Elke welgevormde haakuitdrukking kan geschreven worden als een creatief product. Elke welgevormde haakuitdrukking kan ook als een som geschreven worden in een willekeurige basis, bijvoorbeeld een orthogonale basis. Beide benaderingen van een welgevormde haakuitdrukking zijn uiteraard met elkaar gerelateerd.
Elke component van de orthogonale basis gedraagt zich als een eenheid of een dimensie en de coëfficiënt in die basis gedraagt zich als een intensiteit of “maat”, die we hier met een subscript relateren met zijn eenheid. Met de coëfficiënten van orthogonale projectoren geldt dat we de welgevormde haakuitdrukkingen p en q kunnen schrijven als:
p=(px)•(<>⊕<h>)⊕(py)•(<>⊕h)=(px⊗py)h
q=(qx)•(<>⊕<h>)⊕(qy)•(<>⊕h)=(qx⊗qy)h
Hierin relateren we de subscript x aan (<>⊕<h>) en de subscript y aan (<>⊕h).
Er geldt dus:
p⊕q=(px⊕qx)•(<>⊕<h>)⊕(py⊕qy)•(<>⊕h)=<px⊕qx>⊕<py⊕qy>⊕<px⊕qx>•h⊕(py⊕qy)•h=((px⊕qx)⊗(py⊕qy))h
De som van de welgevormde haakuitdrukkingen is de som van de intensiteiten op elke orthogonale eenheid (die verder onbekend is en dus vrij kan gekozen worden), maar is ook de som van de intensiteiten voor een creatief product met toevoeging van de eenheid.
p•q=(px•qx)•(<>⊕<h>)⊕(py•qy)•(<>⊕h)=<px•qx>⊕<py•qy>⊕<px•qx•h>⊕py•qy•h=(px•qx⊗py•qy)h
Het vectorproduct van de welgevormde haakuitdrukkingen is het vectorproduct van de intensiteiten op elke orthogonale eenheid (die verder onbekend is en dus vrij kan gekozen worden), maar ook het vectorproduct van de intensiteiten voor een creatief product met toevoeging van de eenheid.
(p⊗q)h=((px⊗py)h⊗(qx⊗qy)h)h=(px⊗qy)h=<px>⊕<qy>⊕<px•h>⊕qy•h=px•(<>⊕<h>)⊕qy•(<>⊕h)
Het creatief product van de welgevormde haakuitdrukkingen valt buiten dit patroon door associativiteit met een laatst toegevoegde onderscheiding. Aangezien we h vrij kunnen kiezen kunnen we bijvoorbeeld h gelijk nemen aan qy•<<>> en dan vinden we de disjunctie van px•<<>> en qy•<<>>, op voorwaarde dat het kwadraat van qy•<<>> gelijk is aan 1.
Wanneer de conjunctie van p en q ervaren is, dan is de som niet verschillend van het product. Dit geldt enkel voor twee onderscheidingen.
http://designforeveryone.ugent.be/Werkelijkheid/Ervaren_toestanden.html
Veronderstel dat p en q elkaar uitsluiten, dan is het creatief product niet verschillend van het vectorproduct. Dat is enkel een noodzakelijke voorwaarde, niet voldoende want de gelijkheid is afhankelijk van de waarde van de toegevoegde onderscheiding. Is h gelijk aan <<>> dan kan alleen maar de eerste term van (p⊗q)h waarde <> hebben, dus
p=(px)•(<>⊕<>)⊕(py)•(<>⊕<<>>)=px•<<>>=<px>•<>
q=(qx)•(<>⊕<>)⊕(qy)•(<>⊕<<>>)=qx•<<>>
Is h gelijk aan <> dan kan alleen maar de tweede term van (p⊗q)h waarde <> hebben.
p=(px)•(<>⊕<<>>)⊕(py)•(<>⊕<>)=py•<<>>
q=(qx)•(<>⊕<<>>)⊕(qy)•(<>⊕<>)=qy•<<>>
Het is enkel als beide termen waarde <<>> hebben dat de vergelijking opgaat, wat ook de waarde is van de toegevoegde onderscheiding.
p=(px)•(<>⊕<h>)⊕(py)•(<>⊕h)=(px⊗py)h
q=(qx)•(<>⊕<h>)⊕(qy)•(<>⊕h)=(qx⊗qy)h
Dan geldt dus (p⊗q)h=(px⊗qy)h=<px>⊕<qy>⊕<px•h>⊕qy•h=px•(<>⊕<h>)⊕qy•(<>⊕h)=(px•qx⊗py•qy)h=<px•qx>⊕<py•qy>⊕<px•qx•h>⊕py•qy•h. Dit betekent dus dat qx=py=1 moet gelden.
Dus
p=(px)•(<>⊕<h>)⊕1•(<>⊕h)=(px⊗1)h=<>⊕<px>⊕h⊕<px•h> en dit is <<px>h>, de conjunctie van een intensiteit en een eenheid
q=1•(<>⊕<h>)⊕(qy)•(<>⊕h)=(1⊗qy)h=<>⊕<qy>⊕<h>⊕qy•h en dit is <<qy><h>>, de conjunctie van een intensiteit en een eenheid
Dus ook:
p⊕q=(px⊕1)•(<>⊕<h>)⊕(1⊕qy)•(<>⊕h)=((px⊕1)⊗(1⊕qy))h=((px⊕1)•<>⊗(1⊕qy)•<>)h de eenheid is <> en de coëfficiënt van de eenheid is 1 meer dan de coëfficiënt van de conjunctie.
Noteer dit is niet: <px>⊕<px•h>⊕<1>⊕<h>⊕<1>⊕h⊕<qy>⊕qy•h=2•<>⊕(px⊗qy)h. Dit is een projector.
Hierin zijn px, qx, py, qy getallen (symbolen die zich gedragen als getallen), in het bitmodel kunnen px, qx functioneren als px maal (voor p) of qx maal (voor q) de som van de hoog-bits van h. Anderzijds kunnen py, qy functioneren als py maal (voor p) of qy maal (voor q) de som van de laag-bits van h. Er wordt dus helemaal niets verondersteld over de eenheid h die als toegevoegde onderscheiding gemodelleerd werd. De subscripten herinneren aan de keuze en zullen met elke keuze anders zijn. De coëfficiënten geven de relatie van p, respectievelijk q, met de gekozen h. De gekozen h is dus wat p en q met elkaar relateert in het onderscheidingen universum van h. In de limiet kunnen we dus h nemen als één onderscheiding en in bitstring zouden we dan p kunnen voorstellen als px maal de eerste bit geconcateneerd met py maal de tweede bit, en q stellen we dan voor als qx maal de eerste bit geconcateneerd met qy maal de tweede bit. Dit is niet anders dan een 1-splitsing en dus p∼(px, py) en q∼(qx, qy). De operaties op die vectoren zijn dan de operaties die mogelijk zijn met de matrices van de 1-splitsing.
Omdat we de projectoren van h nodig hebben moet h welgevormd zijn en een waardetoekenning aan h zal de uitdrukking voor p⊕q of voor p•q tot slechts één subscript reduceren.
Stel h=<<>>, dan heeft h geen laag-bits en dan wordt
p=(px)•(<>⊕<>)⊕(py)•(<>⊕<<>>)=(px)•<<>>∼(px, 0)
q=(qx)•(<>⊕<>)⊕(qy)•(<>⊕<<>>)=(qx)•<<>>∼(qx, 0)
Stel h=<>, dan heeft h geen hoog-bits en dan wordt
p=(px)•(<>⊕<<>>)⊕(py)•(<>⊕<>)=(py)•<<>>∼(0, py)
q=(qx)•(<>⊕<<>>)⊕(qy)•(<>⊕<>)=(qy)•<<>>∼(0, py)
We zien de projecties op de x-as, met eenheid (<>⊕<h>) of (1, 0) en de projecties op de y-as, met eenheid (<>⊕h) of (0, 1).
De som wordt dan p⊕q=(px⊕qx)•<<>> versus p⊕q=(py⊕qy)•<<>>.
Het product moet nu volgens de complexe getallen ingevoerd worden! Modulo4 dus.
Het product wordt dan p•q=(px•qx)•<<>> versus p•q=(py•qy)•<<>>. We moeten goed beseffen dat bij de symbolen met subscript som en product van getallen gebruikt wordt en niet de vectorsom en vectorproduct van haakuitdrukkingen. Er geldt dus wel bijvoorbeeld dat (p•f)•(q•f)=(px•f•qx•f)=(px•qx) of p•q=(py•f•qy•f)=(py•qy), want het vectorproduct is op een factor na bepaald, maar f is hierbij geen getal.
We zien dat in alle besproken gevallen dat de coëfficiënten de grootte geven van het supremum van h, het maximaal aantal hoog-bits, dat gelijk is aan het maximum aantal laag-bits. Dit is gelijk aan het maximum aantal toestanden dat kan onderscheiden worden in het universum waarin h kan uitgedrukt worden. Omdat we h vrij kunnen kiezen heeft h alle eigenschappen die we nodig hebben om van een referentieframe te kunnen spreken. Dat is wat we nu gaan expliciteren en hiermee construeren we dan geometrie omdat we eigenschappen van geometrische relaties construeren, enkel uitgaand van het enig axioma in het haakformalisme.
We kunnen h vrij kiezen, maar we zullen nu een bepaalde keuze maken van h en met die bijkomende veronderstelling het geometrisch product genereren met eigenschappen zoals ze axiomatisch vastgelegd werden door Clifford in de negentiende eeuw en die aanleiding gegeven hebben tot de geometrische algebra waarvan de kracht door Hestenes en anderen in de twintigste eeuw bewezen werd.
We introduceren het
Om het geometrisch product uit het creatief product af te leiden maken we nu de veronderstelling ??????????????
Fout
dat de getallen px, qx, py, qy inversen hebben p-1x, q-1x, p-1y, q-1y en we maken de keuze h=(q-1x•ℵ)•(q-1y•ℵ). Dit is mogelijk omdat een welgevormde haakuitdrukking altijd als het vectorproduct van twee andere kan uitgedrukt worden en h kunnen we vrij kiezen. Dit zijn dus de met een getal gewogen laatst toegevoegde onderscheiding q-1x•ℵ en q-1y•ℵ en we merken op dat ℵ•ℵ=<<>> en (qx•ℵ)•(qx•ℵ)=ℵ•ℵ=<<>>.
Einde fout
De keuze h=(qx•ℵ)•(qy•ℵ) is niet anders dan een waarde toekenning h=qx•qy•<<>> in een grootste universum en dan gelden de volgende gelijkheden voor het vectorproduct van de twee welgevormde haakuitdrukkingen p en q: p•q=(px•qx⊗py•qy)h=<px•qx>⊕<py•qy>⊕<px•qx•qx•qy>⊕py•qy•qx•qy=<px•qx>⊕<py•qy>⊕<px•qy>⊕py•qx op voorwaarde dat het kwadraat van een getal gelijk is aan 1. De laatste termen (zowel <px•qy>•<<>> als py•qx•<<>> ) kunnen we interpreteren als een oppervlakte met eenheid <<>> waarmee we dus geometrie in het haakformalisme binnenbrengen en dus ook p en q geometrisch kunnen interpreteren.
Inderdaad: neem de volgende grafische voorstelling van een willekeurig parallellogram in een willekeurig orthogonaal assenstelsel x (bijvoorbeeld <>⊕<h>) en y (bijvoorbeeld <>⊕h) die aanleiding geven tot de projecties px en qx op de x as (getallen) en py en qy op de y as (getallen) (de tekening heb ik van http://www.hhofstede.nl/modules/jacobiaan.htm):
Het parallellogram wordt opgespannen door p en q. De oppervlakte van het parallellogram is gelijk aan een deel van de grote rechthoek die beschreven door de som van de componenten (px+qx) en (py+qy). Het is dus (px+qx)(py+qy) min de oppervlakte van vier driehoeken (twee met hoogte py en twee met hoogte qx) en twee rechthoeken met oppervlakte pxqy. Dus (px+qx)(py+qy)-pxpy-qxqy-2pxqy=pxpy+pxqy+qxpy+qxqy-pxpy-qxqy-2pxqy=qxpy-pxqy. Hier zijn de nevenschikkingen gewone getalvermenigvuldigingen.
Als we de hoek van q met x-as α noemen en de hoek van p met de y-as β noemen, dan geldt de volgende getalvergelijking: qxpy-pxqy=cosα cosβ – sinα sinβ. De hoek β kunnen we ook uitdrukken als (θ-α) waarbij θ de hoek is tussen p en q, een hoek die we niet vrij kunnen kiezen omdat die hoek gerelateerd is aan het parallellogram dat we modelleren. Dus de oppervlakte van het parallellogram wordt cosα sin(θ-α) – sinα cos(θ-α). Als we nu α=0 kiezen (de hoek met het referentieframe kan vrij gekozen worden) dan wordt de oppervlakte het getal sinθ.
De intensiteit van de toegevoegde onderscheiding h=(qx•ℵ)•(qy•ℵ) of h=qx•qy is dan als een oppervlakte te interpreteren. Die eenheid van oppervlakte is in dit voorbeeld dus de laatst toegevoegde onderscheiding maar de intensiteit van die eenheid is niet uniek. Stel immers een andere toegevoegde onderscheiding: h=(px•ℵ)•(py•ℵ) of h=px•py dan wordt (px•qx⊗py•qy)h=<px•qx>⊕<py•qy>⊕<px•qx•px•py>⊕py•qy•px•py=<px•qx>⊕<py•qy>⊕<qx•py>⊕qy•px en de oppervlakte term <qx•py>⊕qy•px is de inbedding van <px•qy>⊕py•qx.
In de geometrische interpretatie is de rol van de laatst toegevoegde onderscheiding ℵ cruciaal en essentieel. ℵ kan gelijk welke ongekende welgevormde haakuitdrukking zijn, maar ℵ•ℵ brengt de intensiteit van een heel universum binnen dat a priori ongekend is en als de totale som van mogelijke toestanden in dat universum kan geïnterpreteerd worden. Dit is gerelateerd aan de grootte van elk van de vectoren. We kunnen dit als volgt illustreren. We kunnen een gekende waarde geven aan h en het product maken van de twee mogelijke keuzes die we hebben om twee getallen met de vector q te verbinden, de subscript x toewijzen aan de ene projector van h en y aan de andere projector van h of omgekeerd. Hieronder wordt dit duidelijk:
Kies als waarde h=<<>>
q=(qy)•(<>⊕<h>)⊕(qx)•(<>⊕h)=(qy)•(<>⊕<>)⊕(qx)•(<>⊕<<>>)=(qy)•<<>>
q=(qx)•(<>⊕<h>)⊕(qy)•(<>⊕h)=(qx)•(<>⊕<>)⊕(qy)•(<>⊕<<>>)=(qx)•<<>>
Hieruit volgt: q•q=(qx•qy)•<<>>.
Voor h=<> vinden we dan:
q=(qy)•(<>⊕<h>)⊕(qx)•(<>⊕h)=(qy)•(<>⊕<<>>)⊕(qx)•(<>⊕<>)=(qx)•<<>>
q=(qx)•(<>⊕<h>)⊕(qy)•(<>⊕h)=(qx)•(<>⊕<>)⊕(qy)•(<>⊕<<>>)=(qy)•<<>>
Hieruit volgt: q•q=(qx•qy)•<<>>. Dus 1•<<>>=q•q=(qx•qy)•<<>> is een mogelijke keuze, de gekende of gekozen waarde is hier 1. De grootte van het universum van q wordt dan gegeven door het (onbekende) aantal bits van een extremum en dit aantal wordt gewogen met het product van twee getallen, product dat gelijk is aan het getal 1. Stel bijvoorbeeld het getal qx=a, dan moet qy=a-1. Er zijn natuurlijk zoveel meer mogelijkheden om een verhouding gelijk aan 1 uit te drukken en te interpreteren. Maar de geometrische interpretatie maakt duidelijk dat het toekennen van een gekende waarde aan een vector betekent dat er referentieframe gekozen wordt. Immers qx•qy is dan de intensiteit cosα sinα, maar dat zou betekenen dat we ook α zouden gekozen hebben aangezien cosα sinα=1 als oplossing de hoek π/4 geeft en cosα sinα=-1 als oplossing de hoek -π/4 geeft. Dat hebben we dus niet gedaan en dus moet de intensiteit van <<>> deze zijn van de laatst toegevoegde onderscheiding ℵ.
Nu we het gebruiken van een waarde als (laatst) toegevoegde onderscheiding kunnen interpreteren kunnen we wat volgt in die zin interpreteren zonder telkens ℵ te moeten noteren.
(px•qx⊗py•qy)qx•qy=<px•qx>⊕<py•qy>⊕<px•qy>⊕py•qx
(px•qx⊗py•qy)px•py=<px•qx>⊕<py•qy>⊕<qx•py>⊕qy•px
En voor elk creatief product geldt er ook dat (px•qx⊗py•qy)<qx•qy>=(py•qy⊗px•qx)qx•qy=<px•qx>⊕<py•qy>⊕<qx•py>⊕qy•px=(px•qx⊗py•qy)px•py. Er geldt dus (px•qx⊗py•qy)<qx•qy>=(px•qx⊗py•qy)px•py en dat betekent dat de gekozen laatst toegevoegde onderscheidingen elkaars inbedding moeten zijn. Dus <qx•qy>=px•py en dus ook px•qx=<py•qy> en <px•qy>=qx•py, en de oppervlakte term die gelijk is aan <qx•py>⊕qy•px wordt dus <px•qy>=qx•py in het ene geval en px•qy=<qx•py> in het gecommuteerde geval.
Als we nu expliciet de eenheden betrekken bij de intensiteiten merken we op dat dit betekent dat px•qy•<ℵ•ℵ>=qx•py•ℵ•ℵ in het ene geval en px•qy•ℵ•ℵ=qx•py•<ℵ•ℵ> in het gecommuteerde geval. De eenheden zijn verschillend en elkaars inbedding. Het zijn waardetoekenningen aan een ongekende h. Wat is die h versus <h> dan in deze geometrische context? We kijken daarom naar de rechthoek px•qy versus qx•py: de grootte van beide wordt bepaald door de hoek tussen het paralellogram opgespannen door p en q en het orthogonaal assenstelsel. Kies een ander assenstelsel en de coördinaten, de intensiteiten van de twee oppervlakken, zullen veranderen. We zien hier dus de willekeurige keuze van een orthogonaal assenstelsel vertaald in de intensiteiten van twee oppervlakken die aan elkaar gerelateerd zijn doordat ze gerelateerd zijn aan een invariante entiteit: het parallellogram. De toegevoegde onderscheiding h kan dus niet anders dan die toevallige willekeurige keuze van een orthogonale referentie zijn, keuze die onafhankelijk is van p en q, en die p en q interpreteert in een tweedimensionale keuze.
(<>⊕<h>)∼e1
(<>⊕h)∼e2
(e1⊗e2)ℵ=((<>⊕<h>)⊗(<>⊕h))ℵ
<>⊕(<h>⊗h)ℵ
<>⊕<h•ℵ>
(e2⊗e1)ℵ=((<>⊕h)⊗(<>⊕<h>))ℵ
<>⊕(h⊗<h>)ℵ
<>⊕h•ℵ
Dat is niet de inbedding van elkaar als projector, maar wel als welgevormde haakuitdrukking.
<h> en h sluiten elkaar uit, maar het is onmogelijk dat ze beide waarde <<>> hebben. Maar dat kan wel in hogere dimensies. Stel a=b=<<>> dan hebben drie van de vier atomen in twee dimensies waarde <<>>.
Als geometrisch product wordt qx•qy•ℵ•ℵ geïnterpreteerd als de intensiteit van e1e2, en <qx•qy>•ℵ•ℵ of qx•qy•<ℵ•ℵ> als de intensiteit van e2e1. We moeten hierbij wel voorzichtig zijn want impliciet worden nog veronderstellingen gemaakt in de geometrische algebra die een verder onderzoek vereisen. Zo maakt het klassiek geometrisch product ook de bijkomende veronderstelling: het moet distributief zijn ten opzichte van de som. We onderscheiden twee mogelijkheden, de som is een 3&1 som (en distributiviteit geldt) en de som is bijvoorbeeld een som van slechts twee termen (een gewogen projector). Dan moet gelden dat (z⊗(x⊕y))a=(z⊗x)a⊕(z⊗y)a. In het haakformalisme hebben we aangetoond dat dan verondersteld wordt dat de toegevoegde onderscheiding a een waarde heeft, <> voor de linkse distributiviteit (z⊗(x⊕y))a=(z⊗x)a⊕(z⊗y)a, <<>> voor de rechtse distributiviteit ((x⊕y)⊗z)a=(x⊗z)a⊕(y⊗z)a. Dus er moet gelden dat qx•qy•ℵ•ℵ=<> ofwel qx•qy•ℵ•ℵ=<<>> en dat herkennen we als de impliciete eenheid van elk van de vier termen en ook als de eenheid van de oppervlakte term.
(px•qx⊗py•qy)qx•qy=<px•qx>•ℵ•ℵ⊕<py•qy>•ℵ•ℵ⊕<px•qy>•ℵ•ℵ⊕py•qx•ℵ•ℵ=(<px•qx>⊕<py•qy>⊕<px•qy>⊕py•qx)•ℵ•ℵ of
(px•qx⊗py•qy)qx•qy=px•qx•<ℵ•ℵ>⊕py•qy•<ℵ•ℵ>⊕px•qy•<ℵ•ℵ>⊕<py•qx>•<ℵ•ℵ>=(px•qx⊕py•qy⊕px•qy⊕<py•qx>)•<ℵ•ℵ>.
Dus het 3&1 patroon moet bewaard blijven in de intensiteiten.
Het is de keuze voor die eenheid die veel relaties distributief maakt. De symbolen met index gedragen zich hierbij als getallen. We kunnen dus het creatief product beschouwen als louter opgebouwd met getallen op voorwaarde dat we de toegevoegde onderscheiding ook als een getal beschouwen, de intensiteit van een ℵ.
De uitbreiding naar meer dimensies ligt nu voor de hand maar een eerste model (in drie dimensies) is weinig verhelderend en toont de noodzaak aan van een bijkomende veronderstelling in de drie dimensionale ruimte.
Neem als willekeurige welgevormde haakuitdrukking (“vector”) “in het x,y vlak” u=(ux)•(<>⊕<h>)⊕(uy)•(<>⊕h). Twee vectoren stellen we dan voor als u1=(ux1)•(<>⊕<h>)⊕(uy1)•(<>⊕h) en u2=(ux2)•(<>⊕<h>)⊕(uy2)•(<>⊕h). Zoals hierboven kunnen we kiezen voor een h=(uy1)•(uy2)•<<>>. Dan wordt u1•u2=((ux1)•(ux2)⊗(uy1)•(uy2))h=<(ux1)•(ux2)>⊕<(uy1)•(uy2)>⊕<(ux1)•(uy2)>⊕(uy1)•(ux2).
Neem als willekeurige welgevormde haakuitdrukking (“vector”) “in het x,z vlak” v=(vx)•(<>⊕<h>)⊕(vz)•(<>⊕h). Twee vectoren stellen we dan voor als v1=(vx1)•(<>⊕<h>)⊕(vz1)•(<>⊕h) en v2=(vx2)•(<>⊕<h>)⊕(vz2)•(<>⊕h). Zoals hierboven kunnen we kiezen voor een h=(vz1)•(vz2)•<<>>. Dan wordt v1•v2=((vx1)•(vx2)⊗(vz1)•(vz2))h=<(vx1)•(vx2)>⊕<(vz1)•(vz2)>⊕<(vx1)•(vz2)>⊕(vz1)•(vx2).
Neem als willekeurige welgevormde haakuitdrukking (“vector”) “in het y,z vlak” w=(wy)•(<>⊕<h>)⊕(wz)•(<>⊕h). Twee vectoren stellen we dan voor als w1=(wy1)•(<>⊕<h>)⊕(wz1)•(<>⊕h) en w2=(wy2)•(<>⊕<h>)⊕(wz2)•(<>⊕h). Zoals hierboven kunnen we kiezen voor een h=(wz1)•(wz2)•<<>>. Dan wordt w1•w2=((wy1)•(wy2)⊗(wz1)•(wz2))h=<(wy1)•(wy2)>⊕<(wz1)•(wz2)>⊕<(wy1)•(wz2)>⊕(wz1)•(wy2).
Dit zijn dus drie vlakken die eigenlijk niets met elkaar te maken hebben. Om ze met elkaar te verbinden hebben we een model nodig dat de loodrechte vectoren aan elkaar relateert, een centraal punt genereert, en dat is dus het model dat een welgevormde haakuitdrukking (“vector”) voorstelt als een som met drie projectoren.
Neem H=(r•p⊗s•q)s•r=r•q⊕<r•p>⊕<s•p>⊕<s•q>=<r•q>•(<>⊕<p•r>)⊕s•q•(<>⊕<p•s>)⊕r•p•(<>⊕<r•s>) en veronderstel orthogonaliteit van de drie projectoren. Dat betekent dat er moet gelden dat r•s⊕p•r⊕p•s=<>. De uitdrukking hiervan in de relatie resulteert in H=<<>>⊕<s•q>⊕r•s⊕q•r. Deze disjunctie kan op vier manieren geschreven worden als een creatief product:
H=(<>⊗s•q)s•r=<<>>⊕<s•q>⊕r•s⊕q•r=<>•(<>⊕<r•s>)⊕s•q•(<>⊕r•s)
H=(<>⊗<s•r>)<s•q>=<<>>⊕<s•q>⊕r•s⊕q•r=<>•(<>⊕s•q)⊕<s•r>•(<>⊕<s•q>)
H=(<>⊗<q•r>)<s•q>=<<>>⊕<s•q>⊕r•s⊕q•r=<>•(<>⊕s•q)⊕<r•q>•(<>⊕<s•q>)
H=(<r•s>⊗<r•q>)<r•q>=<<>>⊕<s•q>⊕r•s⊕q•r=<r•s>•(<>⊕r•q)⊕<r•q>•(<>⊕<r•q>)
Slechts drie van de vier gebruiken een verschillende orthogonale basis die de beschrijving kan geven van een oppervlak. Die drie kunnen we dus inzetten om de disjunctie als een kwantitatieve relatie in drie dimensies te modelleren: de disjunctie kan in drie oppervlakken gemodelleerd worden. De voorwaarde van waardetoekenning aan de toegevoegde onderscheiding (bijvoorbeeld r•s=<> of r•s=<<>> en analoog voor de andere) leidt tot orthogonaliteit van de betrokken projectoren en dus tot de klassieke drie dimensionale beschrijving.
(<>⊕s•q)•(<>⊕<r•s>)=<<>>⊕r•s⊕<s•q>⊕<r•q> is nul als r•s=<> of s•q=<<>>, dus (<>⊕s•q)•(<>⊕r•s) is nul als r•s=<<>> of s•q=<<>>
(<>⊕<s•q>)•(<>⊕<r•s>)=<<>>⊕r•s⊕s•q⊕r•q is nul als r•s=<> of s•q=<>, dus (<>⊕<s•q>)•(<>⊕r•s) is nul als r•s=<<>> of s•q=<>
(<>⊕r•q)•(<>⊕<r•s>)=<<>>⊕r•s⊕<r•q>⊕<s•q> is nul als r•s=<> of r•q=<<>>, dus (<>⊕r•q)•(<>⊕r•s) is nul als r•s=<<>> of r•q=<<>>
(<>⊕<r•q>)•(<>⊕<r•s>)=<<>>⊕r•s⊕r•q⊕s•q is nul als r•s=<> of r•q=<>, dus (<>⊕<r•q>)•(<>⊕r•s) is nul als r•s=<<>> of r•q=<>
Veronderstel nu een H1 en een H2 die verschilt van H1 maar die met een basis van dezelfde projectoren opgebouwd zijn. Als de coëfficiënten van H1 gelijk zijn aan {<r•q>, s•q, r•p} dan kan dit alleen maar betekenen dat de coëfficiënten van H2 verschillend zijn van {<r•q>, s•q, r•p}. We zullen nu aantonen dat die coëfficiënten een belangrijke rol spelen. Als we H1 voorstellen als {hx1•<r•q>, hy1•s•q, hz1•r•p} dan moeten we H2 voorstellen als {hx2•<r•q>, hy2•s•q, hz2•r•p}.
Neem nu een welgevormde haakuitdrukking u. Die kunnen we schrijven als u=(ux)•(<>⊕<h>)⊕(uy)•(<>⊕h). Met gelijk welke keuze van h kunnen we dus alle welgevormde haakuitdrukkingen “in dat x,y vlak” voorstellen. Bijvoorbeeld u1=(ux1)•(<>⊕<h>)⊕(uy1)•(<>⊕h) en u2=(ux2)•(<>⊕<h>)⊕(uy2)•(<>⊕h). We kunnen dus ook kiezen voor (ux)•<>•(<>⊕<r•s>)⊕(uy)•s•q•(<>⊕r•s).
Neem nu een welgevormde haakuitdrukking v. Die kunnen we schrijven als v=(vx)•(<>⊕<h>)⊕(vz)•(<>⊕h). Met gelijk welke keuze van h kunnen we dus alle welgevormde haakuitdrukkingen “in dat x,z vlak” voorstellen. Bijvoorbeeld v1=(vx1)•(<>⊕<h>)⊕(vz1)•(<>⊕h) en v2=(vx2)•(<>⊕<h>)⊕(vz2)•(<>⊕h). We kunnen dus ook kiezen voor (vx)•<>•(<>⊕s•q)⊕(vy)•<s•r>•(<>⊕<s•q>).
Neem nu een welgevormde haakuitdrukking w. Die kunnen we schrijven als w=(wy)•(<>⊕<h>)⊕(wz)•(<>⊕h). Met gelijk welke keuze van h kunnen we dus alle welgevormde haakuitdrukkingen “in dat y,z vlak” voorstellen. Bijvoorbeeld w1=(wy1)•(<>⊕<h>)⊕(wz1)•(<>⊕h) en w2=(wy2)•(<>⊕<h>)⊕(wz2)•(<>⊕h). We kunnen dus ook kiezen voor (wx)•<r•s>•(<>⊕r•q)⊕(wy)•<r•q>•(<>⊕<r•q>).
Dank zij het haakformalisme hebben we de voorwaarden blootgelegd waaronder een driedimensionale werkelijkheid kan geconstrueerd worden met onderscheidingen die zich als getallen gedragen.
Het centraal punt vereist dat de volgende relaties gelden:
(<>⊕<p•r>)=p•s⊕p•r⊕r•s⊕<p•r>=p•s⊕r•s
(<>⊕<p•s>)=p•s⊕p•r⊕r•s⊕<p•s>=p•r⊕r•s
(<>⊕<r•s>)=p•s⊕p•r⊕r•s⊕<r•s>=p•s⊕p•r
En dus dat de volgende relaties van gewogen projectoren gelden:
<r•q>•(<>⊕<p•r>)=<r•q>•(p•s⊕r•s)=<p•q•r•s>⊕<q•s>
<r•q>•(<>⊕<p•s>)=<r•q>•(p•r⊕r•s)=<p•q>⊕<q•s>
s•q•(<>⊕<p•r>)=s•q•(p•s⊕r•s)=p•q⊕q•r
s•q•(<>⊕<r•s>)=s•q•(p•s⊕p•r)=p•q⊕p•q•r•s
r•p•(<>⊕<p•s>)=r•p•(p•r⊕r•s)=<<>>⊕p•s
r•p•(<>⊕<r•s>)=r•p•(p•s⊕p•r)=<<>>⊕r•s
Een welgevormde haakuitdrukking kan altijd in een willekeurig tweedimensionaal of driedimensionaal orthogonaal assenstelsel uitgedrukt worden zodanig dat de coëfficiënten in die basis zich gedragen als getallen met de klassieke som- en productrelatie. Wanneer we een meer specifieke keuze maken en als basis een waarde nemen (<<>> of <> en hiermee kiezen voor een rechts-distributiviteit of een links-distributiviteit van het getalproduct (∼disjunctie) ten opzichte van de getalsom (∼conjunctie)), en dus eveneens een getal dat verwijst naar de grootte of de maat van een universum, dan genereren we relaties die geometrisch kunnen geïnterpreteerd worden.
We leiden dus geometrie af uit het haakformalisme en vinden daarbij het geometrisch product zoals het in de geometrische algebra (Clifford in de negentiende eeuw, en anderen) geïntroduceerd werd uitgaande van axioma's. Hiermee bewijzen we dat de beschrijving van de werkelijkheid door het haakformalisme abstracter is dan de geometrische beschrijving van de werkelijkheid en dus relaties kan modelleren die onbereikbaar zijn voor een modellering die enkel geometrisch is. Het haakformalisme is perfect geschikt om relaties te modelleren in een “voldoende klein volume” (zoals in de algemene relativiteitstheorie), of relaties die “niet ruimtelijk” zijn (zoals in de kwantumtheorie).