We beschouwen het algemeen geval van een creatief product H=(r•p⊗s•q)s•r=<r•p>⊕<s•q>⊕<s•p>⊕r•q met als termen van het creatief product r•p en s•q, en als componenten dus <s•p>, <s•q>, <r•p> en r•q.
Dit hebben we als patroon onderzocht en we hebben hiermee orthogonale patronen en duale patronen gevonden.
De orthogonaal van (r•p⊗s•q)s•r=<r•p>⊕<s•q>⊕<s•p>⊕r•q is zijn gecommuteerde vorm, of (s•q⊗r•p)s•r=<r•p>⊕<s•q>⊕s•p⊕<r•q>
Het vectorproduct van beide is p•q•r•s, dit is het vectorproduct van de termen van de creatieve producten:
• |
<r•p> |
<s•q> |
<s•p> |
r•q |
<r•p> |
<<>> |
p•q•r•s |
s•r |
<p•q> |
<s•q> |
p•q•r•s |
<<>> |
p•q |
<s•r> |
s•p |
<s•r> |
<p•q> |
<> |
p•q•r•s |
<r•q> |
p•q |
s•r |
p•q•r•s |
<> |
Dus de conjunctie is <>⊕<<r•p>⊕<s•q>⊕<s•p>⊕r•q>⊕<<r•p>⊕<s•q>⊕s•p⊕<r•q>>⊕p•q•r•s=<>⊕<r•p>⊕<s•q>⊕p•q•r•s en dit is de conjunctie van de termen van het creatief product.
De disjunctie is <<>>⊕<r•p>⊕<s•q>⊕<p•q•r•s> en dit is de disjunctie van de termen van het creatief product.
De som van de twee gecommuteerde uitdrukkingen (r•p⊗s•q)s•r=<r•p>⊕<s•q>⊕<s•p>⊕r•q en (s•q⊗r•p)s•r=<r•p>⊕<s•q>⊕s•p⊕<r•q>is gelijk aan de som van de termen van het creatief product. Inderdaad (<r•p>⊕<s•q>⊕<s•p>⊕r•q)⊕(<r•p>⊕<s•q>⊕s•p⊕<r•q>)=r•p⊕s•q.
We herkennen dat als een eigenschap van supremum en infimum (meet en join, conjunctie en disjunctie) van twee willekeurige welgevormde haakuitdrukkingen. Inderdaad, als we de componenten die geen termen zijn van het creatief product een waarde toekennen dan construeren we de conjunctie (disjunctie) van de termen. Inderdaad, neem H=(r•p⊗s•q)s•r=<r•p>⊕<s•q>⊕<s•p>⊕r•q, de termen zijn r•p en s•q en de componenten zijn <s•p>, <s•q>, <r•p> en r•q. Stel nu r•q=<<>> dan wordt H=<r•p>⊕<s•q>⊕<s•p>⊕<<>> en dit is niet anders dat de disjunctie van r•p en s•q, want <p•q•r•s> is niet anders dan <s•p>. Stel nu r•q=<> dan wordt H=<r•p>⊕<s•q>⊕<s•p>⊕<> en dit is niet anders dat de conjunctie van r•p en s•q, want p•q•r•s is niet anders dan <s•p>. Dit is volledig analoog voor een waardetoekenning aan s•p. Ook hier zien we dat de som van de niet commuterende vormen van het creatief product gelijk is aan de som van de termen.
Een duaal van (r•p⊗s•q)s•r=<r•p>⊕<s•q>⊕<s•p>⊕r•q is (<r•p>⊗s•q)<s•r>=r•p⊕<s•q>⊕<s•p>⊕<r•q> waarin we enkel r ingebed hebben. Dit is niet anders dan (s•q⊗<r•p>)s•r
Het vectorproduct van beide is p•q, dit is niet het vectorproduct van de termen van de creatieve producten::
• |
<r•p> |
<s•q> |
<s•p> |
r•q |
r•p |
<> |
<p•q•r•s> |
<s•r> |
p•q |
<s•q> |
p•q•r•s |
<<>> |
p•q |
<s•r> |
<s•p> |
s•r |
p•q |
<<>> |
<p•q•r•s> |
<r•q> |
p•q |
s•r |
p•q•r•s |
<> |
Dus de conjunctie is <>⊕<<r•p>⊕<s•q>⊕<s•p>⊕r•q>⊕<r•p⊕<s•q>⊕<s•p>⊕<r•q>>⊕p•q=<>⊕<s•q>⊕<s•p>⊕p•q en dit is de conjunctie van de termen van een ander creatief product, bijvoorbeeld (s•p⊗s•q)s•r.
De disjunctie is <<>>⊕<s•q>⊕<s•p>⊕<p•q> en dit is de disjunctie van de termen van het creatief product (s•p⊗s•q)s•r.
De som van de twee duale uitdrukkingen (r•p⊗s•q)s•r=<r•p>⊕<s•q>⊕<s•p>⊕r•q en (<r•p>⊗s•q)<s•r>=r•p⊕<s•q>⊕<s•p>⊕<r•q> is niet gelijk aan de som van de termen van het creatief product. Inderdaad <r•p>⊕<s•q>⊕<s•p>⊕r•q⊕r•p⊕<s•q>⊕<s•p>⊕<r•q>=s•q⊕s•p.
De vier componenten van het creatief product patroon sluiten elkaar vier-aan-vier uit, zonder dat ze elkaar twee-aan-twee uitsluiten. Dit is een nieuwe eigenschap die zich enkel vanaf vier onderscheidingen kan manifesteren.
De disjunctie van <s•p> en <s•q> is <<>>⊕s•p⊕s•q⊕<p•q>. De disjunctie van <r•p> en r•q is <<>>⊕r•p⊕<r•q>⊕p•q. (Noteer: een andere keuze van duo’s geeft een analoog resultaat, een waar s•r in voorkomt, een waar p•q•s•r in voorkomt).
Het product van beide welgevormde haakuitdrukkingen is (<<>>⊕s•p⊕s•q⊕<p•q>)•(<<>>⊕r•p⊕<r•q>⊕p•q)=<s•p>⊕<s•q>⊕<r•p>⊕r•q zoals duidelijk wordt in de vermenigvuldigingstabel:
• |
<<>> |
s•p |
s•q |
<p•q> |
<<>> |
<<>> |
s•p |
s•q |
<p•q> |
r•p |
r•p |
s•r |
p•q•r•s |
<r•q> |
<r•q> |
<r•q> |
<p•q•r•s> |
<s•r> |
r•p |
p•q |
p•q |
s•q |
s•p |
<> |
De som van de 16 cellen in de tabel is <r•p>⊕r•q⊕<s•p>⊕<s•q> en dit is dus het product van de twee termen, dus (<s•p>*<s•q>)•(<r•p>*<<r•q>>), waarin we de nevenschikking (of disjunctie) aanduiden met *, voornamelijk om de leesbaarheid te verhogen. Er geldt dus dat (<s•p>*<s•q>)•(<r•p>*<<r•q>>)=<s•p>⊕<s•q>⊕<r•p>⊕r•q.
De disjunctie van <<>>⊕s•p⊕s•q⊕<p•q> en <<>>⊕r•p⊕<r•q>⊕p•q is dus de volgende som: <<>>⊕<>⊕<s•p>⊕<s•q>⊕p•q⊕<>⊕<r•p>⊕r•q⊕<p•q>⊕r•p⊕<r•q>⊕s•p⊕s•q=<>.
Dat betekent dus <s•p>*<s•q>*<r•p>*<<r•q>>=<>. We merken nu op dat <s•p>*<s•q>*<r•p>*<<r•q>>=<> (een welgevormde haakuitdrukking met waarde <>) niet kan onderscheiden worden van <s•p>*<s•q>*<r•p>*<<r•q>> (een welgevormde haakuitdrukking zonder waarde) en deze disjunctie is dus een andere uitdrukking voor <s•p>⊕<s•q>⊕<r•p>⊕<<r•q>>.
De conjunctie van <s•p> en <s•q> is <>⊕s•p⊕s•q⊕p•q. De conjunctie van <r•p> en r•q is <>⊕r•p⊕<r•q>⊕<p•q>.
Het product (<>⊕s•p⊕s•q⊕p•q)•(<>⊕r•p⊕<r•q>⊕<p•q>) is r•p⊕<r•q>⊕s•p⊕s•q zoals blijkt uit de vermenigvuldigingstabel:
• |
<> |
s•p |
s•q |
p•q |
<> |
<<>> |
<s•p> |
<s•q> |
<p•q> |
r•p |
<r•p> |
s•r |
p•q•r•s |
r•q |
<r•q> |
r•q |
<p•q•r•s> |
<s•r> |
<r•p> |
<p•q> |
p•q |
<s•q> |
<s•p> |
<> |
Som van de cellen is r•p⊕<r•q>⊕s•p⊕s•q
De conjunctie van beide conjuncties is dan <>⊕<<>>⊕<s•p>⊕<s•q>⊕<p•q>⊕<<>>⊕<r•p>⊕r•q⊕p•q⊕r•p⊕<r•q>⊕s•p⊕s•q=<<>>, dus <<<s•p>>*<<s•q>>*<<r•p>>*<r•q>>=<<>>, dus <s•p>, <s•q>, <r•p> en r•q sluiten elkaar vier-aan-vier uit, zonder dat ze elkaar twee-aan-twee uitsluiten.
Er geldt ook dat <s•p>•<s•q>•<r•p>•r•q=<s•p•s•q•r•p•r•q>=<> en dus geldt dat <s•p>*<s•q>*<r•p>*<<r•q>>=<s•p>•<s•q>•<r•p>•r•q. Er is dus geen verschil tussen disjunctie (OR) en vectorproduct (XOR). Dit is een eigenschap van welgevormde haakuitdrukkingen die elkaar uitsluiten.
Er zijn vier verschillende 1-splitsingen met welgevormde uitdrukkingen te maken. Noem bijvoorbeeld de disjunctie <s•p>*<s•q>*<r•p> gelijk aan de welgevormde haakuitdrukking A, dan moeten we r•q gelijk nemen aan <A> als moet gelden dat <s•p>*<s•q>*<r•p>*<<r•q>>=<>. Van de vier termen van de som heeft altijd één de tegengestelde waarde van de drie andere.
Elk van de vier componenten, <s•p>, <s•q>, <r•p> en r•q, is af te beelden op een AND atoom van het twee onderscheidingen universum. De centrale punten worden dan gegeven door de zes disjuncties <s•p>*<s•q>, <s•p>*<r•p>, <s•p>*<<r•q>>, <s•q>*<r•p>, <s•q>*<<r•q>>, <r•p>*<<r•q>>. Er moet dan gelden dat bijvoorbeeld (<s•p>*<s•q>)•(<s•p>*<r•p>) niet verschillend is van een van de andere vier termen. Hierin is er natuurlijk een vrije keuze. Merk op dat distributiviteit van • en * in het algemeen niet mogelijk is zonder bijkomende voorwaarden. We kunnen dit ook als volgt construeren: elk van de vier componenten, s•p, s•q, r•p en <r•q>, is af te beelden op een OR atoom van het twee onderscheidingen universum. De centrale punten worden dan gegeven door de zes conjuncties <<s•p>*<s•q>>, <<s•p>*<r•p>>, <<s•p>*<<r•q>>>, <<s•q>*<r•p>>, <<s•q>*<<r•q>>>, <<r•p>*<<r•q>>> en elk moet afgebeeld worden op een centraal punt als disjunctie. Als die centrale punten gelijk moeten zijn aan de eerste zes, dan kan dat niet zonder bijkomende voorwaarden.
Stel bijvoorbeeld <<s•p>*<s•q>>=<s•p>*<r•p>, dan is de voorwaarde
<<s•p><s•q>>s•p=<s•p><r•p>s•p
<<><s•q>>s•p=<>
s•p=<>
Stel bijvoorbeeld <<s•p>*<s•q>>=<s•q>*<r•p>, dan is de voorwaarde
<<s•p><s•q>>s•q=<s•q><r•p>s•q
<<s•p><>>s•q=<s•q><r•p>s•q
s•q=<>
De relatie <s•p>*<s•q>*<r•p>*<<r•q>>=<> kunnen we ook als volgt interpreteren: <s•p>*<s•q>*<r•p> is fijner dan <r•q>, of <s•q>*<r•p>*<<r•q>> is fijner dan s•p enz…. Er zijn dus verschillende simultaneïtsrelaties te onderscheiden.
En aangezien het haakformalisme een positieve constructiemethode is gelden ook de volgende relaties:
<<s•p>*<s•q>*<r•p>*<<r•q>>>=<<>>
<<s•p>*<s•q>*<r•p>*<<r•q>>>*<<r•q>>=<<>>*<<r•q>>
<<s•p>*<s•q>*<r•p>>*<<r•q>>=<<r•q>>
We kunnen dit als volgt interpreteren:
<> (het ervaren zelf, de onvermijdelijk “ja”) doet zich altijd voor als een disjunctie van vier aspecten met een 3&1 patroon.
<<>> (het gebeuren zelf, de onvermijdelijk “neen”) doet zich altijd voor als een conjunctie van vier aspecten met een 3&1 patroon
Elk aspect doet zich voor als een eenheid en aangezien elk aspect een intensiteit kan hebben betekent dit ook dat de vier intensiteiten elkaar uitsluiten en dus gesommeerd kunnen worden. Inderdaad de intensiteit van elk aspect realiseert simultaan dat aspect en als de aspecten elkaar uitsluiten, dan ook de intensiteiten. Om de werkelijkheid kwantitatief te beschrijven hebben we niet minder en niet meer dan vier getallen nodig, vier getallen zijn nodig en voldoende. Dat neemt niet weg dat we ook meer dan vier elkaar uitsluitende eenheden zouden kunnen onderscheiden (7, 10, 13 enz...). Welke patronen er dan in het vizier komen moet nog verder onderzocht worden.