We onderzoeken nu de distributiviteit van vectorproduct (...⊗...)a en nevenschikking (...*...).
Te bewijzen: (z⊗(x*y))a=(z⊗x)a*(z⊗y)a
Linkerlid: (z⊗(<<>>⊕<x>⊕<y>⊕<x•y>))a
<z>⊕<<<>>⊕<x>⊕<y>⊕<x•y>>⊕<a•z>⊕a•(<<>>⊕<x>⊕<y>⊕<x•y>)
<z>⊕<>⊕x⊕y⊕x•y⊕<a•z>⊕a⊕<a•x>⊕<a•y>⊕<a•x•y>
<>⊕a⊕x⊕y⊕<z>⊕x•y⊕<a•z>⊕<a•x>⊕<a•y>⊕<a•x•y>
Rechterlid: (<z>⊕<x>⊕<a•z>⊕a•x)*(<z>⊕<y>⊕<a•z>⊕a•y)
<<>>⊕<(<z>⊕<x>⊕<a•z>⊕a•x)>⊕<(<z>⊕<y>⊕<a•z>⊕a•y)>⊕<(<z>⊕<x>⊕<a•z>⊕a•x)•(<z>⊕<y>⊕<a•z>⊕a•y)>
We berekenen eerst het vectorproduct
|
• |
<z> |
<y> |
<a•z> |
a•y |
|
<z> |
<<>> |
z•y |
a |
<a•z•y> |
|
<x> |
z•x |
x•y |
a•z•x |
<a•x•y> |
|
<a•z> |
a |
a•z•y |
<<>> |
<z•y> |
|
a•x |
<a•z•x> |
<a•x•y> |
<z•x> |
x•y |
<<>>⊕z⊕x⊕a•z⊕<a•x>⊕z⊕y⊕a•z⊕<a•y>⊕<<>>⊕a⊕x•y⊕<a•x•y>
<>⊕a⊕x⊕y⊕<z>⊕x•y⊕<a•z>⊕<a•x>⊕<a•y>⊕<a•x•y>
QED
We kunnen dit onmiddellijk als volgt uitbreiden
((p*q)⊗(x*y))a=((p*q)⊗x)a*((p*q)⊗y)a=(p⊗x)a*(q⊗x)a*(p⊗y)a*(q⊗y)a
Aangezien de nevenschikking een vectorsom is volgt hieruit dan ook dat de distributiviteit van het creatief product ten opzichte van de som die niet in het algemeen geldt wel geldt voor een som die een nevenschikking voorstelt.
Te bewijzen: z*(x⊗y)a=((z*x)⊗(z*y))a
Linkerlid: z*(<x>⊕<y>⊕<a•x>⊕a•y)
<<>>⊕<z>⊕<(<x>⊕<y>⊕<a•x>⊕a•y)>⊕<z•(<x>⊕<y>⊕<a•x>⊕a•y)>
<<>>⊕<z>⊕x⊕y⊕a•x⊕<a•y>⊕z•x⊕z•y⊕z•a•x⊕<z•a•y>
Rechterlid: ((<<>>⊕<z>⊕<x>⊕<z•x>)⊗(<<>>⊕<z>⊕<y>⊕<z•y>))a
<(<<>>⊕<z>⊕<x>⊕<z•x>)>⊕<(<<>>⊕<z>⊕<y>⊕<z•y>)>⊕<a•(<<>>⊕<z>⊕<x>⊕<z•x>)>⊕a•(<<>>⊕<z>⊕<y>⊕<z•y>)
<>⊕z⊕x⊕z•x⊕<>⊕z⊕y⊕z•y⊕<(a•<<>>⊕<a•z>⊕<a•x>⊕<a•z•x>)>⊕a•<<>>⊕<a•z>⊕<a•y>⊕<a•z•y>
<>⊕z⊕x⊕z•x⊕<>⊕z⊕y⊕z•y⊕<a>⊕a•z⊕a•x⊕a•z•x⊕a⊕<a•z>⊕<a•y>⊕<a•z•y>
<<>>⊕<z>⊕x⊕y⊕a•x⊕<a•y>⊕z•x⊕z•y⊕a•z•x⊕<a•z•y>
QED
Een alternatieve bewijsmethode is met zuivere haakuitdrukkingen en een uitpuntende tabel
Te bewijzen: z<a<x>><<a><y>>=z(x⊗y)a=((zx)⊗(zy))a=<a<zx>><<a><zy>>
|
z |
a |
x |
y |
z<a<x>><<a><y>> |
<a<zx>><<a><zy>> |
|
<<>> |
<<>> |
<<>> |
<<>> |
|
|
|
<<>> |
<<>> |
<<>> |
<> |
|
|
|
<<>> |
<<>> |
<> |
<<>> |
<> |
<> |
|
<<>> |
<<>> |
<> |
<> |
<> |
<> |
|
<<>> |
<> |
<<>> |
<<>> |
|
|
|
<<>> |
<> |
<<>> |
<> |
<> |
<> |
|
<<>> |
<> |
<> |
<<>> |
|
|
|
<<>> |
<> |
<> |
<> |
<> |
<> |
|
<> |
<<>> |
<<>> |
<<>> |
<> |
<> |
|
<> |
<<>> |
<<>> |
<> |
<> |
<> |
|
<> |
<<>> |
<> |
<<>> |
<> |
<> |
|
<> |
<<>> |
<> |
<> |
<> |
<> |
|
<> |
<> |
<<>> |
<<>> |
<> |
<> |
|
<> |
<> |
<<>> |
<> |
<> |
<> |
|
<> |
<> |
<> |
<<>> |
<> |
<> |
|
<> |
<> |
<> |
<> |
<> |
<> |
QED
We kunnen dit onmiddellijk als volgt uitbreiden
(p⊗q)a*(x⊗y)a=(((p⊗q)a*x)⊗((p⊗q)a*y))a=(((p*x⊗q*x)a)⊗((p*y⊗q*y)a))a en door associativiteit geldt dan ook (p*x⊗q*x⊗p*y⊗q*y)a
Aangezien de nevenschikking een vectorsom is volgt hieruit dan ook dat de distributiviteit van het creatief product ten opzichte van de som die niet in het algemeen geldt wel geldt voor een som die een nevenschikking voorstelt.