Vanaf vier onderscheidingen kunnen we een nieuwe symmetrie aantonen, een symmetrie wat betreft AANTAL transformatie koppels, zolang elke onderscheiding in minstens één koppel functioneert.

We starten met het bewijs voor de permutatiesymmetrie voor vier onderscheidingen. We doen dit eerst voor een minimum aantal koppels met een gemeenschappelijke onderscheiding.

<a•b> AND <a•c> AND <a•d>

(<> ⊕ a•b ⊕ a•c ⊕ b•c) AND <a•d>

<> ⊕ <<> ⊕ a•b ⊕ a•c ⊕ b•c> ⊕ <<a•d>> ⊕ (<> ⊕ a•b ⊕ a•c ⊕ b•c)•<a•d>

<> ⊕ <<>> ⊕ <a•b> ⊕ <a•c> ⊕ <b•c> ⊕ a•d ⊕ a•d ⊕ <b•d> ⊕ <c•d> ⊕ <a•b•c•d>

<a•b> ⊕ <a•c> ⊕ <a•d> ⊕ <b•c> ⊕ <b•d> ⊕ <c•d> ⊕ <a•b•c•d>

<d•b> AND <d•c> AND <d•a>

(<> ⊕ d•b ⊕ d•c ⊕ b•c) AND <a•d>

<> ⊕ <<> ⊕ d•b ⊕ d•c ⊕ b•c> ⊕ <<a•d>> ⊕ (<> ⊕ d•b ⊕ d•c ⊕ b•c)•<a•d>

<> ⊕ <<>> ⊕ <d•b> ⊕ <d•c> ⊕ <b•c> ⊕ a•d ⊕ a•d ⊕ <a•b> ⊕ <c•a> ⊕ <a•b•c•d>

<a•b> ⊕ <a•c> ⊕ <a•d> ⊕ <b•c> ⊕ <b•d> ⊕ <c•d> ⊕ <a•b•c•d>

Ook nu bereiken we hetzelfde resultaat voor het maximaal aantal koppels. We moeten daartoe <a•b> AND <a•c> AND <a•d> AND <b•c> AND <b•d> AND <c•d> berekenen.

<a•b> AND <a•c> AND <a•d> hebben we al berekend.

Een eerste stap extra:

(<a•b> ⊕ <a•c> ⊕ <a•d> ⊕ <b•c> ⊕ <b•d> ⊕ <c•d> ⊕ <a•b•c•d>) AND <b•c>

<> ⊕ a•b ⊕ a•c ⊕ a•d ⊕ b•c ⊕ b•d ⊕ c•d ⊕ a•b•c•d ⊕ <<b•c>> ⊕ (<a•b> ⊕ <a•c> ⊕ <a•d> ⊕ <b•c> ⊕ <b•d> ⊕ <c•d> ⊕ <a•b•c•d>)•<b•c>

<> ⊕ a•b ⊕ a•c ⊕ a•d ⊕ b•c ⊕ b•d ⊕ c•d ⊕ a•b•c•d ⊕ b•c ⊕ a•c ⊕ a•b ⊕ a•b•c•d ⊕ <<>> ⊕ c•d ⊕ b•d ⊕ a•d

<a•b> ⊕ <a•c> ⊕ <a•d> ⊕ <b•c> ⊕ <b•d> ⊕ <c•d> ⊕ <a•b•c•d>

Dit is hetzelfde resultaat.

Een tweede stap extra:

(<a•b> ⊕ <a•c> ⊕ <a•d> ⊕ <b•c> ⊕ <b•d> ⊕ <c•d> ⊕ <a•b•c•d>) AND <b•d>

<> ⊕ a•b ⊕ a•c ⊕ a•d ⊕ b•c ⊕ b•d ⊕ c•d ⊕ a•b•c•d ⊕ <<b•d>> ⊕ (<a•b> ⊕ <a•c> ⊕ <a•d> ⊕ <b•c> ⊕ <b•d> ⊕ <c•d> ⊕ <a•b•c•d>)•<b•d>

<> ⊕ a•b ⊕ a•c ⊕ a•d ⊕ b•c ⊕ b•d ⊕ c•d ⊕ a•b•c•d ⊕ b•d ⊕ a•d ⊕ a•b•c•d ⊕ a•b ⊕ c•d ⊕ <<>> ⊕ b•c ⊕ a•c

<a•b> ⊕ <a•c> ⊕ <a•d> ⊕ <b•c> ⊕ <b•d> ⊕ <c•d> ⊕ <a•b•c•d>

Dit is terug hetzelfde resultaat.

Een derde stap extra:

(<a•b> ⊕ <a•c> ⊕ <a•d> ⊕ <b•c> ⊕ <b•d> ⊕ <c•d> ⊕ <a•b•c•d>) AND <c•d>

<> ⊕ a•b ⊕ a•c ⊕ a•d ⊕ b•c ⊕ b•d ⊕ c•d ⊕ a•b•c•d ⊕ <<c•d>> ⊕ (<a•b> ⊕ <a•c> ⊕

<a•d> ⊕ <b•c> ⊕ <b•d> ⊕ <c•d> ⊕ <a•b•c•d>)•<c•d>

<> ⊕ a•b ⊕ a•c ⊕ a.d ⊕ b•c ⊕ b•d ⊕ c•d ⊕ a•b•c•d ⊕ c•d ⊕ a•b•c•d ⊕ a•d ⊕ a•c ⊕ b•d ⊕

b•c ⊕ <<>> ⊕ a•b

<a•b> ⊕ <a•c> ⊕ <a•d> ⊕ <b•c> ⊕ <b•d> ⊕ <c•d> ⊕ <a•b•c•d>

Dit is terug hetzelfde resultaat.

Vanaf vier onderscheidingen ontstaat ook een transformatiekoppel van transformatiekoppels in de haakvector dat dus “impliciet” gegenereerd wordt door de onderliggende koppels.

Vanaf vier onderscheidingen kunnen we nu ook aantonen dat we hetzelfde resultaat voor een willekeurig verschillend drietal transformatiekoppels bekomen, waarbij we dus aantonen dat het niet nodig is dat er een gemeenschappelijke onderscheiding (één referentie) in de koppels moet voorkomen. Er is dus niet alleen een symmetrie wat betreft referentiepunt, maar een symmetrie wat betreft AANTAL transformatie koppels, zolang elke onderscheiding in minstens één koppel functioneert.

<a•b> AND <a•c> AND <b•d>

(<> ⊕ a•b ⊕ a•c ⊕ b•c) AND <b•d>

<> ⊕ <<> ⊕ a•b ⊕ a•c ⊕ b•c> ⊕ <<b•d>> ⊕ (<> ⊕ a•b ⊕ a•c ⊕ b•c)•<b•d>

<> ⊕ <<>> ⊕ <a•b> ⊕ <a•c> ⊕ <b•c> ⊕ b•d ⊕ b•d ⊕ <a•d> ⊕ <a•b•c•d> ⊕ <c•d>

<a•b> ⊕ <a•c> ⊕ <b•c> ⊕ <b•d> ⊕ <a•d> ⊕ <a•b•c•d> ⊕ <c•d>

En dit is inderdaad nogmaals hetzelfde resultaat.

<a•b> AND <b•c> AND <c•d>

(<> ⊕ a•b ⊕ a•c ⊕ b•c) AND <c•d>

<> ⊕ <<> ⊕ a•b ⊕ a•c ⊕ b•c> ⊕ <<c•d>> ⊕ (<> ⊕ a•b ⊕ a•c ⊕ b•c)•<c•d>

<> ⊕ <<>> ⊕ <a•b> ⊕ <a•c> ⊕ <b•c> ⊕ c•d ⊕ c•d ⊕ <a•b•c•d> ⊕ <a•d> ⊕ <b•d>

<a•b> ⊕ <a•c> ⊕ <b•c> ⊕ <c•d> ⊕ <b•d> ⊕ <a•d> ⊕ <a•b•c•d>

En dit is inderdaad nogmaals hetzelfde resultaat.

Om de patronen te bevestigen die zich ondertussen opwerpen, doen we dit ook voor vijf onderscheidingen.

Eerst met een gemeenschappelijke onderscheiding

<a•b> AND <a•c> AND <a•d> AND <a•e>

(<a•b> ⊕ <a•c> ⊕ <a•d> ⊕ <b•c> ⊕ <b•d> ⊕ <c•d> ⊕ <a•b•c•d>) AND <a.e>

<> ⊕ <<a•b> ⊕ <a•c> ⊕ <a•d> ⊕ <b•c> ⊕ <b•d> ⊕ <c•d> ⊕ <a•b•c•d>> ⊕ <<a.e>> ⊕ (<a•b> ⊕ <a•c> ⊕ <a•d> ⊕ <b•c> ⊕ <b•d> ⊕ <c•d> ⊕ <a•b•c•d>)•<a•e>

<> ⊕ a•b ⊕ a•c ⊕ a•d ⊕ b•c ⊕ b•d ⊕ c•d ⊕ a•b•c•d ⊕ a.e ⊕ b•e ⊕ c•e ⊕ d•e ⊕ a•b•c•e ⊕ a•b•d•e ⊕ a•c•d•e ⊕ b•c•d•e

<> ⊕ a•b ⊕ a•c ⊕ a•d ⊕ a.e ⊕ b•c ⊕ b•d ⊕ b•e ⊕ c•d ⊕ c•e ⊕ d•e ⊕ a•b•c•d ⊕ a•b•c•e ⊕ a•b•d•e ⊕ a•c•d•e ⊕ b•c•d•e

Nu met een willekeurig voorbeeld uit de overblijvende 205 mogelijke combinaties met 4 transformatiekoppels:

<a•b> AND <b•c> AND <c•d> AND <d•e>

(<a•b> ⊕ <a•c> ⊕ <b•c> ⊕ <c•d> ⊕ <b•d> ⊕ <a•d> ⊕ <a•b•c•d>) AND <d•e>

<> ⊕ <<a•b> ⊕ <a•c> ⊕ <b•c> ⊕ <c•d> ⊕ <b•d> ⊕ <a•d> ⊕ <a•b•c•d>> ⊕ <<d•e>> ⊕ (<a•b> ⊕ <a•c> ⊕ <b•c> ⊕ <c•d> ⊕ <b•d> ⊕ <a•d> ⊕ <a•b•c•d>)•<d•e>

<> ⊕ a•b ⊕ a•c ⊕ b•c ⊕ c•d ⊕ b•d ⊕ a•d ⊕ a•b•c•d ⊕ d•e ⊕ a•b•d•e ⊕ a•c•d•e ⊕ b•c•d•e ⊕ c•e ⊕ b•e ⊕ a•e ⊕ a•b•c•e

<> ⊕ a•b ⊕ a•c ⊕ a•d ⊕ a•e ⊕ b•c ⊕ b•d ⊕ b•e ⊕ c•d ⊕ c•e ⊕ d•e ⊕ a•b•c•d ⊕ a•b•c•e ⊕ a•b•d•e ⊕ a•c•d•e ⊕ b•c•d•e

Telkens bereiken we hetzelfde resultaat.

Ook hier zien we nu dat al de mogelijke transformatiekoppels in de haakvector optreden.

We merken op dat alle componenten in de resulterende haakvectorsom andersduale elementen zijn. Bij een oneven aantal onderscheidingen komt <> voor. Bij een even aantal onderscheidingen komt <<>> niet voor hoewel dan alle componenten de inbedding zijn van componenten uit een oneven universum.

Nochtans moeten we ook benadrukken dat zelfduaal versus andersduaal slechts relatief is, inderdaad kunnen we bijvoorbeeld de volgende vertaling van de symbolen uitvoeren die volledig coherent is met de relaties in <> ⊕ a•b ⊕ a•c ⊕ a•d ⊕ a•e ⊕ b•c ⊕ b•d ⊕ b•e ⊕ c•d ⊕ c•e ⊕ d•e ⊕ a•b•c•d ⊕ a•b•c•e ⊕ a•b•d•e ⊕ a•c•d•e ⊕ b•c•d•e:

a•b↔Z

a•c↔V

a•d↔Z•Y•U

a•e↔Z•X•U

b•c↔U

b•d↔Z•Y•V

b•e↔Z•X•V

c•d↔Y

c•e↔X

d•e↔W

a•b•c•d↔Z•Y

a•b•c•e↔Z•X

a•b•d•e↔Z•W

a•c•d•e↔V•W

b•c•d•e↔U•W

We kunnen een volgend overzicht geven voor universa met n onderscheidingen:

Noteer dat het maximum aantal transformatiekoppels gelijk is aan de som van de getallen van 1 tot en met (n-1).