We onderzoeken nu de distributiviteit van vectorproduct (...•...) en nevenschikking (...*...).

Het vectorproduct is niet distributief ten opzichte van de nevenschikking

Te bewijzen: z•(x*y)≠(z•x)*(z•y)

Linkerlid: z•(<<>>⊕<x>⊕<y>⊕<x•y>)

z⊕<z•x>⊕<z•y>⊕<z•x•y>

Rechterlid: <<>>⊕<z•x>⊕<z•y>⊕<z•x•z•y>

<<>>⊕<z•x>⊕<z•y>⊕<x•y>

QED

We kunnen ook onderzoeken onder welke voorwaarde de distributiviteit wel geldt:

z⊕<z•x>⊕<z•y>⊕<z•x•y>=<<>>⊕<z•x>⊕<z•y>⊕<x•y>

z⊕<z•x•y>=<<>>⊕<x•y>

z⊕x•y⊕<z•x•y>=<<>>

<<>>⊕z⊕x•y⊕<z•x•y>=<>

<z>*<x•y>=<>

Dit levert twee mogelijkheden op

z=<<>> of x•y=<<>> en deze laatste voorwaarde impliceert x*y=<x>⊕<y>, inderdaad x*y=<<>>⊕<x>⊕<y>⊕<x•y> en met x•y=<<>> is dit niet anders dan x*y=<x>⊕<y>. We merken ook op dat hierbij disjunctie en conjunctie niet verschillend zijn van elkaar, inderdaad de conjunctie van x en y is <>⊕<x>⊕<y>⊕x•y en dit is eveneens <x>⊕<y>.

Stel nu dat z=p*q dan onderzoeken we (p*q)•(x*y) en zijn er meerdere resultaten mogelijk, bijvoorbeeld <<>>⊕<(p*q)•x>⊕<(p*q)•y>⊕<x•y>=

<<>>⊕<x>•(<<>>⊕<p>⊕<q>⊕<p•q>)⊕<y>•(<<>>⊕<p>⊕<q>⊕<p•q>)⊕<x•y>=

<<>>⊕(<x>•<<>>⊕<x>•<p>⊕<x>•<q>⊕<x>•<p•q>)⊕(<y>•<<>>⊕<y>•<p>⊕<y>•<q>⊕<y>•<p•q>)⊕<x•y>=

<<>>⊕<x>⊕<y>⊕x•p⊕y•p⊕x•q⊕y•q⊕x•p•q⊕y•p•q⊕<x•y>.

Een andere mogelijk resultaat kunnen we door symmetrie afleiden: <<>>⊕<p>⊕<q>⊕p•x⊕q•x⊕p•y⊕q•y⊕p•x•y⊕q•x•y⊕<p•q>.

Een ander mogelijk resultaat is dan ook p•x*p•y*q•x*q•y wat een nog ingewikkeldere haakuitdrukking zal opleveren.

De nevenschikking is niet distributief ten opzichte van het vectorproduct

Te bewijzen: z*(x•y)≠(z*x)•(z*y)

Linkerlid: <<>>⊕<z>⊕<x•y>⊕<z•x•y>

Rechterlid: (<<>>⊕<z>⊕<x>⊕<z•x>)•(<<>>⊕<z>⊕<y>⊕<z•y>)

<>⊕z⊕<x•y>⊕<z•x•y> wat volgt uit de vermenigvuldigingsgrit

•

<<>>

<z>

<y>

<z•y>

<<>>

<<>>

<z>

<y>

<z•y>

<z>

<z>

<<>>

z•y

y

<x>

<x>

z•x

x•y

z•x•y

<z•x>

<z•x>

x

z•x•y

x•y

QED

We kunnen ook onderzoeken onder welke voorwaarde de distributiviteit wel geldt:

<<>>⊕<z>⊕<x•y>⊕<z•x•y>=<>⊕z⊕<x•y>⊕<z•x•y>

<<>>⊕<z>=<>⊕z

z=<<>>

Stel z=p•q dan onderzoeken we (p•q)*(x•y) en hier gaan we terug weer verschillende mogelijke resultaten krijgen die telkens andere voorwaarden met zich meebrengen om de gelijkheid mogelijk te maken.