Van elke bitstring kunnen we veronderstellen dat ze herhaald wordt en dat kunnen we voorstellen als een concatenatie van bitstrings. Daarmee kunnen we uitdrukken dat een bepaald patroon ook in een groter universum kan voorgesteld worden. Om dat te kunnen modelleren hebben we een (in wezen overbodige) notatie ontwikkeld: de begrenzing “«” en “»” drukt uit dat de bitstring daartussen onbegrensd herhaald wordt in de aangegeven richting en zin. Zelfs de uitdrukking “overbodig” is compatibel met het haakformalisme aangezien «a» of <<a>> niet anders is dan a.

Het punt <<>> staat voor de niet eindigende string «1» of niet verschillend daarvan «11111111111111»

Het punt <> staat voor de niet eindigende string «0» of niet verschillend daarvan «00000000000000»

Het punt a staat voor de niet eindigende string «10» of niet verschillend daarvan «1010101010»

Het punt b staat voor de niet eindigende string «1100» of niet verschillend daarvan «1100110011001100»

Het punt c staat voor de niet eindigende string «11110000» of niet verschillend daarvan «11110000111100001111000011110000»

enz... het patroon is duidelijk.

Behalve de twee eerste voorbeelden kunnen deze loops geïnverteerd worden door een faseverschuiving over de helft van het patroon (bijvoorbeeld «10» wordt geïnverteerd door «01» en dat is dus een faseverschuiving over de helft van het patroon «10101010101010»). Dat maakt de keuze van basisvectoren (en dus op centraal niveau) zeer eenvouding, ze zijn zelfduaal of andersduaal. Door conjunctie/disjunctie van de bitstrings kunnen hiermee alle 2EXP2ⁿ punten van een tralie gegenereerd worden. Zij leveren de bitstrings van de gewenste maat, namelijk met lengte 2ⁿ. Elke bitstring van de gewenste maat wordt immers afgebeeld op een deel van een onbepaald lange string waarin juist dat patroon herhaald wordt. Een willekeurige bitstring van lengte 2ⁿ (die herhaald wordt) kan dus uitgedrukt worden in zijn onderscheidingen basis met n onderscheidingen gemodelleerd als bitstring. Om dit mogelijk te maken moet er een coördinatie ontstaan van de ingelezen string met de basisstrings (namelijk de n strings die de n onderscheidingen coderen).

We hebben aangetoond dat de n strings met een eenvoudige procedure kunnen gekozen worden uitgaande van willekeurige strings met een gelijk aantal hoog-bits en laag-bits. Fundamenteel verandert er dus niets als we, zoals we nu kiezen, de onderscheidingen construeren door verdubbeling van de bits, voornamelijk met de bedoeling om zo lang mogelijk gemakkelijk leesbare voorbeelden te construeren.

Zolang de ingelezen string dezelfde is als een basisstring wordt die basis als ervaren gekenmerkt (als XOR, dus bit-XNOR, wordt dan een 0 bekomen). Dus zolang een ingelezen string dezelfde is als een bepaalde conjunctie/disjunctie van basisstrings wordt die combinatie als ervaren beschouwd. Dit is de praktische realisatie in bitstrings van het concept simultaneïteit. Dit is voldoende om gelijk welke synchroon aangeboden bitstring geleidelijk aan te interpreteren in functie van de gekozen repeterende strings. Dit zullen we nu illustreren met een aantal eenvoudige voorbeelden.

De coördinatie (de laatste onderscheiding) wordt fysisch gerealiseerd door de overgang van 1 naar 0 voor de strings op dezelfde positie te nemen. Dat betekent dus (met drie onafhankelijke strings op centraal niveau in drie onderscheidingen) dat het volgende gerealiseerd wordt:

0«10101010»1

0«11001100»1

0«11110000»1

We kunnen nu de bits nummeren vanaf rechts beginnend bij de overgang, we kiezen voor de richting rechts naar links omdat dit de conventie is bij de digitale weergave van getallen:

De overgang bij de twee rechter kolommen is simultaan, maar de overgang bij de linker kolommen is slechts simultaan voor de onderscheidingen a, b en c. Dit is natuurlijk het gevolg van het feit dat we in deze tabel slechts 8 bits modelleren.

Wat nu opvalt in de kolommen is de perfecte parallel met een binaire nummering. Als we de bit met waarde 1 kiezen overeenkomend met x en de bit met waarde 0 met <x> (waarbij x staat voor een basisonderscheiding, onafhankelijk van welke we daarvoor gebruiken), dan volgt hieruit dat de bit met positie 0 overeenkomt met <a>, <b>, <c>, <d>, <e>, enz..., dat de bit met positie 1 overeenkomt met a, <b>, <c>, <d>, <e>, enz..., dat de bit met positie 2 overeenkomt met <a>, b, <c>, <d>, <e>, enz..., dat de bit met positie 3 overeenkomt met a, b, <c>, <d>, <e>, enz..., dat de bit met positie 6 overeenkomt met <a>, b, c, <d>, <e>, enz...

Als we nu de conventie aanhouden om een binair getal van rechts naar links te schrijven is de parallel duidelijk in de volgende tabel, waarbij de drie puntjes nu een patroon van toename van basisonderscheidingen coderen.

Het is uit de opbouw van de tabel duidelijk dat deze overeenkomst bestaat voor een willekeurige bitpositie. Dus bitpositie 91, als binair getal 1011011 komt overeen met het simultaan voorkomen van g, <f>, e, d, <c>, b, a. De bitstring die een relevante positie 91 heeft is dus minimaal 2⁷ =128 bits lang en het aantal punten in de tralie die daardoor opgespannen wordt is 2¹²⁸ of 3,4.10³⁸, maar om dat te doen heeft men maar 7 onderscheidingen nodig en in de voorstelling die we nu ontwikkeld hebben maar 7 bits!

Dit inzicht kunnen we nu gebruiken om elke welgevormde haakuitdrukking vanuit een overgang tussen niveau’s in de tralie op een zeer eenvoudige en transparante wijze te construeren. We geven hiervan een aantal voorbeelden die de werkwijze verduidelijken.

We vertrekken van niveau 0 met als bitvoorbeeld 00000000.

We merken op dat <> te schrijven is onder andere als <a>a, of als creatief product als (<>⊗<>)_a∼ <a<<>>><<a><<>>>, waarbij we a als toegevoegde onderscheiding gekozen hebben.

Beschouw nu de overgang van 00000000 naar 00000100 en omgekeerd. Dit betekent dat enkel de bit op de binaire positie twee (binair ...010) verandert (de bit dus op de derde plaats vanaf rechts). Die gaat dus van ...<e>, <d>, <c>, <b>, <a> naar ...<e>, <d>, <c>, b, <a>. Aangezien we maar 8 bits beschouwen kunnen we niet fijner gaan dan drie onderscheidingen. De reeks is dus beperkt tot <c>, b, <a>. Die bit geeft dus aan dat er geen verschil is met <> in het geval dat er geen verschil is met <a>, of dat er geen verschil is met <> in het geval dat er geen verschil is met b, of dat er geen verschil is met <> in het geval dat er geen verschil is met <c>. Deze “of” is duidelijk een disjunctie die overeenkomt met een nevenschikking (het is geen exclusieve disjunctie) en dus simultaneïteit.

Dit kunnen we nu uitdrukken door te kiezen voor een van de onderscheidingen als toegevoegde onderscheiding in het creatief product en de vorm van de toegevoegde onderscheiding bepaalt waar we <> vervangen door de nevenschikking van de overige. Op die manier zal de ingebedde vorm van de toegevoegde onderscheiding de collaps naar <> uitvoeren. Dit wordt duidelijk in de onderstaande tabel. In de tweede rij kiezen we de onderscheiding a als toegevoegde, in de derde rij kiezen we de onderscheiding b als toegevoegde, in de vierde rij kiezen we de onderscheiding c als toegevoegde. Aangezien we de bit die overeenkomt met <c>, b, <a> gaan modelleren, geven we de overeenkomende vorm en de <> aan in de tweede kolom in een groter lettertype, in vet en onderstreept. Het is die <> die we dan vervangen door de disjunctie van de andere onderscheidingen in de derde kolom. Daar hebben we enkel de disjunctie in een groter lettertype, in vet en onderstreept aangegeven. In het geval van a als toegevoegde onderscheiding is de disjunctie dus b<c>. In het geval van b als toegevoegde onderscheiding is de disjunctie dus <a><c>. In het geval van c als toegevoegde onderscheiding is de disjunctie dus <a>b.

We zien dat we telkens dezelfde welgevormde haakuitdrukking <a>b<c> bekomen, die inderdaad de vertaling is van de bitversie 00000100.

Beschouw nu de overgang van 00000100 naar 10000100 en omgekeerd. Dit betekent dat enkel de bit op de binaire positie zeven (binair ...111) verandert (de bit dus op de achtste plaats vanaf rechts). Die gaat dus van <> naar c, of b, of a, met terug weer de disjunctie als nevenschikking.

De drie bekomen uitdrukkingen zijn in elkaar om te zetten en zijn alle drie welgevormde haakuitdrukkingen voor 10000100. Dit maakt ook duidelijk dat deze procedure in omgekeerde richting (dus van 10000100 naar 00000100) duidelijk is maar verschillende vormen kan aannemen.

We merken nu op dat het creatief product zoveel malen kan herhaald worden als er bits zijn in de bitvoorstelling. Elke bitverandering kan dus zijn eigen haakvertaling krijgen. Voor de simultane verandering van twee bits kunnen we dan starten van <x<<>><<>>><<x><<>><<>>> waarbij x als de toegevoegde onderscheiding functioneert. Dit maakt het mogelijk om nu ook meerdere stappen tezelfdertijd te nemen en we zullen dit demonstreren vanuit 10000100.

Als voorbeeld nemen we bitpositie 5 (binair ...00101) en bitpositie 0 (binair ...000). Bitpositie 5 komt dus overeen met het samen kunnen optreden van c, <b> en a. Bitpositie 0 komt dus overeen met het samen kunnen optreden van <c>, <b> en <a>.

We kiezen nu terug een toegevoegde onderscheiding en zorgen dat een vorm bekomen wordt waarin <> kan vervangen worden door de nevenschikking van de andere onderscheidingen. Voor de verandering van bitpositie 5 hanteren we cursief, vet en groter lettertype, voor de verandering van bitpositie 0 hanteren we gewoon, vet en groter lettertype.

In de laatste kolom hebben we onmiddellijk gereduceerd naar de eenvoudigste vorm door gebruik te maken van de negen stellingen. Voorbeeld van een reductie die de eenvoudigste vorm geeft van 10100101 vanuit de tweede rij:

<a<bc><c<b>>><<a><<c><b>><b<c>>>

<a<<<bc><c<b>>>>><<a><<<<c><b>><b<c>>>>>

<a<c<<b><<b>>>>><<a><<c><<<b>><b>>>>

<a<c>><<a>c>

a•c

We kunnen natuurlijk ook vertrekken van <<>> wat we hieronder gaan demonstreren door a•c (10100101) te construeren vanuit <<>> (11111111) door de bits die afwijken (dat zijn de bits in positie 1, 3, 4 en 6) te vervangen met dezelfde redenering en a te gebruiken als toegevoegde onderscheiding.

We hebben de resulterende uitdrukking in een formaat weergegeven die duidelijk maakt dat de berekening erop neerkomt dat het resultaat de disjunctie is van AND-atomen (een disjunctieve normaalvorm). De resulterende uitdrukking <a<c><b>><ab<c>><<a>c<b>><<a>bc> kunnen we door toepassing van de theorema's als volgt reduceren:

<<<a<c><b>><ab<c>>>><<<<a>c<b>><<a>bc>>>

<<<<c><b>><b<c>>>a><<<c<b>><bc>><a>>

<<<<c<b<c>>><b<b<c>>>>>a><<<<<c><bc>><b<bc>>>><a>>

<<<<c<b<>>><b<<c>>>>>a><<<<<c><<>>><b<c>>>><a>>

<<<<c><b<>>>>a><<<c<b<>>>><a>>

<<<<c>>>a><<<c>><a>>

<<c>a><c<a>>

a•c

QED

Omdat we kunnen vertrekken van zowel <> als <<>> is het altijd mogelijk de weg te kiezen met het minste aantal uitdrukkingen. Enkel de punten op centraal niveau worden door evenveel hoogbits als laagbits voorgesteld.