Het haakformalisme is ontwikkeld als een geheel van elkaar aanvullende formele modellen die allemaal in één basismodel vertaalbaar zijn, namelijk het haakmodel van het haakformalisme.

Het haakmodel

Het haakmodel kent één unaire relatie en één binaire relatie. De binaire relatie is de relatie van simultaneïteit die formeel als een nevenschikking van welgevormde haakuitdrukkingen kan voorgesteld worden, formeel is dit de nevenschikking van twee symbolen x en y als xy. De nevenschikking van twee dezelfde nevenschikkingen (het “kwadraat” van de nevenschikking) verandert de nevenschikking niet, inderdaad xyxy is niet verschillend van xy. De nevenschikking is invariant voor zijn eigen operatie. De inbedding hiervan geldt voor de inbedding van de nevenschikking. Neem twee symbolen, namelijk x en y, vorm de inbedding van de nevenschikking: <xy>, vorm nu de inbedding van de nevenschikking van twee dezelfde, namelijk <<xy><xy>> en het resultaat is niet verschillend van xy, en dit is de inbedding van <xy>. Dus het “kwadraat” van de inbedding van de nevenschikking verandert de nevenschikking in zijn inbedding.

Het vectorproduct is een samenstelling van nevenschikking en inbedding van nevenschikking, inderdaad x•y is <<x>y><x<y>> en kwadrateren geeft <<>>.

Het creatief product is een samenstelling van nevenschikking en inbedding van nevenschikking, inderdaad (x⊗y)_a is <a<x>><<a><y>>. Het creatief product is eveneens invariant voor zijn eigen operatie op voorwaarde dat dezelfde toegevoegde onderscheiding gebruikt wordt (en juist dit is een voorwaarde om er een binaire relatie van te maken).

We kunnen dus twee operaties onderscheiden, disjunctie (nevenschikking, join, OR, symbool *, symbool ∨) en conjunctie (inbedding van nevenschikking, meet, AND, symbool ∧). Beide operaties zijn distributief ten opzichte van elkaar.

a∨b∨c∼abc=a(ab)(ac)∼a∨b∨a∨c

a∨(b∧c)∼a<<b><c>=<<ab><ac>>∼(a∨b)∧(a∨c)

a∧(b∨c)∼<<a><bc>>=<<a><<<b>><<c>>>>=<<<<a><b>><<a><c>>>>=<<a><b>><<a><c>>∼(a∧b)∨(a∧c)

a∧(b∧c)∼<<a><<<b><c>>>>=<<<<a><b><a><c>>>>=<<a><b><a><c>>=<<<<a><b>>><<<a><c>>>>∼(a∧b)∧(a∧c)

Het vectormodel

In het vectormodel van het haakformalisme zijn er twee binaire operaties: het vectorproduct (...•...) en de vectorsom (...⊕...). De drie puntjes worden ingevuld door één symbool. Het vectorproduct van dezelfde vectorproducten genereert <<>>, waarna het vectorproduct nog eens uitvoeren het oorspronkelijk vectorproduct oplevert. Dus de derde macht is invariant. De vectorsom van dezelfde vectorsommen genereert hun inbedding, waarna de vectorsom nog eens uitvoeren de al-nul vector oplevert waarna de som terug de oorspronkelijke vectorsom genereert. Dus de vierde macht is invariant.

Vectorproduct (...•...) en vectorsom (...⊕...) liggen aan de basis van andere als daar zijn: de conjunctie, disjunctie en het creatief product. Deze drie bijkomende binaire operaties doen zich in het vectormodel voor als een vectorsom van vier vectorproducten met het 3&1 patroon. Zij zijn dus een samenstelling van de twee basis operaties.

Een vraag die men zich dan kan stellen is welke patronen (symmetrieën, invarianten) kunnen ontstaan bij de samenstelling van die twee binaire basis relaties (operaties) in het vectormodel van het haakformalisme. Deze samenstelling is op zich weer een relatie, maar dan een relatie tussen relaties of operaties. Een meer specifieke vraag, en een van de mogelijke patronen is dan of de samenstellingsrelatie van relaties verschillend is van de relatie van samenstellingsrelaties, wat men het onderzoek naar de distributiviteit van operaties noemt. Een nog meer specifieke vraag is of de som (bepaald soort relatie) van operaties op een entiteit verschillend is van de operatie op de som van de entiteiten. Van dit laatste geven we een zeer bekend voorbeeld (en dus een nog specifiekere vraag): neem als relatie de som van getallen, voorgesteld als +. Neem als operatie op de getallen het kwadrateren. Men stelt zich dus de vraag: is er een verschil tussen het kwadraat van de som van getallen en de som van het kwadraat van getallen. Formeel: neem a als eerste getal en b als tweede getal, dan is het kwadraat van de som van de getallen (a+b)² en de som van het kwadraat van de getallen a²+b² en dus is het verschil tussen beide het getal 2ab. Het maken van de som is dus het maken van een nieuw geheel en een nieuw geheel heeft met sommige operaties emergente eigenschappen, in dit geval dus twee maal het product van de twee getallen en in dit geval is dat een commutatief product.

Hierbij een overzicht van het onderzoek dat dit basismateriaal uit te voeren is. We combineren per twee drie relaties dus we moeten zes patronen onderzoeken (een patroon wordt gegeven door de twee varianten. Merk op dat de niet commutativiteit van het creatief product door de toegevoegde onderscheiding a (of <a>) gecodeerd wordt.

We moeten hier wel expliciet de volgende belangrijke opmerking bij vermelden: een som vereist altijd voldoende aandacht. Bijvoorbeeld: de voorwaarde bij vectorsom en nevenschikking geldt niet wanneer de som een 3&1 som is, zoals daar aangetoond wordt. Hetzelfde moet dus onvermijdelijk gelden voor de andere combinaties met een vectorsom (zoals bij ⊕versus⊗) aangezien een 3&1 som een welgevormde haakuitdrukking voorstelt.

De voorwaarden kunnen geïnterpreteerd worden als enkel geldend bij een scalair. Immers een h=<<>> kan altijd geïnterpreteerd worden als een m•n=<<>> zodanig dat m en n dezelfde ervaringswaarde hebben die niet gekend is en dus de voorwaarde is om te kunnen tellen, en volledig analoog voor een h=<>.

Alle voorwaarden voor gelijkheid kunnen ook uitgedrukt worden als een som die gelijk is aan de nulvector.

Uit deze tabel kunnen ook de voorwaarden afgeleid worden voor projectoren (het volstaat om een x⊕y te vervangen door een <>⊕y).

Besluit en lineariteit

Enkel de samenstelling van nevenschikking ten opzichte van het creatief product en vice versa heeft in geen enkel geval voorwaarden nodig om distributief te zijn. Nevenschikking hebben we ook begrepen als invariantie voor de transformerende structuur. Dit kan men lineariteit noemen in beide binaire relaties.

Hetzelfde kan gezegd worden voor vectorsom en nevenschikking wanneer de som een 3&1 som is.

In het geval dat de nevenschikking niet verschillend is van het vectorproduct, dus wanneer alle welgevormde haakuitdrukkingen elkaar uitsluiten, geldt dit ook voor het vectorproduct ten opzichte van het creatief product. In de andere gevallen geldt lineariteit enkel onder voorwaarden en is de lineariteit niet eenduidig waardoor we deze in onderstaande tabel niet opnemen.

Uiteraard zijn er nog veel andere binaire relaties die kunnen onderzocht worden en die aanleiding geven tot nieuwe samenstellingen. Bijvoorbeeld in een twee dimensionale ruimte is een puntreflectie of een reflectie rond een gekozen as als operatie te onderscheiden die bepaalde relaties en samenstelling van relaties kan verklaren. Om die te kunnen onderzoeken moet eerst het begrip “ruimte” geïntroduceerd worden.