We onderzoeken nu de distributiviteit van het vectorproduct (...•...) en creatief product (...⊗...)a.
Te bewijzen: r•(p⊗q)a=((r•p)⊗(r•q))a
Bewijs: in het creatief product (x⊗y)a=<x>⊕<y>⊕<a•x>⊕a•y (een welgevormde haakuitdrukking) stellen we dat x en y vectorproducten zijn, dus stel x=(r•p) en stel y=(r•q). Hierin heeft het product r als het gemeenschappelijk element. We berekenen het creatief product:
(<r•p>)⊕(<r•q>)⊕a•(<r•p>)⊕a•(r•q)
r•(<p>⊕<q>⊕<a•p>⊕a•q)
r•(p⊗q)a
Dus r•(p⊗q)a=((r•p)⊗(r•q))a
QED
We moeten nu opmerken dat r verschillend moet zijn van a, dus r•a=<> moet gelden. We hebben immers al aangetoond dat er geldt dat (x⊗y)a=(a•x⊗<a•y>)a=a•((x⊗<y>)a). Inderdaad: stel r•a=<<>> dan is (<r•p>)⊕(<r•q>)⊕a•(<r•p>)⊕a•(r•q) niet anders dan <r•p>⊕<r•q>⊕<p>⊕q en dit is (p⊗<q>)r of dus ook (p⊗<q>)a.
Dit betekent dat de distributiviteit van het vectorproduct en het creatief product moet genoteerd worden als
<a>•(p⊗q)a=(<a•p>⊗<a•q>)a
We kunnen nu veronderstellen dat r (dus <a>) ook als creatief product met a geschreven wordt, stel (s⊗t)a=r
(s⊗t)a•(p⊗q)a
(<p>⊕<q>⊕<a•p>⊕a•q)•(<s>⊕<t>⊕<a•s>⊕a•t)=
p•s⊕p•t⊕a•p•s⊕<a•p•t>⊕q•s⊕q•t⊕a•q•s⊕<a•q•t>⊕a•p•s⊕a•p•t⊕p•s⊕<p•t>⊕<a•q•s>⊕<a•q•t>⊕<q•s>⊕q•t=
<p•s>⊕<q•t>⊕<a•p•s>⊕a•q•t=
(p•s⊗q•t)a
Te bewijzen: (x⊗(p•q))a≠ (x⊗p)a•(x⊗q)a.
Bewijs:
Het linkerlid is (x⊗(p•q))a=<x>⊕<p•q>⊕<a•x>⊕a•p•q
Het rechterlid is (x⊗p)a•(x⊗q)a=(<x>⊕<p>⊕<a•x>⊕a•p)•(<x>⊕<q>⊕<a•x>⊕a•q)=<>⊕<a>⊕<p•q>⊕a•p•q
Ter controle hieronder de vermenigvuldigingsgrit
• |
<x> |
<q> |
<a•x> |
a•q |
<x> |
<<>> |
x•q |
a |
<a•x•q> |
<p> |
x•p |
p•q |
a•x•p |
<a•p•q> |
<a•x> |
a |
a•x•q |
<<>> |
<x•q> |
a•p |
<a•x•p> |
<a•p•q> |
<x•p> |
p•q |
QED
We kunnen ons nu wel afvragen onder welke voorwaarde de gelijkheid zou gelden. Dat zou dus onder de volgende voorwaarde zijn:
<x>⊕<p•q>⊕<a•x>⊕a•p•q=<>⊕<a>⊕<p•q>⊕a•p•q
<x>⊕<a•x>=<>⊕<a>
x•(<>⊕<a>)=<>⊕<a>
Dit geeft twee voorwaarden:
x=<<>> of a=<>
Dus (<<>>⊗(p•q))a=(<<>>⊗p)a•(<<>>⊗q)a en ook (x⊗(p•q))<>=(x⊗p)<>•(x⊗q)<>
(x⊗p)<> is <<><x>><<<>><p>> en dus p.
(<<>>⊗p)a is <a<<<>>>><<a><p>> en dus gelijk aan het atoom <<a><p>>. Dat betekent dat distributiviteit van vectorproduct en creatief product geldt voor atomen van hetzelfde type, met dezelfde toegevoegde onderscheiding.