De distributiviteit van het vectorproduct (...•...) en de vectorsom (...⊕...) is duidelijk te bewijzen met tabellen en dit hebben we gebruikt om aan te tonen dat het vectormodel van het haakformalisme een vectorveld is. Er geldt dus z•(x⊕y)=z•x⊕z•y en voor z niet verschillend van (p⊕q) geldt (p⊕q)•(x⊕y)=(p⊕q)•x⊕(p⊕q)•y=p•x⊕q•x⊕p•y⊕q•y.

Maar de distributiviteit van de vectorsom (...⊕...) en het vectorproduct (...•...) is veel minder goed onderzocht en kan enkel dank zij het haakformalisme goed begrepen worden. We starten hiervoor van de reeds bewezen relatie z•(x⊕y)=z•x⊕z•y waarmee we de distributiviteit van het vectorproduct (...•...) en de vectorsom (...⊕...) aantoonden. Zowel links als rechts van het gelijkheidsteken vervangen we (...⊕...) door (...•...) en simultaan (...•...) door (...⊕...) waarmee we de distributiviteit van de vectorsom (...⊕...) en het vectorproduct (...•...) modelleren. Dit resulteert in z⊕(x•y)≠(z⊕x)•(z⊕y). De linkse term en de rechtse term zijn duidelijk niet meer aan elkaar gelijk. Links staat z⊕x•y en rechts staat <<>>⊕z•y⊕z•x⊕x•y. Deze laatste uitdrukking begrijpen we in het haakformalisme als de vectorsom <>⊕(<>⊕z•y⊕z•x⊕x•y) en dit is de som van <> en de conjunctie van z•y en z•x. Er geldt ook <<>>⊕z•y⊕z•x⊕x•y=(<>⊕<z•x>)•(<>⊕<z•y>).

De kracht van het haakformalisme is dan duidelijk doordat het toelaat te onderzoeken wanneer dan wel z⊕x•y=<<>>⊕z•y⊕z•x⊕x•y. Dit resulteert dus in <>⊕z=z•x⊕z•y. We kunnen deze voorwaarde in verschillende vormen uitdrukken, bijvoorbeeld <>⊕z=<z•y>•(<>⊕<x•y>), of z•(<>⊕z)=x⊕y en dus <<>>⊕<z>=x⊕y en dus <>⊕z=<x>⊕<y>.

De gelijkheid geldt dus voor

Dit kan bondig samengevat worden in de voorwaarde <<x>yz><x<y>z><xy<z>>=<> zoals hieronder bewezen wordt (één en slechts één van de drie welgevormde haakuitdrukkingen is ervaren, de twee andere gebeuren):

Speciaal geval

We merken op dat het 3&1 patroon een som is die altijd resulteert in een welgevormde haakuitdrukking. Kijken we nu naar de uitdrukking z⊕x•y≠(z⊕x)•(z⊕y) dan kan het rechterlid een vectorproduct zijn van twee welgevormde haakuitdrukkingen die voldoen aan het 3&1 patroon, stel <r•p>⊕<s•q>⊕<s•p>⊕r•q. Maar: indien drie elementen van de som dezelfde zijn, stel <r•p>⊕<s•q>⊕<s•p>=z dan is de vierde volledig bepaald, in het voorbeeld is dat dus r•q. Dus x en y kunnen niet verschillend zijn van elkaar, en in het voorbeeld is dus x=y=r•q. Dat betekent dus dat x•y ∼ r•q•r•q=<<>>=(<r•p>⊕<s•q>⊕<s•p>⊕r•q)•(<r•p>⊕<s•q>⊕<s•p>⊕r•q). Dus <r•p>⊕<s•q>⊕<s•p>⊕<<>>=<<>> en <r•p>⊕<s•q>⊕<s•p>=X, de drie termen hebben dus dezelfde waarde. Inderdaad z⊕x•y=(z⊕x)•(z⊕y) geldt ook als z=X, maar z is dan geen welgevormde haakuitdrukking meer.