Met de 2x2 matrices die operatoren zijn van het 1-splitsing universum kunnen we nu het matrix isomorfisme van het een onderscheiding universum construeren in vier varianten, een afbeelding gebaseerd op de set (ε, νυ), een afbeelding gebaseerd op de set (υ, ν), een afbeelding gebaseerd op de set (ν, νυ), een afbeelding gebaseerd op de set (ε, υ). Het is enkel voor deze laatste variant dat we zullen kunnen bewijzen dat de matrix vermenigvuldiging zich zal gedragen als de vector vermenigvuldiging.

De één-op-één vertaling van de set (ε, νυ)

We rekenen nu de volgende tabel van gecollapste atomen uit die voldoende zijn om de hele tralie op te spannen door geschikte sommen te maken:

Het is gemakkelijk te controleren dat hiermee inderdaad een één-op-één afbeelding bereikt wordt met de vier punten van het een-onderscheiding universum, maar enkel door sommen te maken van de gecollapste atomen en de sommen die in de matrices bekomen worden als modulo 2 te interpreteren (bijvoorbeeld (x-)∼-(-ε+νυ) sommeren met (+x)∼(-ε-νυ) levert -2νυ en in modulo 2 is dit νυ.)

We merken op dat a²=-ε, dat <a>²=-ε, dat a<a>=ε, a+<a>=0 (een matrix met enkel 0 in de cellen), zodanig dat a en <a> elkaar invers zijn voor het matrixproduct en ook voor de matrixsom. Dat herkennen we als een eigenschap van het complex getal (0+i).

De reden hiervoor is dat de matrix vermenigvuldiging een delingsalgebra genereert. We kunnen dat demonstreren met het toepassen op a en <a> van de algemene formule voor conjunctie of meet (<>⊕<x>⊕<y>⊕x•y) en disjunctie of join (<<>>⊕<x>⊕<y>⊕<x•y>) waarin de vectorvermenigvuldiging een rol speelt die hier gemodelleerd wordt door de matrix vermenigvuldiging. Dit leidt voor de conjunctie tot a∧<a>∼(-ε)+νυ+υν+(+ε)=0 en voor de disjunctie tot a∨<a>∼(+ε)+νυ+υν+(-ε)=0. De matrix vermenigvuldiging νυυν die volledig symmetrisch is (νυυν = υννυ) en altijd als resulaat ε geeft is hier de oorzaak van.

Voor de projectoren <>⊕a en <>⊕<a> geldt de conjunctie (-ε)+ε+νυ+ε+υν+(+2ε)=3ε en de disjunctie (+ε)+ε+νυ+ε+υν+(-2ε)=ε

De één-op-één vertaling van de set (υ, ν)

We rekenen nu de volgende tabel van gecollapste atomen uit die voldoende zijn om de hele tralie op te spannen door geschikte sommen te maken:

Het is gemakkelijk te controleren dat hiermee inderdaad een één-op-één afbeelding bereikt wordt met de vier punten van het een-onderscheiding universum, maar enkel door modulo 2 sommen te maken van de gecollapste atomen. Dit systeem is niet gesloten. We merken op dat a²=ε, dat <a>²=ε, dat a<a>=ε, a+<a>=0 (een matrix met enkel 0 in de cellen), zodanig dat a en <a> elkaar invers zijn voor het matrixproduct en ook voor de matrixsom, maar ε heeft geen plaats in de tralie. Ook conjunctie en disjunctie brengen die vreemde term binnen. Immers de conjunctie is a∧<a>∼(-υ)+ν-ν+(-ε)=-υ-ε en de disjunctie a∨<a>∼(+υ)+ν-ν+(+ε)=+υ+ε.

De één-op-één vertaling van de set (ν, νυ)

We rekenen nu de volgende tabel van gecollapste atomen uit die voldoende zijn om de hele tralie op te spannen door geschikte sommen te maken:

Het is gemakkelijk te controleren dat hiermee inderdaad een één-op-één afbeelding bereikt wordt met de vier punten van het een-onderscheiding universum, maar enkel door modulo 2 sommen te maken van de gecollapste atomen. Dit systeem is niet gesloten. We merken op dat a²=-ε, dat <a>²=-ε, dat a<a>=ε, a+<a>=0 (een matrix met enkel 0 in de cellen), zodanig dat a en <a> elkaar invers zijn voor het matrixproduct en ook voor de matrixsom.

We kunnen dat demonstreren met het toepassen op a en <a> van de algemene formule voor conjunctie of meet (<>⊕<x>⊕<y>⊕x•y) en disjunctie of join (<<>>⊕<x>⊕<y>⊕<x•y>) waarin de vectorvermenigvuldiging een rol speelt die hier gemodelleerd wordt door de matrix vermenigvuldiging. Dit leidt voor de conjunctie tot a∧<a>∼(-ν)+νυ+υν+(+ε)=-ν+ε en voor de disjunctie tot a∨<a>∼(+ν)+νυ+υν+(-ε)=+ν-ε.

De één-op-één vertaling van de set (ε, υ)

We rekenen nu de volgende tabel van gecollapste atomen uit die voldoende zijn om de hele tralie op te spannen door geschikte sommen te maken:

Het is gemakkelijk te controleren dat hiermee inderdaad een één-op-één afbeelding bereikt wordt met de vier punten van het een-onderscheiding universum, maar enkel door modulo 2 sommen te maken van de gecollapste atomen. We merken op dat a²=ε, dat <a>²=ε, dat a<a>=-ε, a+<a>=0 (een matrix met enkel 0 in de cellen), zodanig dat a en <a> elkaar invers zijn niet voor het matrixproduct maar wel voor de matrixsom.

En ook bij conjunctie en disjunctie wordt de tralie geconstrueerd. We kunnen dat demonstreren met het toepassen op a en <a> van de algemene formule voor conjunctie of meet (<>⊕<x>⊕<y>⊕x•y) en disjunctie of join (<<>>⊕<x>⊕<y>⊕<x•y>) waarin de vectorvermenigvuldiging een rol speelt die hier gemodelleerd wordt door de matrix vermenigvuldiging. Dit leidt voor de conjunctie tot a∧<a>∼(-ε)-υ+υ+(-ε)=+ε of <<>> zoals voor een een onderscheidingen universum en voor de disjunctie tot a∨<a>∼(+ε)-υ+υ+(+ε)=-ε of <>.

We merken ook op dat enkel bij deze laatste van de vier mogelijkheden de matrix vermenigvuldiging modulo3 zich gedraagt als de transformatie. Vermenigvuldiging van a met <> levert <a> op en de vermenigvuldiging is commutatief. Zo is het gemakkelijk te controleren dat er ook als matrix vermenigvuldiging geldt:

<>•<>=<<>>

<<>>•<<>>=<<>>

a•a=<<>>

<a>•<a>=<<>>

a•<<>>=a

<<>>•a=a

a•<>=<a>

<>•a=<a>

We bekomen ook een afbeelding waarbij <<>>, (<>⊕a) en (<>⊕<a>) zoals met het vectorproduct idempotent zijn en <> anderspotent is.

Immers: en en bij een vermenigvuldiging van de orthogonale projectoren (<>⊕a) en (<>⊕<a>) is het resultaat de al-nul matrix: .

De één-op-één vertaling van de set (ε, υ) is dus volledig compatibel met de vector vermenigvuldiging als transformatie in het haakformalisme.

Besluit

Van de vier kandidaten om met het matrixproduct, conjunctie en disjunctie een getrouwe afbeelding te bekomen met de tralie blijven er twee kandidaten over. De afbeelding met (ε, νυ) en de afbeelding met (ε, υ). We zullen nu bewijzen dat de ene afbeelding functioneert in een gecollapst universum, de andere functioneert voor welgevormde haakuitdrukkingen.

In de afbeelding (ε, νυ) gedragen a en <a>, maar ook <>⊕a en <>⊕<a> zich als het complex getal i versus -i, inderdaad de complexe getallen i en -i zijn elkaars invers ten opzichte van ε en zo ook de matrices overeenkomend met <>⊕a en <>⊕<a> waarvan het product gelijk is aan 2ε (als we de matrices normaliseren met 2^-1/2 dan is het product gelijk aan ε). De conjunctie en disjunctie van de matrices overeenkomend met a en <a> zijn de nulmatrix. De alnul vector wordt in het haakformalisme bereikt ofwel bij een conjunctie van een don’t care bit en een laagbit, ofwel bij de disjunctie van een don’t care bit en een hoogbit. Dit stelt dus eisen aan de beide haakuitdrukkingen die gemodelleerd worden: is de richting conjunctie dan moeten de haakdrukkingen het patroon x- en -x vormen dus <<>>⊕<a> versus <<>>⊕a en in dat geval is de disjunctie niet anders dan <<>>, is de richting disjunctie dan moeten de haakdrukkingen het patroon x+ en +x vormen dus <>⊕a versus <>⊕<a> en in dat geval is de conjunctie niet anders dan <<>>, de afbeelding van de eenheid van het matrixproduct. Beide haakuitdrukkingen moeten dus projectoren zijn van dezelfde soort (ofwel idempotent, ofwel anderspotent) en orthogonaal met elkaar, maar dan is het vectorproduct eveneens de nulvector. Voor beide richtingen geldt dan dat de extrema de eenheidsmatrix en de nulmatrix zijn. Hierbij ontstaan twee tralies, beide met supremum ε en infimum 0. De ene tralie wordt dan geconstrueerd door een som of verschil van twee gecollapste punten, een van elke tralie en dus “lokaal” maken we een andere som.

De afbeelding (ε, υ) gedraagt zich als een nieuwe interpretatie van “gewone getallen” waarbij de punten op centraal niveau elkaars invers zijn ten opzichte van -ε (en niet ten opzichte van ε) en dit is daarenboven de disjunctie, op zijn beurt het invers ten opzichte van -ε van de conjunctie ε, en dat zowel voor matrixproduct als voor matrixsom. Dit stelt dus de eis aan de beide haakuitdrukkingen die gemodelleerd worden dat ze welgevormd en elkaars inbedding moeten zijn zoals bijvoorbeeld a versus <a>. Hierbij ontstaat één tralie met supremum ε en infimum -ε.

De afbeelding met (ε, νυ) functioneert voor projectoren van dezelfde soort en splitst de eenheid van de potentiële werkelijkheid in een relevant en een niet relevant deel. De afbeelding met (ε, υ) functioneert voor welgevormde haakuitdrukkingen die spontaan een eenheid vormen door één traliestructuur te genereren.