Het haakformalisme is ontwikkeld zonder andere a priori eisen te stellen tenzij de eis dat het moet gecommuniceerd kunnen worden door enkel “ja” en “neen” te gebruiken. Onderscheidingen kunnen altijd toegevoegd worden, er moet niet geweten zijn wat de relatie zou kunnen zijn van elke onderscheiding met andere onderscheidingen die niet gekozen zijn (of onbekend en zelfs onkenbaar) om zo in een groter universum te functioneren. Het haakmodel van het haakformalisme maakt dat zeer duidelijk in een zeer compacte notatie: men kan altijd op zoek gaan naar een vorm waarin een gekozen opbouwende onderscheiding een minimaal aantal keren herhaald wordt. Het vectormodel van het haakformalisme is hierin al minder efficiënt omdat elke opbouwende onderscheiding in meerdere vectorproducten voorkomt. Deze inzichten hebben geleid tot het ontwikkelen van een formele voorstelling waarin de beslissing om twee symbolen van elkaar te onderscheiden zonder te weten waarom maximaal ingezet wordt: het is altijd mogelijk om één splitsing te maken en dus één koppel symbolen te introduceren. Zonder nog meer veronderstellingen te introduceren werd hiermee een heel nieuw formeel model van het haakformalisme ontwikkeld. We hebben dat een operator model van het haakformalisme genoemd omdat we een afbeelding op matrix operatoren konden vinden. In het operator model hebben we dan haakvectoren op verschillende manier voorgesteld als kolomvector of als rijvector waarbij de ordening van de componenten noodzakelijk is. De ordening is het gevolg van de ordening in een basis koppel. We hebben dat formalisme dan verder ontwikkeld zonder a priori door op een consequente manier te blijven sommeren en vermenigvuldigen modulo3.

In het algemeen (voor een willekeurige x en voor een willekeurige y) geldt, met de vectorvoorstelling als de kolommatrix (x, y)^T:

Met de vectorvoorstelling als rijmatrix (x, y)

De operatie tussen de matrices is de bekende matrix vermenigvuldiging. We kunnen inzien dat we voor zowel x als y een willekeurige haakuitdrukking kunnen kiezen (welgevormd of niet) en dat het resultaat van de transformatie met behulp van een matrix met enkel +1 in rijen en kolommen een vectorvoorstelling oplevert van een som van beide haakuitdrukkingen. Deze operatie is dus in staat twee willekeurige haakuitdrukkingen met elkaar te combineren, zelfs al zijn beide met andere onderscheidingen opgespannen die niet gekend moeten zijn a priori. De resulterende structuur na actie van een matrix op een kolommatrix (rijmatrix) is een kolommatrix (rijmatrix) uitgedrukt in een nieuw geconstrueerd overkoepelend universum, zelfs al is het opspannend universum van beide haakuitdrukkingen niet gekend. Deze operatie op ongekende haakuitdrukkingen hebben we ook geëxploreerd zonder gebruik te maken van matrices maar met een techniek die de repetitieve eigenschappen uitbuit van een ongekende bitstring (en dus de eigenschap die gekend is in het onbekende) en daarbij eerder connotaties heeft met faseverschuivingen. Voor die benadering is er dus een morfisme mogelijk met het matrix model.

Het loont daarom de moeite om eerst expliciet het verband te leggen van inzichten uit het haakformalisme met technieken die bekend zijn vanuit de klassieke matrix theorie.

Het matrixproduct

Essentieel voor het inzicht in de techniek van matrices is dat het resultaat van de transformatie van een operator op een kolomvector of een rijvector kan geschreven worden als een som van kolomvectoren of als een som van rijvectoren. We zullen dit inzicht nu geleidelijk aan expliciteren in het haakformalisme. We doen dat voor een kolom vector, maar uiteraard gaat dit ook op voor een voorstelling als rij vector. We richten nu de aandacht op de volgende matrixvermenigvuldiging: . De transformerende 2x2 matrix is een Hadamard matrix in één dimensie, conventioneel genoteerd als de 2x2 matrix H₂.

De volgende noteringen zijn isomorf:

Hierbij kunnen we de uitdrukkingen tussen haken in het rechter lid beschouwen als structuren die vermenigvuldigd worden met de twee basis structuren uit een 1 onderscheiding universum, voorgesteld als de Hadamard matrix. Merk op dat een haakvector een algemene structuur is, geen getal. Conventioneel wordt een component-gewijze vermenigvuldiging een “scalair product” of “dot product” genoemd. De reden hiervoor is dat men conventioneel een vector beschouwt als een geordende lijst van getallen zonder diepere structuur. Het haakformalisme maakt het dus mogelijk, dank zij het operator model, om een geordende lijst van structuren te onderzoeken zonder dat men de keuze moet maken om een structuur te specificeren tot een getal (zoals we aantonen is een getal een structuur die aantal symmetrie vertoont).

In deze interpretatie codeert de 2x2 Hadamard matrix dus de twee basis vectoren van een één-onderscheiding universum. Dit inzicht kunnen we uitdrukken in de onderstaande analogie, waarbij we als basisvectoren van het één-onderscheidingen universum de vectoren <<>> en a gebruiken.

Dus:

We merken nu op dat we hiermee een duidelijk morfisme gedefinieerd hebben tussen de matrixvermenigvuldiging links van het ∼ teken en de transformatie vermenigvuldiging rechts van het ∼ teken. Beide zijn duidelijk gedefinieerd in hun eigen “taal” of “repertorium”: de matrix transformeert matrices, de transformatie transformeert haakuitdrukkingen. Verder hebben we geen eisen gesteld aan x en y tenzij het haakvectoren zijn (welgevormd of gecollapst), waarmee we dus matrices van haakuitdrukkingen of ervaarbare structuren mogelijk maken. Maar door deze specifieke 2x2 matrix te gebruiken hebben we een bepaalde interpretatie opgedrongen aan het rechter lid: met wordt x geprojecteerd op <<>> (getransformeerd met <>), y wordt geprojecteerd op a (getransformeerd met <a>). Door een matrix vermenigvuldiging kunnen we dus modelleren dat we een onderscheiding toevoegen aan een universum dat verder niet bekend is en opgespannen wordt door de onderscheidingen van x en de onderscheidingen van y zonder dat deze gekend zijn, inderdaad we kunnen ook zeggen dat we <<>> projecteren in de ruimte van x, en a projecteren in de ruimte van y. Dit is een actie die we herkennen als het creatief product met een onderscheiding a. Inderdaad het creatief product van s en t met a is als vectorsom gedefinieerd als (s⊗t)_a=(<s>⊕<t>)•<<>>⊕(<s>⊕t)•a en we merken dus dat het dat is wat de 2x2 Hadamard matrix transformatie op de vector met componenten x en y uitvoert wanneer we (<s>⊕<t>) niet onderscheiden van x en (<s>⊕t) niet onderscheiden van y.

Concreet wordt dan vertaald als

En zoals het creatief product niet commutatief is, zo is ook het matrix product niet commutatief.

De inverse transformatie

De inverse matrix M^-1 wordt gedefinieerd als de matrix waarvan het matrixproduct MM^-1 gelijk is aan de eenheidsmatrix. Dit is de inbedding van de 2x2 Hadamard matrix. Er geldt dus:

en dus of: zodanig dat er geldt dat:

En met de vertaling wanneer we (<s>⊕<t>) niet onderscheiden van x en (<s>⊕t) niet onderscheiden van y is dit of ((s⊕t)⊗(s⊕<t>))_a

De inbedding van de componenten van een matrix heeft dus zijn eigen vertaling als creatief product op voorwaarde dat dezelfde toegevoegde onderscheiding gebruikt wordt, en inderdaad is het juist deze veronderstelling die de definitie mogelijk maakt van een invers en die de associativiteit binnen brengt.

De veronderstellingen van het morfisme

We hebben de willekeurige x voorgesteld als (<s>⊕<t>) en de willekeurige y als (<s>⊕t). We hebben daarmee niets aan algemeenheid verloren, aangezien deze inwendige involutie het gevolg is van het matrixproduct met H₂ en de inverse ten opzichte van het matrixproduct en de eenheidsmatrix de punten s en t oplevert die verder niet gespecificeerd zijn.

We merken ook op dat een som van haakuitdrukkingen zowel gecollapst als welgevormd kan zijn. Dat laatste is gemakkelijk in te zien door ze als volgt te schrijven: s⊕t=s₁⊕s₂⊕t₁⊕<t₂> en het rechterlid volgt het patroon van een algemeen welgevormde haakuitdrukking. Merk op dat hetzelfde dan geldt voor s⊕<t>=s₁⊕s₂⊕<t₁>⊕t₂. De operatie H₂ zal echter altijd een lijst van twee ongekende welgevormde haakuitdrukkingen veranderen in een lijst van twee ongekende gecollapste haakuitdrukkingen.

Voor willekeurige welgevormde haakuitdrukkingen s en t zijn de punten (s⊕t) en (s⊕<t>) punten van orthogonaal complementaire ruimten. Voor de volledigheid merken we dan ook op dat projectoren (en dus sommige gecollapste haakuitdrukkingen) hetzelfde patroon volgen. Om dit aan te tonen moeten we s enkel maar vervangen door <<>>. Projectoren realiseren eveneens een splitsing van het universum in twee deel universa die elkaars orthogonale involutie zijn.

We merken dan ook op dat dit een andere notatie is voor het koppel (<<>>, a) of het creatief product (<<>>⊗a)_t, de coëfficiënten in een basis die hier gevormd is uit de welgevormde haakuitdrukking t.

De ordening van rijen en kolommen in de 2x2 matrix ligt niet a priori vast, en evenmin de ordening in de kolommatrix waarop de 2x2 matrix opereert. Een andere ordening zal een morfisme met andere haakvectoren genereren. Ordeningen worden door matrixvermenigvuldiging van 2x2 matrices bekomen zoals bijvoorbeeld en op die manier kan dus de overgang tussen verschillende morfismes bestudeerd worden.

We hebben al vastgesteld dat elk creatief product vanuit een verschillend standpunt kan geconstrueerd worden, wat we in deze context nu uitdrukken als de dubbele schrijfwijze van H=p•y⊕<q•x>⊕<q•y>⊕<p•x>=(<p•x>⊕p•y)•<<>>⊕(<p•x>⊕<p•y>)•p•q=(<q•x>⊕<q•y>)•<<>>⊕(<q•x>⊕q•y)•p•q

Zo kunnen we H nu ook in het matrix model vertalen als

Hierbij wordt het één-onderscheiding universum niet weergegeven met de conventionele basisvectoren <<>> en a, maar met de basisvectoren <<>> en p•q die al deel uitmaken van het universum dat opgespannen wordt door x, y, p en q. De twee uiterste matrixvermenigvuldigingen van de vorige paragraaf leiden in het haakformalisme dus tot dezelfde welgevormde haakuitdrukking, wat alleen maar kan gerealiseerd worden door als toegevoegde onderscheiding p•q te gebruiken. En zoals ook het creatief product goed gedefinieerd is zonder nieuwe onderscheidingen te introduceren, en dit leidt tot de generatie van de punten van een universum in viervoud, zo zullen we ook moeten onderzoeken hoe we dat zullen herkennen bij operaties met matrices.

Besluit

We hebben een duidelijk morfisme gedefinieerd tussen het haakformalisme en de actie van 2x2 matrices op een kolommatrix (of rijmatrix) met twee componenten gevormd door haakuitdrukkingen. Deze twee componenten interpreteren we als de componenten waarop een inwendige involutie kan uitgevoerd worden. We hebben hiermee het 1-splitsing universum gecreëerd dat we in zijn algemeenheid kunnen onderzoeken.

Het morfisme is gedefinieerd dank zij het creatief product, waarmee dus een onderscheiding toegevoegd wordt aan de onderscheidingen die de componenten opspannen. Het creatief product is goed gedefinieerd zelfs al wordt er geen nieuwe onderscheiding toegevoegd. Dit moet dus een automorfisme introduceren in het matrix model. Met het creatief product kan onderzocht worden onder welke voorwaarden operaties met matrices dezelfde haakuitdrukking genereren.

Het morfisme wordt gerealiseerd dank zijn een bijkomende veronderstelling die geformaliseerd wordt in een bepaald soort operatie: het matrixproduct. Ondanks het ontegensprekelijk nut van het matrix model zijn met dit morfisme dus constructies binnengeslopen in het haakformalisme waarvan de betekenis moet onderzocht worden. Zo is het matrix product associatief en dus hebben we al vastgesteld dat 2x2 matrices een invers kunnen hebben ten opzichte van de identiteitsmatrix . Dit is duidelijk een gevolg van de speciale rol die de identiteitsmatrix speelt in het matrixproduct. Hoe dan ook is dit een gevolg van het creatief invers, dat slechts gedefinieerd is in het geval de toegevoegde onderscheiding niet verandert. Dit op zijn beurt maakt duidelijk waarom het matrixproduct associatief is. Door het gebruiken van de techniek van matrices voegt men dus impliciet één onderscheiding toe en ze wordt als “laatst toegevoegde onderscheidingen” geponeerd om associativiteit mogelijk te maken.

Heel dit onderzoek maakt duidelijk dat we nu ook vectoren (kolom of rij) met louter getallen met behulp van dit formalisme kunnen interpreteren.