigd worden en ze kunnen dus altijd gekozen worden zodanig dat ze orthogonaal zijn. Het resultaat is dan dat elke h_i een gecollapst punt is dat behoort tot een gecollapste tralie waarbij de directe som resulteert in de tralie waarin H een element is. In dat geval kan altijd genoteerd worden: Σ_i (<>⊕x)_i =(<>⊕l)

Welgevormde haakuitdrukking en signatuur patronen

Welgevormde haakuitdrukkingen doen zich slechts op een beperkt aantal manieren voor als som van verschillende signaturen.

Sommen met 7 termen van zelfde signatuur, bijvoorbeeld a⊕b⊕c⊕b•a⊕b•c⊕c•a⊕c•b•a, <<>>⊕a⊕b⊕b•a⊕c•a⊕c•b⊕c•b•a, <a•b>⊕<a•c>⊕<b•c>⊕<c•d>⊕<b•d>⊕<a•d>⊕<a•b•c•d>.

Sommen met 3 van dezelfde signatuur en 1 van de andere, 4=3+1, sommen met 4 van dezelfde signatuur en 3 van de andere, 7=4+3.

Dit zijn echter geen voldoende voorwaarden, dus een som met deze signaturen is daarom nog geen welgevormde haakuitdrukking.