Het creatief product van atomen

In het algemeen is het creatief product gegeven door (x⊗y)_a∼<a<x>><<a><y>>∼<a<x>>•<<a><y>>. Als we het creatief product associatief veronderstellen (en dus enkel a als toegevoegde onderscheiding gebruiken) dan is een invers gedefinieerd en wordt het invers gegeven door (y⊗x)_a∼<a<y>><<a><x>>∼<a<y>>•<<a><x>>.

We zijn tot het besluit gekomen dat, wanneer de laatst toegevoegde onderscheiding niet ingebouwd wordt in de tralie, x en y atomen moeten zijn van het zelfde universum. We gaan nu onderzoeken wat de gevolgen zijn voor een toegevoegde onderscheiding die niet de laatst toegevoegde is. We merken nu op dat elk AND-atoom het supremum is van een deeltralie en dus verschillende punten realiseert. We merken op dat (x⊗y)_a∼<a<x>><<a><y>> en dat in het rechter lid de nevenschikking van twee conjuncties staat, bijvoorbeeld <a<x>> is de conjunctie van <a> en x. Wanneer we dus als de toegevoegde onderscheiding een willekeurig punt e nemen uit de deeltralie waarvan x het supremum is, dan is <<e><x>> niet verschillend van het AND atoom x zelf. Aangezien we dus een keuze hebben van toegevoegde onderscheiding kunnen we onderzoeken welke mogelijkheden er zijn.

De toegevoegde a is simultaan met slechts één van de suprema

We veronderstellen het supremum y en a simultaan met y, dan is de uitdrukking <<a><y>> niet verschillend van y. Dan is het ook onvermijdelijk dat de conjunctie <a<y>> de waarde <<>> heeft.

Bewijs

<<a><y>>↔y

a<a><y>↔a<y>

<>↔a<y>

<<>>↔<a<y>>

QED

Vanaf een twee onderscheidingen universum zijn er nu twee mogelijkheden. Het andere atoom x is evenzeer een supremum van a of het andere atoom x is een supremum van <a>.

We veronderstellen eerst dat <<a><x>>↔x en dus geldt <<>>↔<a<x>>. Dus (x⊗y)_a∼<a<x>><<a><y>>∼<a<x>>•<<a><y>> is in dit geval de nevenschikking van <<>> en y en is dus niet onderscheiden van y. Het invers ten opzichte van x wordt gegeven door (y⊗x)_a∼<a<y>><<a><x>>∼<a<y>>•<<a><x>>∼x.

Eenheid	Creatief product	Invers creatief product
x	y	x
y	x	y

We veronderstellen als tweede mogelijkheid dat het andere atoom x een supremum is van <a>. Dus de uitdrukking <a<x>> is niet te onderscheiden van x. Dus (x⊗y)_a∼<a<x>><<a><y>>∼<a<x>>•<<a><y>> is in dit geval de nevenschikking van twee atomen en is dus niet onderscheiden van een atoombuur, in compactere vorm is dit dus xy↔x•y. Het invers (ten opzichte van x) is: (y⊗x)_a∼<a<y>><<a><x>>∼<a<y>>•<<a><x>> en in de veronderstelling dat a simultaan is met y hebben we zojuist bewezen dat <a<y>> niet verschillend is van <<>> en dus is (y⊗x)_a∼<<a><x>>. Maar aangezien <a<x>>↔x geldt ook <<a><x>>↔<<>>, en het invers heeft dus de waarde <<>>.

Bewijs

<a<x>>↔x

a<x>↔<x>

<>↔<a><x>

<<>>↔<<a><x>>

QED

Een speciaal geval bekomen we als we het creatief product van atomen berekenen waarvan de onderscheidingen elkaars inbedding zijn (we noemen deze “contradualerende” atomen). Bijvoorbeeld: (<abc>⊗<<a><c>>)_a∼<a<<abc>>><<a><<<a><c>>>>∼<abc><<a><c>>. Dit is niet anders dan het vectorproduct van beide contradualerende atomen, en dit geldt voor de toevoeging van elke onderscheiding. Het invers hiervan ten opzichte van de eenheid <abc> is (<<a><c>>⊗<abc>)_a∼<a<<<a><c>>>><<a><<abc>>>∼<a<<<><c>>>><<a><<<>bc>>>∼<a<>><<a><>>∼<<>>.

Eenheid	Creatief product	Invers creatief product
x	x•y	<<>>
y	<<>>	x•y

In beide gevallen geldt dat het creatief product van atomen met een toegevoegde onderscheiding simultaan met slechts één van de atomen onafhankelijk is van de toegevoegde onderscheiding. Wat hier opvalt is dat <<>> die hier als creatief product of als invers creatief product optreedt de eenheid is van het vectorproduct dat evenzeer als product of als invers creatief product optreedt terwijl de eenheid een van de atomen is.

De toegevoegde a is simultaan met beide suprema

Het verschil met de eerste mogelijkheid is dat het ander atoom gegeven is door een uitdrukking <a<x>>, niet te onderscheiden van <<>>.

Dus (x⊗y)_a∼<a<x>><<a><y>>∼<a<x>>•<<a><y>> is in dit geval niet te onderscheiden van het atoom y.

Het invers (hier ten opzichte van x) wordt gegeven door: (y⊗x)_a∼<a<y>><<a><x>>∼<a<y>>•<<a><x>> en in de veronderstelling dat a simultaan is met y is <a<y>> niet verschillend van <<>> en dus is (y⊗x)_a∼<<a><x>>. Maar aangezien <a<x>>↔<<>> geldt ook <<a><x>>↔x, en het invers heeft dus de waarde x.

Bewijs

<a<x>>↔<<>>

<<a><x>><a<x>>↔<<a><x>><<>>

<<a><x>><a<x>>↔<<a><x>>

<<a<a<x>>><x<a<x>>>>↔<<a><x>>

<<ax><x>>↔<<a><x>>

<<a<>><x>>↔<<a><x>>

x↔<<a><x>>

QED

Eenheid	Creatief product	Invers creatief product
x	y	x
y	x	y

Het creatief product van atomen met een toegevoegde onderscheiding simultaan met beide atomen is niet verschillend van één van de atomen, onafhankelijk dus van de toegevoegde onderscheiding.

Merk op dat dit ook geldt voor de toevoeging van <> die uiteraard simultaan is met alle atomen, immers (x⊗y)_<>∼<<><x>><<<>><y>>∼y en (y⊗x)_<>∼<<><y>><<<>><x>>∼x. En hiermee modelleren we dus ook een laatst toegevoegde onderscheiding die een waarde krijgt.

Mix van simultaneïteit en relatie met associativiteit

Een van de acht atomen in een drie onderscheidingen universum is <<a><c>>, er is dus ook een atoom <a<c>> en de unieke atoombuur van beide is <<a><c>><a<c>> ∼ <<a><c>>•<a<c>>. Dit is dus <a<<a<c>>>><<a><<<a><c>>>> of dus (<a<c>>⊗<<a><c>>)_a ∼ <<c>>, een uitdrukking waarin a niet meer voorkomt.

We kunnen nog een stap verder gaan en het creatief product berekenen met een derde AND-atoom, stel <<a>b<c>>, dus we berekenen (<<c>>⊗<<a>b<c>>)_a ∼ <a<<<c>>>><<a><<<a>b<c>>>> ∼ <a<c>><<a>b<c>> en dit is terug een atoombuur.

We kunnen nu nog een stap verder gaan en het creatief product berekenen met een vierde AND-atoom, stel <<a>c>, dus we berekenen (<a<c>><<a>b<c>>⊗<<a>c>)_a:

<a<<a<c>><<a>b<c>>><<a><<<a>c>>>>

<a<<<c>><<>b<c>>><<a>c>>

<a<c><<a>c>> en dit is terug een atoombuur.

We kunnen hierin verder gaan en zullen telkens weer een atoombuur vinden, maar verbazend is dit niet; doordat we steeds dezelfde onderscheiding als toegevoegde onderscheiding in het creatief product gebruiken is het creatief product associatief en het doorlopen pad wordt enkel bepaald door de meest linkse en de meest rechtse van de complexe uitdrukking die zo ontstaat, en beide zijn AND-atomen. Er kunnen onder deze voorwaarden dus enkel atoomburen ontstaan.