Het transformeren, formeel de dubbele pijl ↔, verzekert ons van een positieve constructiemethode. Het is de enige “bewerking” die we nodig hebben om alle andere te construeren.

Door te transformeren kan men, uitgaande van een gegeven haakuitdrukking, allerhande informatie ontsluiten die hieruit volgt. Deze informatie kan reeds beschikbaar zijn in de gegeven haakuitdrukking (wanneer we transformeren met onderscheidingen uit de haakuitdrukking) of kan volledig nieuw zijn (wanneer we transformeren met nog niet gebruikte onderscheidingen). Formeel moeten we er op letten enkel links en rechts van de dubbele pijl met dezelfde welgevormde haakuitdrukking te transformeren. Laten we niet vergeten dat de dubbele pijl een handige notatie is voor een nogal complexe haakuitdrukking.

Voorbeeld: wat kan er (onder andere) uit <a>b ↔ <> besloten worden?

Links en rechts van de pijl transformeren we met <>. Voor de duidelijkheid gebruiken we hiervoor de dot-notatie die dezelfde betekenis heeft als de dubbele pijl.

<<a>b•<>> ↔ <<>•<>>

We zetten de termen aan beide zijden van de dubbele pijl om in welgevormde haakuitdrukkingen

<<<a>b><<>>><<<a>b>><>>> ↔ <<<><<>>><<<>><>>>

We krijgen:

<<a>b> ↔ <<>>

Links en rechts van de pijl kunnen we dus altijd inbedden. We herkennen dit als een eigenschap van de transformatie.

Merk op dat dit niet anders is dan

<a>b•<<>> ↔ <>•<<>>

We kunnen nu nog verder gaan door links en rechts van de pijl te transformeren met b.

<b•<<a>b>> ↔ <b•<<>>>

b•<<a>b> ↔ b•<<>>

<b•<a>b> ↔ b

We drukken het linkerlid nu in haakvorm uit om zeker geen fouten te maken

<b•<a>b>

<<b<<a>b>><<b><a>b>>

en reduceren verder:

<<b<<a>>><<b><a><>>>

<<ba><<>>>

ba

Het resultaat is dus:

ba ↔ b

Noteer nu dat het zeker niet geoorloofd zou zijn links en richt van het dubbele pijl teken b “te schrappen” omdat men dan eventueel een onschrapbare <> (zie het axioma) zou vernietigen. We kunnen echter altijd terug transformeren

<b•ba> ↔ <b•b>

<b•ba> ↔ <>

Het linkerlid moeten we nu terug in haakuitdrukking uitdrukken:

<b•ba>

<<b<ba>><<b>ba>>

en reduceren:

<<b<a>><<>a>>

<<<a>b>>

<a>b

Zo bekomen we <a>b ↔ <>, dat niet te onderscheiden is van <<a>b> ↔ <<>>.

Het is uiteraard ook mogelijk om een nieuwe naam toe te voegen die geen relatie heeft met a of met b:

x•<<a>b> ↔ x•<<>> ↔ x

Dit kan niet verder gereduceerd worden en is dus een voorstelling van een punt in een universum dat door meer onderscheidingen dan a en b moet opgespannen worden (een onderscheiding, een "x" versus "iets anders dan x", is nodig en voldoende om een universum, of ruimte, op te spannen).

<<>> kunnen we dus creatief invullen door x•<<>>, waarbij <<>> dus altijd impliciet meegenomen wordt (<<>> moet niet genoteerd worden). Creativiteit is nooit uitputtend.

We merken nu op dat x•y altijd ruimer is dan de nevenschikking xy

Te bewijzen: <x•y>xy kan niet onderscheiden worden van <>

Bewijs

We drukken alles uit door enkel van haken gebruik te maken:

<<x<y>><<x>y>>xy

En we reduceren:

<<<>><<>>>xy

<>xy

<>

QED

Gevolg: dit betekent dus dat we ook een positieve constructiemethode hebben met de nevenschikking in plaats van met de transformatie.

We herhalen het hoger gekozen voorbeeld nu met een nevenschikking. Formeel zullen we er nu op letten enkel informatie links en rechts van de dubbele pijl toe te voegen (te nevenschikken), en zeker niet te schrappen.

Voorbeeld: wat kan er (onder andere) uit <a>b ↔ <> besloten worden?

<a>b ↔ <>

Links en rechts van de pijl kunnen we altijd inbedden.

<<a>b> ↔ <<>>

b<<a>b> ↔ b<<>>

b<<a>> ↔ b

ba ↔ b

De tweede stap is de toevoeging stap.

Op het uitgangspunt te reconstrueren kunnen we altijd iets nevenschikken, neem bijvoorbeeld <a>

ba ↔ b

ba<a> ↔ <a>b

<> ↔ <a>b

<<>> kunnen we dus ook creatief invullen door x<<>>, waarbij <<>> dus altijd impliciet meegenomen wordt (<<>> moet niet genoteerd worden). Creativiteit is andermaal nooit uitputtend.

Gevolg

Dit maakt het mogelijk een operationeel duidelijke definitie te geven van “een definitie”.

Een definitie is “geen onderscheid kunnen maken tussen wat gedefinieerd wordt (het definieerbare) en een mogelijk (definieerbare) combinatie van definieerbare elementen”. Formeel is dit dus bijvoorbeeld met een uitdagend voorbeeld: b ↔ ba, met b “datgene wat gedefinieerd wordt” en ba “een mogelijk (definieerbare) combinatie van definieerbare elementen”.

Het haakformalisme maakt dus zeer duidelijk dat dit betekent dat een waarde gegeven wordt (<> of <<>>) aan een andere mogelijk (definieerbare) combinatie van definieerbare elementen.

Wanneer een agens aan a een waarde “ja” geeft en dus er geen onderscheid meer is voor deze agens tussen “ja” en a, dan immobiliseert hij a, a kan niet meer wat anders zijn, ondanks het feit dat “ja” in dit standpunt slechts een “momentele ja” kan zijn (in de contextuele communicatie met een andere agens bijvoorbeeld), interageren met de werkelijkheid is immers altijd in wording!

Het haakformalisme is in staat een “indien... dan...” werkelijkheid te modelleren zonder dat het noodzakelijk is om enige definitie te geven, tenzij <> en <<>>.