We onderzoeken nu de distributiviteit van vectorsom (...⊕...) en nevenschikking (...*...).

Voor de nevenschikking kennen we twee uitdrukkingen in het vectormodel van het haakformalisme: <(<<>>⊕x)•(<<>>⊕y)>⊕<> en <<>>⊕<x>⊕<y>⊕<x•y>.

De vectorsom is niet distributief ten opzichte van de nevenschikking

Te bewijzen: z⊕(x*y)≠(z⊕x)*(z⊕y)

Linkerlid: z⊕<<>>⊕<x>⊕<y>⊕<x•y>

Rechterlid:

<(<<>>⊕z⊕x)•(<<>>⊕z⊕y)>⊕<>

(<>⊕<z>⊕<x>)•(<<>>⊕z⊕y)⊕<>

<x>⊕<y>⊕z⊕<x•z>⊕<y•z>⊕<x•y> wat volgt uit de vermenigvuldigingsgrit

QED

We kunnen dus ook onderzoeken onder welke voorwaarde de distributiviteit wel geldt:

z⊕<<>>⊕<x>⊕<y>⊕<x•y>=<x>⊕<y>⊕z⊕<x•z>⊕<y•z>⊕<x•y>

<<>>=<x•z>⊕<y•z>

<<>>=z•(<x>⊕<y>)

z=<x>⊕<y>

De nevenschikking is niet distributief ten opzichte van de vectorsom

Te bewijzen: z*(x⊕y)≠(z*x)⊕(z*y)

Linkerlid

<(<<>>⊕z)•(<<>>⊕x⊕y)>⊕<>

(<>⊕<z>)•(<<>>⊕x⊕y)⊕<>

<<>>⊕<z>⊕<x⊕y>⊕<z•(x⊕y)>

<<>>⊕<z>⊕<x>⊕<y>⊕<z•x>⊕<z•y>

Rechterlid

<(<<>>⊕z)•(<<>>⊕x)>⊕<>⊕<(<<>>⊕z)•(<<>>⊕y)>⊕<>

<<>>⊕<z>⊕<x>⊕<x•z>⊕<<>>⊕<z>⊕<y>⊕<y•z>

<>⊕z⊕<x>⊕<y>⊕<x•z>⊕<y•z>

QED

We kunnen dus ook onderzoeken onder welke voorwaarde de distributiviteit wel geldt:

<<>>⊕<z>⊕<x>⊕<y>⊕<z•x>⊕<z•y>=<>⊕z⊕<x>⊕<y>⊕<x•z>⊕<y•z>

<<>>⊕<z>=<>⊕z

z=<<>>

Noteer dat dezelfde voorwaarde ook geldt wanneer x=y genomen wordt: z*(x⊕x)≠(z*x)⊕(z*x)

Het linker lid wordt dan <<>>⊕<z>⊕<x>⊕<x>⊕<z•x>⊕<z•x> en dit is de welgevormde haakuitdrukking <<>>⊕<z>⊕x⊕z•x, in het haakmodel z<x>.

Het rechterlid wordt dan <>⊕z⊕<x>⊕<x>⊕<x•z>⊕<x•z> en dit is de welgevormde haakuitdrukking <>⊕z⊕x⊕x•z, in het haakmodel <zx>.

We drukken nu de gelijkheid uit als haakuitdrukking waarmee we de conclusie tot nu toe beter leren begrijpen:

<<z<x>zx><<z<x>><zx>>>

<<<>zx><<z<x>><zx>>>

<<<z<x>><zx>>>

<<<<x>><x>>z>

<<x<x>>z>

<z>

Dit maakt duidelijk dat de gelijkheid dus enkel afhangt van de waarde van z.

Met een 3&1 som is de nevenschikking WEL distributief ten opzichte van de vectorsom

Noteer dat we in de constructies tot nu toe een belangrijke bijkomende voorwaarde niet teruggevonden hebben en die in het haakmodel van het haakformalisme evident is: de nevenschikking is wel distributief ten opzichte van de som als de som een som is van vier componenten in het 3&1 patroon die samen een welgevormde haakuitdrukking vormen. Dit onderstreept het belang om telkens terug te keren naar het meest fundamentele model.

Te bewijzen

x*y is distributief ten opzichte van 3&1 sommen en niet ten opzichte van andere sommen.

Bewijs

We gebruiken hiervoor een willekeurig voorbeeld:

In x*(<<>>⊕<z>⊕<y>⊕<z•y>) is het product distributief ten opzichte van de som.

In x*(<z>⊕<y>⊕<z•y>) is het product niet distributief ten opzichte van de som.

Te bewijzen:

x*(<<>>⊕<z>⊕<y>⊕<z•y>)=(x*<<>>)⊕(x*<z>)⊕(x*<y>)⊕(x*<z•y>)

We vertalen het product in het linkerlid eerst in zijn haakvector vorm.

x*(<<>>⊕<z>⊕<y>⊕<z•y>) wordt dan

<(<<>>⊕x)•(<<>>⊕<<>>⊕<z>⊕<y>⊕<z•y>)>⊕<>

<(<<>>⊕x)•(<>⊕<z>⊕<y>⊕<z•y>)>⊕<>

(<>⊕<x>)•(<>⊕<z>⊕<y>⊕<z•y>)⊕<>

De productterm is de som van de acht cellen in de volgende vermenigvuldigingsgrit

Zodanig dat het uiteindelijk resultaat in het linker lid wordt:

x⊕y⊕z⊕x•z⊕x•y⊕z•y⊕x•y•z

Het rechterlid is de som van de volgende vier termen

<(<<>>⊕x)•(<<>>⊕<<>>)>⊕<>

<(<<>>⊕x)•(<<>>⊕<z>)>⊕<>

<(<<>>⊕x)•(<<>>⊕<y>)>⊕<>

<(<<>>⊕x)•(<<>>⊕<z•y>)>⊕<>

Uitgewerkt geeft dit de som van de volgende termen

<<>>⊕<x>⊕<>⊕<x>

<<>>⊕<x>⊕z⊕x•z

<<>>⊕<x>⊕y⊕x•y

<<>>⊕<x>⊕z•y⊕x•y•z

x⊕y⊕z⊕z•y⊕x•z⊕x•y⊕z•y⊕x•y•z

QED

Met een som verschillend van 3&1 is de nevenschikking niet distributief ten opzichte van de vectorsom

Te bewijzen:

x*(<z>⊕<y>⊕<z•y>)≠(x*<z>)⊕(x*<y>)⊕(x*<z•y>)

We vertalen het product in het linkerlid eerst in zijn haakvector vorm.

x*(<z>⊕<y>⊕<z•y>) wordt dan

<(<<>>⊕x)•(<<>>⊕<z>⊕<y>⊕<z•y>)>⊕<>

(<>⊕<x>)•(<<>>⊕<z>⊕<y>⊕<z•y>)⊕<>

De productterm is de som van de acht cellen in de volgende vermenigvuldigingsgrit

<>⊕<x>⊕z⊕y⊕z•y⊕x•z⊕x•y⊕x•y•z

Resultaat is dus

<<>>⊕<x>⊕z⊕y⊕z•y⊕x•z⊕x•y⊕x•y•z

Het rechterlid is de som van de volgende drie termen:

<(<<>>⊕x)•(<<>>⊕<z>)>⊕<>

<(<<>>⊕x)•(<<>>⊕<y>)>⊕<>

<(<<>>⊕x)•(<<>>⊕<z•y>)>⊕<>

Dus de som van

<<>>⊕<x>⊕z⊕x•z

<<>>⊕<x>⊕y⊕x•y

<<>>⊕<x>⊕z•y⊕x•y•z

Het eindresultaat is dus

z⊕y⊕z•y⊕x•z⊕x•y⊕x•y•z

Zodanig dat we bewezen hebben dat linkerlid en rechterlid niet identiek zijn, ze verschillen van een factor <<>>⊕<x>.

QED