Het symmetrie begrip is een belangrijk begrip in de wetenschap. Symmetrie is gedefinieerd als relatief ten opzichte van een operatie (bijvoorbeeld transformatie) op een entiteit. Het geeft aan welke aspecten van een entiteit niet veranderen (invariant zijn) bij het realiseren van de operatie. Invariantie is een van de meest fundamentele begrippen in de fysica, het ligt aan de basis van de wetten die onafhankelijk zijn van het standpunt dat men inneemt om fenomenen te gaan beschrijven.

We zullen nu aantonen dat de mogelijkheid om entiteiten te tellen een aantal belangrijke symmetrieën introduceert onder de meest primitieve operatie in het haakformalisme: transformeren (met een reeds gekozen aspect of met een nieuw te creëren en dan te kiezen aspect).

Transformeren van x met y (of van y met x) is gedefinieerd als <x•y>. Door de inherente dualiteit van het haakformalisme moeten we enkel maar deze vorm onderzoeken, de vorm x•y (of dus <x•<y>>) is volledig duaal.

Hieruit volgt dat elke nieuwe entiteit die gecreëerd wordt als een conjunctie van aspecten, een symmetriebreking veronderstelt en een nieuwe symmetrie introduceert. Dit is een van de meest fundamentele inzichten in de wetenschap die perfect door het haakformalisme gemodelleerd wordt als het creatief product van atomen en onder andere tot uiting komt in de dualiteit tussen zelfduale en andersduale aspecten van de werkelijkheid.