Het haakformalisme is gebouwd op onderscheidingen en niet op entiteiten, niet op soorten of “iets dat telbaar is”. Soorten worden afgeleid door expliciet een bijkomende veronderstelling aan te nemen: aspecten moeten dezelfde waarde hebben om als soort te kunnen functioneren. Dit is een subtiel onderscheid dat als volgt kan omschreven worden: beschouw even “de onderscheiding” als een soort. Het is pas wanneer we een aantal onderscheidingen kiezen dat dit te tellen is en dan spannen we een bepaald onderscheidingen universum op, één onderscheiding kan enkel van de soort “ja” zijn, ofwel van de soort “neen”, of kan onbepaald zijn. Ook voor een ander model van het haakformalisme kan dit subtiel omschreven worden: beschouw nu “de bit” als een soort. Het is pas wanneer we een aantal bits kiezen dat dit te tellen is en dan spannen we een bepaald onderscheidingen universum op, één bit kan enkel van de soort “hoog” zijn, ofwel van de soort “laag”, of kan don’t care zijn.

Het haakformalisme dwingt ons om minimaal van één soort te spreken met minimaal intensiteit 1, meer niet. Bijkomende soorten kunnen altijd verondersteld worden en op hun consequenties onderzocht worden, en het aantal soorten dat we ons kunnen voorstellen is beperkt en die beperking zal zich voordoen als een beperking van aantal. Om de verschillende aantallen concreet te maken kunnen we ons voorstellen dat een soort minimaal een dimensie heeft (zoals seconde, Joule, pH, Beaufort enz… die gedefinieerd worden zijn door een bepaalde waarnemingsprocedure), een kwaliteit die dan op zijn beurt een intensiteit kan hebben die zich gedraagt als een getal. Het is juist dit dat impliciet ook aangenomen wordt bij elke hedendaagse empirische wetenschap die een verschil maakt tussen datgene dat waargenomen wordt (dat als een eenheid of “soort entiteit” gewaardeerd wordt) en de intensiteit ervan (dat als de extensie, de hoeveelheid, van die eenheid gewaardeerd wordt). Zij zijn beide een ander aspect van de werkelijkheid, intensiteiten blijken gemakkelijker te veranderen dan entiteiten, die dus gemakkelijker als invariant waargenomen worden. Essentieel bij het gebruiken van intensiteiten bij de beschrijving van de werkelijkheid is dus dat er met die “intensiteiten op eenheden” moet kunnen gerekend worden. Dat betekent bijvoorbeeld dat de som van “intensiteiten op een eenheid” ook resulteert in de “som van de intensiteiten” op die eenheid (enkel de intensiteit verandert, niet de eenheid, niet de entiteit), en een product van “intensiteiten op een eenheid” ook resulteert in een “product van de intensiteiten” op die eenheid (of van die entiteit). De vraag is natuurlijk wat bedoeld wordt met die binaire operaties van “som” en “product”.

Dit is een vraag met een niet evident antwoord. Neem bijvoorbeeld als product de relatie • en als som de relatie ⊕, en veronderstel u=(u_p•p) en v=(v_p•p), wat uitdrukt dat elke welgevormde haakuitdrukking het product is van een intensiteit en de eenheid p, dan is u⊕v=(u_p•p)⊕(v_p•p) en dus u⊕v=(u_p⊕v_p)•p. We zien hier de som van de intensiteiten als intensiteit van de eenheid p. Deze eigenschap wordt de distributiviteit van het product ten opzichte van de som genoemd. Daarentegen geldt u•v=(u_p•p)•(v_p•p)=u_p•v_p en dus niet (u_p•v_p)•p, de eenheid p is “gelijk wat” geworden (namelijk u_p•v_p is niet verschillend van u_p•v_p•<<>>). We kunnen onmiddellijk wel voorbeelden geven van een eenheid die invariant blijft onder die veronderstellingen:

• Vervang p door zijn projector, bijvoorbeeld <>⊕p’, dus (u_p•(<>⊕p’))•(v_p•(<>⊕p’))=u_p•v_p•(<>⊕p’), we zien hier het product van de intensiteiten als intensiteit van de eenheid <>⊕p’.

• Een ander voorbeeld is te geven als de centrale relatie het creatief product is, dus ((u_p•p)⊗(v_p•p))_a=(u_p⊗v_p)_a•p, we zien hier het creatief product van de intensiteiten als intensiteit van de eenheid p en een creatief product is altijd uit te drukken als een 3&1 som.

• Een ander voorbeeld is dat de vectorproduct relatie ook geldt voor de eenheid met waarde <<>>, dus als u=(u_p•<<>>) en v=(v_p•<<>>), dan is u⊕v=(u_p⊕v_p)•<<>> en u•v=(u_p•<<>>)•(v_p•<<>>)=(u_p•v_p)•<<>>.

De mogelijkheden om van coëfficiënten van eenheden te kunnen spreken hebben we dus in zijn algemeenheid onderzocht door de distributiviteit van relaties ten opzichte van elkaar in kaart te brengen. Het is daarbij opgevallen dat sommen die geen welgevormde haakuitdrukking representeren een ander gedrag vertonen dan sommen die dat wel doen, en dat de veronderstelling dat een eenheid niet anders is dan <<>>, sommige relaties wel distributief maakt ten opzichte van andere.

Eenheid en intensiteit van de eenheid kunnen we dus onderzoeken door van de relaties te vertrekken die distributiviteit vertonen zonder bijkomende voorwaarden (dit zijn enkel nevenschikking en creatief product). Als er dan voorwaarden aan relaties opgelegd worden (bijvoorbeeld als • niet verschillend is van disjunctie) zullen ook andere relaties distributiviteit vertonen.

Intensiteit met één eenheid

In het haakformalisme zijn er drie fundamentele relaties: unair: inbedding, binair: nevenschikking en ternair: creatief product. De ternaire relatie is binair en associatief wanneer steeds dezelfde toegevoegde onderscheiding verondersteld wordt. Een intensiteit van een eenheid is een binaire relatie en het is de binaire relatie van nevenschikking die voor invarianten kan zorgen. We moeten dus steeds voor ogen houden dat het variërende deel van de relatie zowel de intensiteit kan zijn als de eenheid.

We onderzoeken nu nevenschikking, conjunctie en “creatief product met dezelfde toegevoegde onderscheiding” als binaire relaties die mogelijks een intensiteit met een eenheid kunnen uitdrukken. Merk op dat het vectorproduct hiermee ook gemodelleerd wordt aangezien het als de binaire relatie van nevenschikkingen kan geschreven worden (u•v∼<u<v>><<u>v> zien we hier als de disjunctie van conjuncties).

Intensiteit als disjunctie met de eenheid

Veronderstel dat twee welgevormde haakuitdrukkingen gegeven worden door een disjunctie van een intensiteit en een eenheid, dus u=u_pp en v=v_pp dan is

uv=u_pv_pp

<<u><v>>=<<u_pp><v_pp>>=<<u_p><v_p>>p

(u⊗v)_a=((u_pp)⊗(v_pp))_a=p(u_p⊗v_p)_a wat we reeds bewezen hebben

In de drie gevallen zien we dat de eenheid invariant is en enkel de intensiteiten de bewerking ondergaan van de operaties disjunctie, conjunctie en creatief product. Om dit duidelijker te maken gebruiken we de symbolen ∧ (conjunctie) en ∨ (disjunctie) en dan vertalen we: u=u_p∨p en v=v_p∨p en is u∨v=(u_p∨v_p)∨p, u∧v=(u_p∧v_p)∨p en (u⊗v)_a=(u_p⊗v_p)_a∨p. Telkens zien we de operatie op de intensiteiten terwijl de eenheid invariant blijft.

Intensiteit als conjunctie met de eenheid

Veronderstel dat twee welgevormde haakuitdrukkingen gegeven worden door een conjunctie van een intensiteit en een eenheid, dus u=<<u_p><p>> en v=<<v_p><p>>. Dat betekent dus dat <u>=<u_p><p> en <v>=<v_p><p> en hier zien we terug een disjunctie, maar dan met <p>.

dan is

uv=<<u_p><p>><<v_p><p>>=<<<<u_p><p>><<v_p><p>>>>=<<u_pv_p><p>>

<<u><v>>=<<u_p><p><v_p><p>>=<<u_p><v_p><p>>

(<u>⊗<v>)_a=((<u_p><p>)⊗(<v_p><p>))_a=<p>(<u_p>⊗<v_p>)_a en dus:

(u⊗v)_a=<(<u>⊗<v>)_a>=<<p>(<u_p>⊗<v_p>)_a>=<<p><(u_p⊗v_p)_a>>

Ook hier zien we dat de eenheid zijn functie vervult. In vertaling: u=u_p∧p en v=v_p∧p dan is u∨v=(u_p∨v_p)∧p, u∧v=(u_p∧v_p)∧p en (u⊗v)_a=(u_p⊗v_p)_a∧p. Telkens zien we de operatie op de intensiteiten terwijl de eenheid invariant blijft.

Intensiteit als creatief product met de eenheid

Veronderstel dat twee welgevormde haakuitdrukkingen gegeven worden door een creatief product van een intensiteit en een eenheid, dus u=(u_p⊗p)_a en v=(v_p⊗p)_a.

uv=(u_p⊗p)_a(v_p⊗p)_a=<a<u_p>><<a><p>><a<v_p>><<a><p>>=<a<u_p>><a<v_p>><<a><p>>=<<<a<u_p>><a<v_p>>>><<a><p>>=<a<<<u_p>><<v_p>>>><<a><p>>=<a<u_pv_p>><<a><p>>=(u_pv_p⊗p)_a.

<<u><v>>=<<(u_p⊗p)_a><(v_p⊗p)_a>>=<(<u_p><v_p>⊗<p>)_a>=(<<u_p><v_p>>⊗p)_a. Wat duidelijk uit het vorig bewijs voor de disjunctie kan afgeleid worden.

(u⊗v)_a=((u_p⊗p)_a⊗(v_p⊗p)_a)_a=(u_p⊗p⊗v_p⊗p)_a=(u_p⊗v_p⊗p)_a=(u_p⊗p)_a door de associativiteit van creatieve producten met toevoeging van eenzelfde onderscheiding. Het is op zijn minst merkwaardig dat de intensiteit van de tweede welgevormde haakuitdrukking hierin irrelevant is. De eenheid van de onderscheidingen zijn identiek. De eerste levert dus de intensiteit en de gezamelijke eenheid levert de eenheid.

De intensiteit als creatief product met een eenheid zal de eenheid in het algemeen dus niet invariant laten.

Besluit voor de intensiteiten met één eenheid

Het onderzoek naar operaties die de klassieke eigenschappen van getallen vertonen, toont nogmaals aan dat disjunctie en conjunctie hetzelfde patroon zijn. Het onderzoek reduceert de mogelijkheden tot (1) de disjunctie of conjunctie met een eenheid als representatie van de intensiteit van die eenheid en (2) de disjunctie of conjunctie en creatief product als de operaties op die intensiteiten.

Elke disjunctie kan daarenboven geschreven worden in het creatief product patroon, inderdaad (<a>⊗u)_a=a⊕<u>⊕<<>>⊕a•u en dit is niet anders dan <a>u, namelijk de disjunctie van <a> en u. Dit betekent dat het onderzoek naar operaties op welgevormde haakuitdrukkingen die de klassieke eigenschappen van getallen vertonen niet meer dan het creatief product vereist. Elke welgevormde haakuitdrukking kan immers als een creatief product weergegeven worden. Het creatief product is echter geen kandidaat om een op voorhand gekozen of invariante relatie van intensiteit met een eenheid weer te geven. Het is wel in staat om een willekeurige welgevormde haakuitdrukking als intensiteit te relateren tot een willekeurige welgevormde haakuitdrukking als de eenheid van die intensiteit.

Speciaal geval

We hebben bewezen dat een disjunctie van welgevormde haakuitdrukkingen die elkaar uitsluiten niet kan onderscheiden worden van een vectorproduct. We kunnen nu veronderstellen dat u_p en v_p de waarde <<>> hebben, dus ze sluiten p uit. In dat geval kunnen we elke disjunctie door een vectorproduct veranderen, dus de vertaling wordt: u=u_p•p en v=v_p•p en dan is u∨v=(u_p•v_p)•p, u∧v=(u_p∧v_p)•p en (u⊗v)_a=(u_p⊗v_p)_a•p en die laatste operatie (want u_p en v_p sluiten elkaar uit) is niet anders dan (u_p•v_p)•p. De operatie wordt dus op de intensiteiten uitgevoerd terwijl de eenheid invariant blijft en onder die voorwaarden blijven er maar twee patronen meer over: (u_p∧v_p)•p en (u_p•v_p)•p.

Intensiteiten met meerdere eenheden

We kunnen het onderzoek nu uitbreiden naar meerdere eenheden (bijvoorbeeld naast p ook q) en de voorwaarde afleiden waarbij een operatie de eenheden respecteert en de relatie van die eenheden tot elkaar respecteert. Om de aandacht te richten verwijzen we naar dubbelgetallen (complexe of perplexe) getallen die een combinatie zijn van twee eenheden.

Het onderzoek beperken we dus tot de beperkingen die vanuit het onderzoek met eenzelfde eenheid blijken te gelden: (1) enkel de disjunctie (of conjunctie) met een eenheid als representatie van de intensiteit van die eenheid (2) enkel disjunctie (of conjunctie) en creatief product als de samenstelling zodat een nieuwe welgevormde haakuitdrukking als samenstelling van meerdere eenheden voorgesteld wordt (3) enkel disjunctie (of conjunctie) en creatief product als de operaties op die samengestelde welgevormde haakuitdrukkingen.

Dan onderzoeken we of de gekozen samenstelling van de intensiteiten voor de drie operaties terug de gekozen samenstelling van de intensiteiten vertoont waarbij de operatie enkel op de intensiteiten uitgevoerd werd.

Intensiteit als disjunctie en disjunctie als samenstelling

u=(u_p∨p)∨(u_q∨q)∼u_ppu_qq

v=(v_p∨p)∨(v_q∨q)∼v_ppv_qq

Disjunctie

u∨v∼uv=u_ppu_qqv_ppv_qq=u_pv_ppu_qv_qq

Dit is niet anders dan (u_p∨v_p∨p)∨(u_q∨v_q∨q)

u∨v=(u_p∨v_p∨p)∨(u_q∨v_q∨q) zonder bijkomende voorwaarde

Conjunctie

u∧v∼<<u><v>>=<<u_ppu_qq><v_ppv_qq>>=pq<<u_pu_q><v_pv_q>>.

We verwachten (u_p∧v_p∨p)∨(u_q∧v_q∨q) dus <<u_p><v_p>>p<<u_q><v_q>>q

Om de voorwaarden voor de gelijkheid van beide uitdrukkingen te onderzoeken volstaat het om ons te beperken tot pq=<<>>, dus zowel p als q hebben waarde <<>>, in alle andere gevallen hebben beide uitdrukkingen dezelfde waarde, namelijk <>. De 16 relevante mogelijkheden zijn:

Beide uitdrukkingen blijken dan niet gelijk te zijn enkel in twee gevallen:

Dat betekent dat de operatie voldoet behalve in twee gevallen: als u_p en v_p elkaars inbedding zijn en daarenboven ook u_q en v_q elkaars inbedding zijn. De uitdrukking hiervoor is <u_p•v_p><u_q•v_q>=<<>>.

u∧v=(u_p∧v_p∨p)∨(u_q∧v_q∨q) onder voorwaarde <u_p•v_p><u_q•v_q>=<<>>

Creatief product

(u⊗v)_a=(u_ppu_qq⊗v_ppv_qq)_a=pq(u_pu_q⊗v_pv_q)_a.

pq<a<u_pu_q>><<a><v_pv_q>>

pq<a<u_p>><a<u_q>><<a><v_p>><<a><v_q>>

pq<a<<<u_p>><<u_q>>>><<a><<<v_p>><<v_q>>>>

pq<<<a<u_p>><a<u_q>>>><<<<a><v_p>><<a><v_q>>>>

pq<a<u_p>><<a><v_p>><a<u_q>><<a><v_q>>

p<a<u_p>><<a><v_p>>q<a<u_q>><<a><v_q>>

p(u_p⊗v_p)_aq(u_q⊗v_q)_a

Dit is p∨(u_p⊗v_p)_a∨q∨(u_q⊗v_q)_a

(u⊗v)_a=p∨(u_p⊗v_p)_a∨q∨(u_q⊗v_q)_a zonder bijkomende voorwaarde

Intensiteit als disjunctie en conjunctie als samenstelling

u=(u_p∨p)∧(u_q∨q)∼<<u_pp><u_qq>>

v=(v_p∨p)∧(v_q∨q)∼<<v_pp><v_qq>>

Disjunctie

u∨v∼uv=<<u_pp><u_qq>><<v_pp><v_qq>>

<<u_pp<<v_pp><v_qq>><u_qq<<v_pp><v_qq>>>>

<<u_pp<<v_p><v_qq>><u_qq<<v_pp><v_q>>>>

Om nu een stap verder te geraken moeten we wel een veronderstelling maken over p en q. Stel nu <pq>=<<>> en dus <pq>q=q en dus q=<p>q

Dus dan wordt <<u_pp<<v_p><v_qq>><u_qq<<v_pp><v_q>>>> gelijk aan <<u_pp<<v_p><v_qq<p>>><u_qq<<v_pp<q>><v_q>>>> en dus <<u_pv_pp><u_qv_qq>>

Of dus u∨v=((u_p∨v_p)∨p)∧((u_q∨v_q)∨q) onder de voorwaarde dat pq=<>

Conjunctie

u∧v∼<<u><v>>=<<u_pp><v_pp><u_qq><v_qq>>

<<<<u_pp><v_pp>>><<<u_qq><v_qq>>>>

<<<<u_p><v_p>>p><<<u_q><v_q>>q>>

Of dus u∧v=((u_p∧v_p)∨p)∧((u_q∧v_q)∨q) zonder bijkomende voorwaarden

Creatief product

(u⊗v)_a=(<<u_pp><u_qq>>⊗<<v_pp><v_qq>>)_a=<a<u_pp><u_qq>><<a><v_pp><v_qq>>

We verwachten: p∨(u_p⊗v_p)_a∧q∨(u_q⊗v_q)_a en tonen nu aan dat de uitdrukking hiervoor gelijk is met (u⊗v)_a=<a<u_pp><u_qq>><<a><v_pp><v_qq>>

p∨(u_p⊗v_p)_a∧q∨(u_q⊗v_q)_a∼<<<a<u_pp>><<a><v_pp>>><<a<u_qq>><<a><v_qq>>>>

<<<a<u_pp><<a<u_qq>><<a><v_qq>>>><<a><v_pp><<a<u_qq>><<a><v_qq>>>>>>

<<<a<u_pp><<<u_qq>><<><v_qq>>>><<a><v_pp><<<><u_qq>><<v_qq>>>>>>

<<<a<u_pp><u_qq>><<a><v_pp><v_qq>>>>

<a<u_pp><u_qq>><<a><v_pp><v_qq>>

QED

Of dus (u⊗v)_a=p∨(u_p⊗v_p)_a∧q∨(u_q⊗v_q)_a zonder bijkomende voorwaarde

Intensiteit als disjunctie en een creatief product als samenstelling

u=((u_p∨p)⊗(u_q∨q))_a∼<a<u_pp>><<a><u_qq>>

v=((v_p∨p)⊗(v_q∨q))_a∼<a<v_pp>><<a><v_qq>>

Disjunctie

u∨v∼uv=<a<u_pp>><<a><u_qq>><a<v_pp>><<a><v_qq>>

<a<u_pp>><a<v_pp>><<a><u_qq>><<a><v_qq>>

<<<a<u_pp>><a<v_pp>>>><<<<a><u_qq>><<a><v_qq>>>>

<a<<<u_pp>><<v_pp>>>><<a><<<u_qq>><<v_qq>>>>

<a<u_ppv_pp>><<a><u_qqv_qq>>

(p∨(u_p∨v_p)⊗q∨(u_q∨v_q))_a

u∨v=(p∨(u_p∨v_p)⊗q∨(u_q∨v_q))_a zonder bijkomende voorwaarde

Conjunctie

u∧v∼<<u><v>>=<<<a<u_pp>><<a><u_qq>>><<a<v_pp>><<a><v_qq>>>>

<<<a<u_pp><<a<v_pp>><<a><v_qq>>>><<a><u_qq><<a<v_pp>><<a><v_qq>>>>>>

<a<u_pp><<<v_pp>><<><v_qq>>>><<a><u_qq><<<><v_pp>><<v_qq>>>>

<a<u_pp><v_pp>><<a><u_qq><v_qq>>

<a<<<u_pp><v_pp>>>><<a><<<u_qq><v_qq>>>>

<a<p<<u_p><v_p>>>><<a><q<<u_q><v_q>>>>

(p<<u_p><v_p>>⊗q<<u_q><v_q>>)_a

u∧v=(p∨(u_p∧v_p)⊗q∨(u_q∧v_q))_a zonder bijkomende voorwaarde

Creatief product

(u⊗v)_a=(((u_p∨p)⊗(u_q∨q))_a⊗((v_p∨p)⊗(v_q∨q))_a)_a=((u_p∨p)⊗(v_q∨q))_a

We verwachten ((p∨(u_p⊗v_p)_a⊗q∨(u_q⊗v_q)_a)_a dus ((p(u_p⊗v_p)_a⊗q(u_q⊗v_q)_a)_a en door associativiteit is dit niet anders dan (pu_p⊗qv_q)_a

(u⊗v)_a=((p∨(u_p⊗v_p)_a⊗q∨(u_q⊗v_q)_a)_a zonder bijkomende voorwaarde

Intensiteit als conjunctie en een disjunctie als samenstelling

u=(u_p∧p)∨(u_q∧q)∼<<u_p><p>><<u_q><q>>

v=(v_p∧p)∨(v_q∧q)∼<<v_p><p>><<v_q><q>>

Disjunctie

u∨v∼uv=<<u_p><p>><<u_q><q>><<v_p><p>><<v_q><q>>

<<u_p><p>><<v_p><p>><<u_q><q>><<v_q><q>>

<<<<u_p><p>><<v_p><p>>>><<<<u_q><q>><<v_q><q>>>>

<<<<u_p>><<v_p>>><p>><<<<u_q>><<v_q>>><q>>

<<u_pv_p><p>><<u_qv_q><q>>

Dus: u∨v=((u_p∨v_p)∧p)∨((u_q∨v_q)∧q) zonder bijkomende voorwaarde

Conjunctie

u∧v∼<<u><v>>=<<<<u_p><p>><<u_q><q>>><<<v_p><p>><<v_q><q>>>>

<<<<u_p><p><<<v_p><p>><<v_q><q>>>><<u_q><q><<<v_p><p>><<v_q><q>>>>>>

<<<<u_p><p><v_p<<v_q><q>>>><<u_q><q><<<v_p><p>>v_q>>>>

<<<<u_p><p><<<v_p<<v_q><q>>>>>><<u_q><q><<<<<v_p><p>>v_q>>>>>>

<<<<<<u_p><p><v_p<<v_q><q>>>>>><<<<u_q><q><<<v_p><p>>v_q>>>>>>

Om nu een stap verder te geraken moeten we wel een veronderstelling maken over p en q. Stel nu <<p><q>>=<<>>

<<p><q>><p>=<<>><p> dus q<p>=<p>

<<p><q>><q>=<<>><q> dus p<q>=<q>

<<<<<<u_p>q<p><v_p<<v_q><q>>>>>><<<<u_q>p<q><<<v_p><p>>v_q>>>>>>

<<u_p>q<p><v_p>><<u_q>p<q><v_q>>

<<u_p><p><v_p>><<u_q><q><v_q>>

En de vertaling hiervan is ((u_p∧v_p)∧p)∨((u_q∧v_q)∧q)

u∧v=((u_p∧v_p)∧p)∨((u_q∧v_q)∧q) onder de voorwaarde <p><q>=<>

Creatief product

(u⊗v)_a=(<<u_p><p>><<u_q><q>>⊗<<v_p><p>><<v_q><q>>)_a=<a<<<u_p><p>><<u_q><q>>>><<a><<<v_p><p>><<v_q><q>>>>

We verwachten (p∧(u_p⊗v_p)_a)∨(q∧(u_q⊗v_q)_a)

<<p><<a<u_p>><<a><v_p>>>><<q><<a<u_q>><<a><v_q>>>>

<<<a<u_p><p>><<a><v_p><p>>>><<<a<u_q><q>><<a><v_q><q>>>>

<a<u_p><p>><<a><v_p><p>><a<u_q><q>><<a><v_q><q>>

<a<u_p><p>><a<u_q><q>><<a><v_p><p>><<a><v_q><q>>

<<<a<u_p><p>><a<u_q><q>>>><<<<a><v_p><p>><<a><v_q><q>>>>

<a<<<u_p><p>><<u_q><q>>>><<a><<<v_p><p>><<v_q><q>>>> en dit is (u⊗v)_a

(u⊗v)_a=(p∧(u_p⊗v_p)_a)∨(q∧(u_q⊗v_q)_a) zonder bijkomende voorwaarde

Intensiteit als conjunctie en een conjunctie als samenstelling

u=(u_p∧p)∧(u_q∧q)∼<<u_p><p><u_q><q>>

v=(v_p∧p)∧(v_q∧q)∼<<v_p><p><v_q><q>>

Disjunctie

u∨v∼uv=<<u_p><p><u_q><q>><<v_p><p><v_q><q>>

<<<<v_p><p><v_q><q>>u_p><<<v_p><p><v_q><q>>p><<<v_p><p><v_q><q>>u_q><<<v_p><p><v_q><q>>q>>

<<<<v_p><p><v_q><q>>u_p><<<v_p><><v_q><q>>p><<<v_p><p><v_q><q>>u_q><<<v_p><p><v_q><>>q>>

<<<<v_p><p><v_q><q>>u_p><p><<<v_p><p><v_q><q>>u_q><q>>

<<<<v_p><v_q><q>>u_p><p><<<v_p><p><v_q>>u_q><q>>

<<u_pv_p><u_pv_q><u_pq><p><u_qv_p><u_qp><u_qv_q><q>>

<<u_pv_p><u_pv_q><u_pq<>><p><u_qv_p><u_q<>><u_qv_q><q>>

<<u_pv_p><u_pv_q><p><u_qv_p><u_qv_q><q>>

Stel dat <u_pv_q><u_qv_p>=<<>> dan is dat niet anders dan

<<u_pv_p><p><u_qv_q><q>>

of

((u_p∨v_p)∧p)∧((u_q∨v_q)∧q)

Dus

u∨v=((u_p∨v_p)∧p)∧((u_q∨v_q)∧q) onder voorwaarde <u_pv_q><u_qv_p>=<<>>

Conjunctie

u∧v∼<<u><v>>=<<<<u_p><p><u_q><q>>><<<v_p><p><v_q><q>>>>

<<u_p><p><u_q><q><v_p><p><v_q><q>>

<<u_p><v_p><p><u_q><v_q><q>>

(u_p∧v_p∧p)∧(u_q∧v_q∧q)

Dus

u∧v=(u_p∧v_p∧p)∧(u_q∧v_q∧q) zonder bijkomende voorwaarde

Creatief product

(u⊗v)_a=(<<u_p><p><u_q><q>>⊗<<v_p><p><v_q><q>>)_a=<a<u_p><p><u_q><q>><<a><v_p><p><v_q><q>>=<<<a<u_p><p><u_q><q>><<a><v_p><p><v_q><q>>>>=<<p><q><<a<u_p><u_q>><<a><v_p><v_q>>>>

We verwachten (p∧(u_p⊗v_p)_a)∧(q∧(u_q⊗v_q)_a)

<<p><<a<u_p>><<a><v_p>>><q><<a<u_q>><<a><v_q>>>>

<<p><q><<a<u_p><<a<u_q>><<a><v_q>>>><<a><v_p><<a<u_q>><<a><v_q>>>>>>

<<p><q><<a<u_p><<<u_q>><<><v_q>>>><<a><v_p><<<><u_q>><<v_q>>>>>>

<<p><q><<a<u_p><u_q>><<a><v_p><v_q>>>> en dit is (u⊗v)_a

(u⊗v)_a=(p∧(u_p⊗v_p)_a)∧(q∧(u_q⊗v_q)_a) zonder bijkomende voorwaarde

Intensiteit als conjunctie en een creatief product als samenstelling

u=((u_p∧p)⊗(u_q∧q))_a∼<a<u_p><p>><<a><u_q><q>>

v=((v_p∧p)⊗(v_q∧q))_a∼<a<v_p><p>><<a><v_q><q>>

Disjunctie

u∨v∼uv=<a<u_p><p>><<a><u_q><q>><a<v_p><p>><<a><v_q><q>>

<<<a<u_p><p>><a<v_p><p>>>><<<<a><u_q><q>><<a><v_q><q>>>>

<a<p><u_pv_p>><<a><q><u_qv_q>> en dit is

(((u_p∨v_p)∧p)⊗((u_q∨v_q)∧q))_a

u∨v=(((u_p∨v_p)∧p)⊗((u_q∨v_q)∧q))_a zonder bijkomende voorwaarde

Conjunctie

u∧v∼<<u><v>>=<<<a<u_p><p>><<a><u_q><q>>><<a<v_p><p>><<a><v_q><q>>>>

<<<a<u_p><p><<a<v_p><p>><<a><v_q><q>>>><<a><u_q><q><<a<v_p><p>><<a><v_q><q>>>>>>

<<<a<u_p><p><<<v_p><p>><<><v_q><q>>>><<a><u_q><q><<<><v_p><p>><<v_q><q>>>>>>

<a<u_p><p><<<v_p>>>><<a><u_q><q><<<v_q>>>>

<a<u_p><p><v_p>><<a><u_q><q><v_q>> en dit is

(((u_p∧v_p)∧p)⊗((u_q∧v_q)∧q))_a

u∧v=(((u_p∧v_p)∧p)⊗((u_q∧v_q)∧q))_a zonder bijkomende voorwaarde

Creatief product

(u⊗v)_a=((((u_p∧p)⊗(u_q∧q))_a)⊗(((v_p∧p)⊗(v_q∧q))_a))_a

((u_p∧p)⊗(v_q∧q))_a door associativiteit

We verwachten: (p∧(u_p⊗v_p)_a⊗q∧(u_q⊗v_q)_a)_a dus (<<p><(u_p⊗v_p)_a>>⊗<<q>(u_q⊗v_q)_a>>)_a=(<<p><u_p>>⊗<<q><v_q>>)_a en dit is gelijk aan (u⊗v)_a

(u⊗v)_a=(p∧(u_p⊗v_p)_a⊗q∧(u_q⊗v_q)_a)_a zonder bijkomende voorwaarde

Besluit voor de intensiteiten met meer dan één eenheid

Universele modellering

Intensiteit modelleren als disjunctie met een eenheid (of ook als conjunctie met een eenheid) en een creatief product als samenstelling van zo gemodelleerde eenheden vereist geen enkele voorwaarde voor welgevormde haakuitdrukkingen om de eigenschappen te vertonen van getallen onder invloed van alle mogelijke operaties.

Aangezien elke welgevormde haakuitdrukking als een creatief product kan geschreven worden en elk creatief product zowel als disjunctie als conjunctie kan geschreven worden hebben we dus de vrije keuze (disjunctie) van wat we als eenheid nemen en wat als intensiteit. We demonstreren dat met het creatief product (u⊗v)_a en de disjunctie vorm <a<u>><<a><v>>. Dit is de disjunctie van atomen in twee onderscheidingen die elkaar uitsluiten: enerzijds <a<u>> en anderzijds <<a><v>>. Beide kunnen de rol innemen van eenheid, beide kunnen de rol innemen van intensiteit.

Modellering onder voorwaarden

Noteer dat het creatief product een relatie is tussen twee welgevormde haakuitdrukkingen die elkaar uitsluiten.

Als we de intensiteit als disjunctie met een eenheid veronderstellen en conjunctie als samenstelling beschouwen dan zullen de intensiteiten van eenheden die elkaar insluiten de eigenschappen vertonen van getallen onder invloed van alle mogelijke operaties.

Als we de intensiteit als conjunctie met een eenheid veronderstellen en disjunctie als samenstelling beschouwen dan zullen de intensiteiten van eenheden die elkaar uitsluiten de eigenschappen vertonen van getallen onder invloed van alle mogelijke operaties.

Dit is een heel krachtig besluit omdat “elkaar uitsluiten” perfect modelleert wat we niet kunnen (kiezen) en ons dus enkel maar kan gebeuren en “elkaar insluiten” modelleert dat we iets niet meer kunnen (kiezen) omdat het reeds gekozen is.

De introductie van meer voorwaarden

We bewezen dat voor operaties op één eenheid met twee verschillende intensiteiten u_p en v_p met de waarde <<>>, er maar twee operaties meer overblijven: (u_p∧v_p)•p en (u_p•v_p)•p, omdat de operatie van disjunctie en het creatief product niet verschillend zijn van het vectorproduct.

We kunnen nu nog een stap verder gaan in de beperkingen die we onszelf opleggen en we kunnen veronderstellen dat u en v gewogen projectoren zijn die geen gemeenschappelijke don’t care bits hebben, ze spannen dus een universum op dat niet gecollapst is. In dat geval hebben we bewezen dat de conjunctie niet anders is dan de vectorsom. Dit betekent dus dat we veronderstellen dat dit geldt voor p en q, en we schrijven dus: u=(u_p•p)⊕(u_q•q) en v=(v_p•p)⊕(v_q•q). De disjunctie is dan ((u_p•v_p)•p)⊕((u_q•v_q)•q), dit is niet verschillend van het creatief product en de conjunctie is dan ((u_p⊕v_p)•p)⊕((u_q⊕v_q)•q).