Naarmate de tijd vordert gebeuren ons, in een grotendeels onbekende werkelijkheid, ook dingen die we niet gekozen hebben en die het misschien nodig maken om de opgespannen werkelijkheid te divergeren om die nieuwe dingen een plaats te kunnen geven. We gaan de opbouw van een universum daarom als binair model modelleren en we noemen dat een stappenmodel. We veronderstellen daartoe dat we vertrekken van een bekend model waarvoor een aantal bits voldoende zijn met een minimum aantal van twee. Dat aantal kennen we echter niet alhoewel we “ja” ofwel “neen” kunnen zeggen voor het model. We zullen dat model uitbreiden door het waarnemen van elkaar uitsluitende toestanden (we zeggen “neen” tegen simultaneïteit) op een zodanige manier dat we meer bits nodig hebben om dit uit te drukken en dus ons originele model moeten divergeren. We laten ons inspireren door het onderzoek van divergentie met behulp van onderscheidingen.
We gebruiken dus het bitstring model en beschouwen elkaar uitsluitende punten, punten die we minimaal dus kunnen voorstellen met twee complementaire bits, bijvoorbeeld p∼<<1>>01<<1>> en q∼<<1>>10<<1>>, de notatie <<1>> wijst op een ongekende lengte bits die allemaal dezelfde zijn (in dit geval dus de hoogbit) en die we voor de twee centrale bits als invariant beschouwen. De symmetrie links en rechts is uiteindelijk een conventie, we zouden evenzeer de volgende notatie kunnen aanhouden: p∼0<<1>>1 en q∼1<<1>>0. Deze notatie leest wat minder gemakkelijk maar kan wel van pas komen wanneer we het model gaan kwantificeren door de lengte van <<1>> te modelleren (er is dan maar één variabele in de uitdrukking).
Er geldt dat pq=p•q∼<<1>>00<<1>>. Er geldt dat <<>>∼<<1>>11<<1>> en <p>∼<<0>>10<<0> dus <<>>⊕<p>∼<<x>>0x<<x> en q∼<<1>>00<<1>>⊕<<x>>0x<<x>> of dus q=p•q⊕<<>>⊕<p>. Op een analoge manier geldt p=p•q⊕<<>>⊕<q> (te bewijzen door uit te gaan van de bitstring of door manipulatie van het vectormodel voor q). Merk op dat p⊕q∼<<0>>xx<<0>>, en dus p⊕q=<<>>⊕p•q. De conjunctie van p en q wordt gegeven door <>⊕<p>⊕<q>⊕p•q dus door <>⊕<>⊕<p•q>⊕p•q=<<>>, de disjunctie door <<>>⊕<p>⊕<q>⊕<p•q> dus door <<>>⊕<>⊕<p•q>⊕<p•q>=p•q.
We voegen nu een wederzijds uitsluitend punt r toe. Er geldt: p∼<<1>>011<<1>>, q∼<<1>>101<<1>>, r∼<<1>>110<<1>>.
<p>∼<<0>>100<<0>>, <q>∼<<0>>010<<0>>. Hieruit volgt dat <p>•<q>∼<<1>>001<<1>>∼p•q zoals vereist voor een 2-vector. We tonen nog eens expliciet hoe dit in zijn werk gaat:
p∼<<1>>011<<1>>, q∼<<1>>101<<1>>
pq∼<<1>>001<<1>>
<pq>∼<<0>>110<<0>>
<p>∼<<0>>100<<0>>, <q>∼<<0>>010<<0>>
<p><q>∼<<0>>000<<0>>
<<p><q>>∼<<1>>111<<1>>
Dus <p•q>∼<<p<q>><<p>q>>∼<pq><<p><q>>∼<<0>>110<<0>> en p•q∼<<1>>001<<1>>
Met die 2-vector en <r>∼<<0>>001<<0>> construeren we nu de 3-vector <p>•<q>•<r>∼<<1>>001<<1>>•<<0>>001<<0>>∼<<0>>111<<0>>∼<p•q•r> zoals vereist voor een 3-vector.
Er geldt dat pq=p•q∼<<1>>001<<1>>. We merken nu op dat <<0>>001<<0>>∼<r>. <<>>⊕<r> is <<x>>xx0<<x>> en dus p•q∼<<1>>001<<1>>=<<1>>000<<1>>⊕<<x>>xx0<<x>>∼p•q•r⊕<<>>⊕<r>, want <<1>>000<<1>>∼pqr=p•q•r. Door permutatie kunnen ook de twee andere 2-vectoren in hetzelfde patroon uitgedrukt worden, zodanig dat p•r∼p•q•r⊕<<>>⊕<q> en q•r∼p•q•r⊕<<>>⊕<p>. Merk op dat p⊕q⊕r∼<<x>>111<<x>> en dus p⊕q⊕r∼<>⊕p•q•r. De conjunctie van p, q en r wordt gegeven door p⊕q⊕r⊕<p•q>⊕<p•r>⊕<q•r>⊕p•q•r of dus <>⊕p•q•r⊕<p•q•r⊕<<>>⊕<r>>⊕<p•q•r⊕<<>>⊕<q>>⊕<p•q•r⊕<<>>⊕<p>>⊕p•q•r en dus <>⊕p•q•r⊕<p•q•r>⊕<>⊕r⊕<p•q•r>⊕<>⊕q⊕<p•q•r>⊕<>⊕p⊕p•q•r wat we verder reduceren tot <>⊕<p•q•r>⊕r⊕q⊕p=<>⊕<p•q•r>⊕<>⊕p•q•r=<<>>. De disjunctie van p, q en r wordt gegeven door p⊕q⊕r⊕p•q⊕p•r⊕q•r⊕p•q•r dus p⊕q⊕r⊕<r>⊕<q>⊕<p>⊕p•q•r=p•q•r.
Het is duidelijk dat, ondanks het feit dat we een aantal bits bekijken die niet gelijk is aan een 2n (en dus niet overeenkomt met een welgevormde haakuitdrukking in het haakmodel) dat het bitmodel toch coherent blijft met alle inzichten uit het vectormodel.
We voegen nu een wederzijds uitsluitend punt s toe. Er geldt: p∼<<1>>0111<<1>>, q∼<<1>>1011<<1>>, r∼<<1>>1101<<1>>, s∼<<1>>1110<<1>>. Er geldt dat pq=p•q∼<<1>>0011<<1>>. We merken op dat r•s∼<<1>>1100<<1>>, dus <r•s>∼<<0>>0011<<0>> en ook hier construeren we de relatie p•q∼<<1>>0011<<1>>=<<1>>0000<<1>>⊕<<x>>xx00<<x>>∼p•q•r•s⊕<<>>⊕<r•s> want p•q•r•s is gelijk aan <<1>>0000<<1>>. Door permutatie gelden uiteraard ook de volgende relaties: p•q=p•q•r•s⊕<<>>⊕<r•s>, p•r=p•q•r•s⊕<<>>⊕<q•s>, p•s=p•q•r•s⊕<<>>⊕<q•r> en uit deze worden dus andere ook afgeleid, bijvoorbeeld p•r⊕<>⊕<p•q•r•s>=<q•s> enz… Aangezien de som van drie dezelfde bits gelijk is aan de nulvector bereiken we dat na 4 elkaar uitsluitende punten de totale som gelijk is aan p⊕q⊕r⊕s∼<<1>>0000<<1>>∼p•q•r•s.
De sommen van het type p•q•r•s⊕<<>>⊕<r•s>, p•q•r⊕<<>>⊕<r>, p•q⊕<<>>⊕<q> zijn voorbeelden dat de vaststelling dat elke welgevormde haakuitdrukking als de som van een andere welgevormde en een gecollapste haakuitdrukking kan uitgedrukt worden. Dat geldt uiteraard ook voor de projector van een welgevormde haakuitdrukking die altijd als de som van de projector van een andere welgevormde en een gecollapste haakuitdrukking kan geschreven worden, bijvoorbeeld: indien geldt dat p•q=p•q•r•s⊕(<<>>⊕<r•s>), dan geldt ook dat (<>⊕p•q)=(<>⊕p•q•r•s)⊕(<<>>⊕<r•s>).
Uiteraard is dat verder uit te breiden.
We nemen nu een volgende stap op weg naar een welgevormde haakuitdrukking die in drie onderscheidingen (of 8 bits) kan gerepresenteerd worden. We nemen een bijkomend wederzijds uitsluitend punt t. De punten in 5 bits stellen we voor als p∼<<1>>01111<<1>>, q∼<<1>>10111<<1>>, r∼<<1>>11011<<1>>, s∼<<1>>11101<<1>>, t∼<<1>>11110<<1>>. Nu is p⊕q⊕r⊕s∼<<1>>00001<<1>> en dit kunnen we als som voorstellen van <<1>>00000<<1>>⊕<<x>>xxxx0<<x>>. We herkennen <<x>>xxxx0<<x>> als <<>>⊕<t>, inderdaad <<>>∼<<1>>11111<<1>> en <t>∼<<0>>00001<<0>>. Dus p⊕q⊕r⊕s∼p•q•r•s•t⊕<<>>⊕<t>. De totale som p⊕q⊕r⊕s⊕t is nu <<0>>xxxxx<<0>>.
Het is duidelijk dat de <<1>>, <<0>> en <<x>> een redundante codering zijn slechts in die modellen waarvan we nu het patroon herkennen. Dank zij die sommen drukken we uit dat het onbelangrijk is te weten met hoeveel onderscheidingen het bestaande model opgespannen wordt. Op voorwaarde dat t een nieuw elkaar uitsluitend punt is, is de uitdrukking <<>>⊕<t> voldoende als lokaal zicht op de zich uitbreidende werkelijkheid. (<<>>⊕<t>) heeft slechts één betekende bit en aan die ene betekende bit kunnen we een lokale en momentane intensiteit toekennen.
Met een bijkomend wederzijds uitsluitend punt u bereiken we 6 bits. De punten stellen we voor als p∼011111, q∼101111, r∼110111, s∼111011, t∼111101, u∼111110. Nu is p⊕q⊕r⊕s∼000011 en dit kunnen we als de volgende som voorstellen: 000000⊕xxxx00. We herkennen xxxx00 als <<>>⊕<t•u>. Inderdaad t•u is nu 111100. Dus p⊕q⊕r⊕s∼p•q•r•s•t•u⊕<<>>⊕<t•u>. De totale som is nu 111111.
Met een bijkomend wederzijds uitsluitend punt v bereiken we 7 bits. De punten stellen we voor als p∼0111111, q∼1011111, r∼1101111, s∼1110111, t∼1111011, u∼1111101, v∼1111110. Nu is p⊕q⊕r⊕s∼0000111 en dit kunnen we als de volgende som voorstellen: 0000000⊕xxxx000. We herkennen xxxx000 als <<>>⊕<t•u•v>. Inderdaad t•u is nu 1111001 en dus is t•u•v gelijk aan 1111000.
Met een bijkomend wederzijds uitsluitend punt w bereiken we uiteindelijk 8 bits. De punten stellen we voor als p∼01111111, q∼10111111, r∼11011111, s∼11101111, t∼11110111, u∼11111011, v∼11111101, w∼11111110. Nu is p⊕q⊕r⊕s∼00001111 en dit kunnen we als de volgende som voorstellen: 0000000⊕xxxx0000. We herkennen xxxx0000 als <<>>⊕<t•u•v•w>. Inderdaad t•u is nu 11110011 en dus is t•u•v gelijk aan 11110001 en uiteindelijk is t•u•v•w gelijk aan 11110000. We hebben het centraal niveau bereikt in drie onderscheidingen. De totale som is nu p⊕q⊕r⊕s⊕t⊕u⊕v⊕w=xxxxxxxx=<<>>⊕p•q•r•s•t•u•v•w.
Hiermee bevestigen we het patroon dat ontstaat. De uitbreiding van een ervaren punt in een bestaand universum naar een groter is te modelleren door een som te maken met het (ingebedde) vectorproduct van de nieuwe elkaar uitsluitende toestanden of AND atomen. Het vectorproduct van atomen is in staat gelijk welk punt te bereiken in gelijk welk universum en uiteraard worden ook de opbouwende onderscheidingen zelf door een vectorproduct van atomen bereikt.
Bijvoorbeeld: neem 8 bits als het grootste universum dan kan een willekeurig punt met 3 laagbits 10011110 bereikt worden door q•r•w, inderdaad q•r∼(10111111)•(1101111)=10011111 en q•r•w∼(10011111)•(1111110)=10011110. Uiteraard kunnen we 10011110 ook schrijven als 00000000⊕0xx0000x en 0xx0000x is niet anders dan <<>>⊕q•r•w.
Uiteraard wordt een andere mogelijk punt met drie laagbits bereikt door een andere 3-vector of door het vectorproduct van een 2-vector en een 1-vector.
Eens dat we ons beperken tot een gekend universum kunnen we dat ook anders modelleren. Door over te gaan op de projectoren van atomen, dus p’=<>⊕p∼1xxxxxxx, q’=<>⊕q∼x1xxxxxx, enz… zal 10011110 door de volgende som bereikt worden: p’⊕<q’>⊕<r’>⊕s’⊕t’⊕u’⊕v’⊕<w’>. Als we willen kunnen we natuurlijk een combinatie maken van beide modellen. Bijvoorbeeld: 0xx0000x is niet anders dan <<>>⊕q•r•w dus 1xx1111x is niet anders dan <>⊕<q•r•w> en dat kunnen we dus voorstellen als <q•r•w>’ en dus zal 10011110 door de volgende som bereikt worden: <q•r•w>’⊕<q’>⊕<r’>⊕<w’>. Zo kunnen allerhande combinaties gemaakt worden om dezelfde welgevormde haakuitdrukking te representeren.
Te bewijzen: elk atoom is niet verschillend van zijn creatief product met een willekeurig ander atoom en een laatst toegevoegd atoom. We moeten maar drie atomen modelleren.
We veronderstellen het atoom p en een willekeurig ander atoom q. Het creatief product met toevoeging van atoom r is: (p⊗q)r=<p>⊕<q>⊕<r•p>⊕r•q. Er geldt, zoals hierboven bewezen werd, dat
p=p•q•r⊕<<>>⊕<q•r>=p•q⊕<<>>⊕<q>
q=p•q•r⊕<<>>⊕<p•r>=p•q⊕<<>>⊕<p>
Dus (p⊗q)r=<p>⊕<q>⊕<r•p>⊕r•q=(<p•q•r>⊕<>⊕q•r)⊕(<p•q•r>⊕<>⊕p•r)⊕<r•p>⊕r•q=p•q•r⊕<<>>⊕<q•r>=p
Er geldt dus altijd dat (p⊗q)r=p, wat ook de twee andere atomen zijn, de atomen q en r kunnen vrij gekozen worden.
QED
De laatst toegevoegde onderscheiding kan nu twee verschillende waarden krijgen:
Kies nu r=<> dan geldt in (p⊗q)r=<p>⊕<q>⊕<r•p>⊕r•q met de keuze voor r: (p⊗q)<>=<p>⊕<q>⊕p⊕<q>=q maar zojuist bewezen we dat er altijd geldt dat (p⊗q)r=p. Dus p en q kunnen niet onderscheiden worden in het ervaren van r, formeel geldt dus <p•q>=<>. Dit is niet anders dan (p⊗p)<>=p=q=(q⊗q)<>. Dus als r=<> dan moeten p en q dezelfde waarde hebben, en deze waarde is in dit geval gekend: het kan niet anders zijn dan <<>> omdat deze atomen elkaar wederzijds uitsluiten. Dat betekent dat “in het ervaren nu” een atoom r ervaren wordt en dat alle andere atomen (hier dus p en q) dan dezelfde waarde hebben, namelijk <<>>. Dit is dus de intensiteit 2n van het universum, en dit is anders dan de intensiteit van de laatst toegevoegde onderscheiding, in dit geval dus <>. Dus <<>> en <> hebben in de unieke stap nu een verschillende intensiteit.
Kies nu r=<<>> dan is (p⊗q)<<>>=<p>⊕<q>⊕<p>⊕q=p maar ook (p⊗q)r=p. Dit is een tautologie. Dus als r=<<>> dan kunnen p en q gelijk welke waarde hebben, gelijk, tegengesteld of zuiver potentieel, de conjunctie met r zal in dit geval altijd gelijk zijn aan <<>>.
Het gevolg hiervan is dat we een lokale intensiteit kunnen modelleren als de lengte van een <<0>> of een <<1>> en dat betekent dat we een ongekend universum kunnen kennen door de intensiteit van een lokaal ervaren toestand. We kunnen dit als volgt interpreteren: atomen zijn atomen ten opzichte van elkaar, dat is de essentie omdat ze niet simultaan kunnen ervaren worden door een bepaald agens in een bepaalde context. Het onderscheidingen universum waarin ze functioneren kan gelijk welke grootte aannemen zonder dat ze hun atoom-karakter verliezen: er blijft maar één afwijkende bit in het bitstring model van een atoom en twee atomen hebben altijd maar twee afwijkende bits. De atomen die we in het stappenmodel onderscheiden (dus in een onbekend universum) zijn dus anders dan de atomen in een beperkt universum aangezien daar het aantal op voorhand gekend is. De atomen in het stappenmodel zijn te interpreteren als de atomen van een agens in een context die zichzelf en de context niet a priori vastgelegd heeft (gekozen heeft) en enkel de lokale intensiteit heeft om te oordelen over “ja” of “neen”. Inderdaad de atomen in het grootste universum onderscheiden zich van alle andere punten. Want het bitstring patroon van alle andere welgevormde haakuitdrukkingen zal herhaald worden in grotere universa, en uiteraard dus ook in het grootste universum. Hierbij zal er dus een onbeperkt aantal hoogbits en laagbits ontstaan, enkel het patroon is invariant (bijvoorbeeld een atoom in twee onderscheidingen zal in alle grotere universa de verhouding hebben van één afwijkende bit op vier bits en zal in dat universum dus geen atoom zijn).