De structuur van een tralie ontstaat door simultaneïteit, dus nevenschikking in haakvorm. In het vectormodel kunnen we dit ook als som uitdrukken en we hebben dan een vorm gevonden voor de conjunctie (“meet”, supremum) en de disjunctie (“join”, infimum).
Sommen kunnen we nu op een nieuwe manier interpreteren.
Neem twee willekeurige welgevormde haakuitdrukkingen x en y. De vorm <<x><y>>∼<>⊕<x>⊕<y>⊕x•y is de conjunctie van x en y en de vorm xy∼<<>>⊕<x>⊕<y>⊕<x•y> is de disjunctie. Ze zijn ten opzichte van elkaar gedefinieerd.
De ene relatie is in de andere te transformeren door vermenigvuldigen met x•y of met <x•y>. Inderdaad:
<x•y>•(<>⊕x⊕y⊕x•y) is x•y⊕<y>⊕<x>⊕<> is <<x><y>>.
<x•y>•(<<>>⊕x⊕y⊕<x•y>) is <x•y>⊕<y>⊕<x>⊕<<>> is xy.
x•y•(<>⊕x⊕y⊕x•y) is niet verschillend is van <x•y>⊕y⊕x⊕<<>> is <x><y>
x•y•(<<>>⊕x⊕y⊕<x•y>) is niet verschillend van <>⊕x⊕y⊕x•y is <xy>.
De som van conjunctie en disjunctie in twee welgevormde haakuitdrukkingen is <>⊕<x>⊕<y>⊕x•y⊕<<>>⊕<x>⊕<y>⊕<x•y>=x⊕y. Dus de som van x en y, namelijk de zelfduale basisvectoren in twee onderscheidingen, is niet anders dan de som van hun conjunctie en hun disjunctie. De som is commutatief.
Het verschil van conjunctie en disjunctie in twee welgevormde haakuitdrukkingen is <>⊕<x>⊕<y>⊕x•y⊕<>⊕x⊕y⊕x•y=<<>>⊕<x•y>. Dus de som van de andersduale basisvectoren in twee onderscheidingen is niet anders dan het verschil van conjunctie en disjunctie. Het verschil is niet commutatief: conjunctie plus <disjunctie> is de inbedding van disjunctie plus <conjunctie>.
Het product is x•y zoals blijkt uit de vermenigvuldingstabel
|
<> |
<x> |
<y> |
x•y |
<<>> |
<> |
<x> |
<y> |
x•y |
<x> |
x |
<<>> |
x•y |
<y> |
<y> |
y |
x•y |
<<>> |
<x> |
<x•y> |
x•y |
y |
x |
<> |
We kunnen dit als volgt voorstellen:
((<x>⊕<y>)⊕(<>⊕x•y))•((<x>⊕<y>)⊕(<<>>⊕<x•y>)) en dit is gelijk aan het kwadraat van de zelfduale gesommeerd met de inbedding van het kwadraat van de andersduale.
(<x>⊕<y>)•(<x>⊕<y>)=(<<>>⊕x•y⊕x•y⊕<<>>)=<>⊕<x•y>
(<>⊕x•y)•(<<>>⊕<x•y>)=(<>⊕x•y⊕x•y⊕<>)=<<>>⊕<x•y>
De som is dus x•y.
We berekenen nu de conjunctie van de conjunctie van x en y met een nieuwe willekeurige welgevormde haakuitdrukking z
<>⊕<<>>⊕x⊕y⊕<x•y>⊕<z>⊕(<>⊕<x>⊕<y>⊕x•y)•z
<>⊕<<>>⊕x⊕y⊕<x•y>⊕<z>⊕<z>⊕<x•z>⊕<y•z>⊕x•y•z
x⊕y⊕z⊕<x•y>⊕<x•z>⊕<y•z>⊕x•y•z
De disjunctie van de disjunctie van x en y met z is:
<<>>⊕<>⊕x⊕y⊕x•y⊕<z>⊕<(<<>>⊕<x>⊕<y>⊕<x•y>)•z>
<<>>⊕<>⊕x⊕y⊕x•y⊕<z>⊕<(z⊕<x•z>⊕<y•z>⊕<x•y•z>>
x⊕y⊕z⊕x•y⊕x•z⊕y•z⊕x•y•z
De som van conjunctie en disjunctie is <x>⊕<y>⊕<z>⊕<x•y•z>. Dit is een uitdrukking enkel in de zelfdualen van het universum, zoals ook het geval is met een som van slechts twee termen. De som is commutatief.
Het verschil van conjunctie en disjunctie is x•y⊕x•z⊕y•z, de som van de andersdualen in conjunctie en disjunctie. Het verschil is niet commutatief.
Het product van conjunctie en disjunctie is <<>>⊕<x•y>⊕<x•z>⊕<y•z> wat kan berekend worden met deze vermenigvuldigingstabel:
|
x |
y |
z |
<x•y> |
<x•z> |
<y•z> |
x•y•z |
x |
<<>> |
x•y |
x•z |
<y> |
<z> |
<x•y•z> |
y•z |
y |
x•y |
<<>> |
y•z |
<x> |
<x•y•z> |
<z> |
x•z |
z |
x•z |
y•z |
<<>> |
<x•y•z> |
<x> |
<y> |
x•y |
x•y |
y |
x |
x•y•z |
<> |
<y•z> |
<x•z> |
z |
x•z |
z |
x•y•z |
x |
<y•z> |
<> |
<x•y> |
y |
y•z |
x•y•z |
z |
y |
<x•z> |
<x•y> |
<> |
x |
x•y•z |
y•z |
x•z |
x•y |
<z> |
<y> |
<x> |
<<>> |
We kunnen dit als volgt voorstellen:
((x⊕y⊕z⊕x•y•z)⊕(<x•y>⊕<x•z>⊕<y•z>))•((x⊕y⊕z⊕x•y•z)⊕(x•y⊕x•z⊕y•z)) en dit is gelijk aan het kwadraat van de zelfduale gesommeerd met de inbedding van het kwadraat van de andersduale.
We berekenen nu de conjunctie van de conjunctie van x, y en z met een nieuwe willekeurige welgevormde haakuitdrukking w
x⊕y⊕z⊕<x•y>⊕<x•z>⊕<y•z>⊕x•y•z met w
<>⊕<x>⊕<y>⊕<z>⊕x•y⊕x•z⊕y•z⊕<x•y•z>⊕<w>⊕(x⊕y⊕z⊕<x•y>⊕<x•z>⊕<y•z>⊕x•y•z)•w
<>⊕<x>⊕<y>⊕<z>⊕x•y⊕x•z⊕y•z⊕<x•y•z>⊕<w>⊕w•x⊕w•y⊕w•z⊕<w•x•y>⊕<w•x•z>⊕<w•y•z>⊕w•x•y•z
De zelfduale:
<w>⊕<x>⊕<y>⊕<z>⊕<x•y•z>⊕<w•x•y>⊕<w•x•z>⊕<w•y•z>
De andersduale:
<>⊕x•y⊕x•z⊕y•z⊕w•x⊕w•y⊕w•z⊕w•x•y•z
De disjunctie van de disjunctie van x , y en z met w is:
x⊕y⊕z⊕x•y⊕x•z⊕y•z⊕x•y•z met w
<<>>⊕<x>⊕<y>⊕<z>⊕<x•y>⊕<x•z>⊕<y•z>⊕<x•y•z>⊕<w>⊕(x⊕y⊕z⊕x•y⊕x•z⊕y•z⊕x•y•z)•<w>
<<>>⊕<x>⊕<y>⊕<z>⊕<x•y>⊕<x•z>⊕<y•z>⊕<x•y•z>⊕<w>⊕<w•x>⊕<w•y>⊕<w•z>⊕<w•x•y>⊕<w•x•z>⊕<w•y•z>⊕<w•x•y•z>
De zelfduale:
<w>⊕<x>⊕<y>⊕<z>⊕<x•y•z>⊕<w•x•y>⊕<w•x•z>⊕<w•y•z>
De andersduale:
<<>>⊕<x•y>⊕<x•z>⊕<y•z>⊕<w•x>⊕<w•y>⊕<w•z>⊕<w•x•y•z>
De som van conjunctie en disjunctie is w⊕x⊕y⊕z⊕x•y•z⊕w•x•y⊕w•x•z⊕w•y•z. Dit is een uitdrukking enkel in de zelfdualen van het universum, zoals ook het geval is met een som van slechts drie termen. Het verschil is terug de som van de andersdualen en is niet commutatief. Dit bevestigt het patroon.
Het kwadraat van zelfduale is <>⊕<w•x>⊕<w•y>⊕<w•z>⊕<x•y>⊕<x•z>⊕<y•z>⊕<w•x•y•z>
|
<w> |
<x> |
<y> |
<z> |
<x•y•z> |
<w•x•y> |
<w•x•z> |
<w•y•z> |
<w> |
<<>> |
w•x |
w•y |
w•z |
w•x•y•z |
x•y |
x•z |
y•z |
<x> |
w•x |
<<>> |
x•y |
x•z |
y•z |
w•y |
w•z |
w•x•y•z |
<y> |
w•y |
x•y |
<<>> |
y•z |
x•z |
w•x |
w•x•y•z |
w•z |
<z> |
w•z |
x•z |
y•z |
<<>> |
x•y |
w•x•y•z |
w•x |
w•y |
<x•y•z> |
w•x•y•z |
y•z |
x•z |
x•y |
<<>> |
w•z |
w•y |
w•x |
<w•x•y> |
x•y |
w•y |
w•x |
w•x•y•z |
w•z |
<<>> |
y•z |
x•z |
<w•x•z> |
x•z |
w•z |
w•x•y•z |
w•x |
w•y |
y•z |
<<>> |
x•y |
<w•y•z> |
y•z |
w•x•y•z |
w•z |
w•y |
w•x |
x•z |
x•y |
<<>> |
Het kwadraat van andersduale zal ook enkel een som van andersduale zijn en vanuit de structuur van het product met componenten die enkel inbeddingen zijn zoals bij de zelfduale, volgt dat dit ook niet verschillend is van <>⊕<x•y>⊕<x•z>⊕<y•z>⊕<w•x>⊕<w•y>⊕<w•z>⊕<w•x•y•z>. Immers: het patroon (<w>⊕<x>⊕<y>⊕<z>⊕<x•y•z>⊕<w•x•y>⊕<w•x•z>⊕<w•y•z>)•(<w>⊕<x>⊕<y>⊕<z>⊕<x•y•z>⊕<w•x•y>⊕<w•x•z>⊕<w•y•z>) is zoals het patroon (<<>>⊕<x•y>⊕<x•z>⊕<y•z>⊕<w•x>⊕<w•y>⊕<w•z>⊕<w•x•y•z>)•(<<>>⊕<x•y>⊕<x•z>⊕<y•z>⊕<w•x>⊕<w•y>⊕<w•z>⊕<w•x•y•z>).
We berekenen nu de conjunctie van de conjunctie van x, y, z, w met een nieuwe willekeurige welgevormde haakuitdrukking v
<>⊕<x>⊕<y>⊕<z>⊕x•y⊕x•z⊕y•z⊕<x•y•z>⊕<w>⊕w•x⊕w•y⊕w•z⊕<w•x•y>⊕<w•x•z>⊕<w•y•z>⊕w•x•y•z met v
<>⊕<<>>⊕x⊕y⊕z⊕<x•y>⊕<x•z>⊕<y•z>⊕x•y•z⊕w⊕<w•x>⊕<w•y>⊕<w•z>⊕w•x•y⊕w•x•z⊕w•y•z⊕<w•x•y•z>⊕<v>⊕(<>⊕<x>⊕<y>⊕<z>⊕x•y⊕x•z⊕y•z⊕<x•y•z>⊕<w>⊕w•x⊕w•y⊕w•z⊕<w•x•y>⊕<w•x•z>⊕<w•y•z>⊕w•x•y•z)•v
x⊕y⊕z⊕<x•y>⊕<x•z>⊕<y•z>⊕x•y•z⊕w⊕<w•x>⊕<w•y>⊕<w•z>⊕w•x•y⊕w•x•z⊕w•y•z⊕<w•x•y•z>⊕<v>⊕<v>⊕<v•x>⊕<v•y>⊕<v•z>⊕v•x•y⊕v•x•z⊕v•y•z⊕<v•x•y•z>⊕<v•w>⊕v•w•x⊕v•w•y⊕v•w•z⊕<v•w•x•y>⊕<v•w•x•z>⊕<v•w•y•z>⊕v•w•x•y•z
v⊕w⊕x⊕y⊕z⊕<v•x>⊕<v•y>⊕<v•z>⊕<w•x>⊕<v•w>⊕<w•y>⊕<w•z>⊕<x•y>⊕<x•z>⊕<y•z>⊕v•w•x⊕v•w•y⊕v•w•z⊕v•x•y⊕v•x•z⊕v•y•z⊕w•x•y⊕w•x•z⊕w•y•z⊕x•y•z⊕<w•x•y•z>⊕<v•x•y•z>⊕<v•w•x•y>⊕<v•w•x•z>⊕<v•w•y•z>⊕v•w•x•y•z
We berekenen nu de disjunctie
<<>>⊕<w>⊕<x>⊕<y>⊕<z>⊕<x•y>⊕<x•z>⊕<y•z>⊕<w•x>⊕<w•y>⊕<w•z>⊕<w•x•y>⊕<w•x•z>⊕<w•y•z>⊕<x•y•z>⊕<w•x•y•z> met v
<<>>⊕<>⊕w⊕x⊕y⊕z⊕x•y⊕x•z⊕y•z⊕w•x⊕w•y⊕w•z⊕w•x•y⊕w•x•z⊕w•y•z⊕x•y•z⊕w•x•y•z⊕<v>⊕(<>⊕w⊕x⊕y⊕z⊕x•y⊕x•z⊕y•z⊕w•x⊕w•y⊕w•z⊕w•x•y⊕w•x•z⊕w•y•z⊕x•y•z⊕w•x•y•z)•v
<<>>⊕<>⊕w⊕x⊕y⊕z⊕x•y⊕x•z⊕y•z⊕w•x⊕w•y⊕w•z⊕w•x•y⊕w•x•z⊕w•y•z⊕x•y•z⊕w•x•y•z⊕<v>⊕<v>⊕v•w⊕v•x⊕v•y⊕v•z⊕v•x•y⊕v•x•z⊕v•y•z⊕v•w•x⊕v•w•y⊕v•w•z⊕v•w•x•y⊕v•w•x•z⊕v•w•y•z⊕v•x•y•z⊕v•w•x•y•z
v⊕w⊕x⊕y⊕z⊕x•y⊕x•z⊕y•z⊕w•x⊕w•y⊕w•z⊕w•x•y⊕w•x•z⊕w•y•z⊕x•y•z⊕w•x•y•z⊕v•w⊕v•x⊕v•y⊕v•z⊕v•x•y⊕v•x•z⊕v•y•z⊕v•w•x⊕v•w•y⊕v•w•z⊕v•w•x•y⊕v•w•x•z⊕v•w•y•z⊕v•x•y•z⊕v•w•x•y•z
De som van beide is
<v>⊕<w>⊕<x>⊕<y>⊕<z>⊕<v•w•x>⊕<v•w•y>⊕<v•w•z>⊕<v•x•y>⊕<v•x•z>⊕<v•y•z>⊕<w•x•y>⊕<w•x•z>⊕<w•y•z>⊕<x•y•z>⊕<v•w•x•y•z>
We zien ook hier de som van enkel de zelfdualen van het universum, maar nu als som van hun inbeddingen. Het verschil van conjunctie en disjunctie resulteert ook hier in de som van de andersdualen.
We onderzoeken het speciaal geval dat de conjuncties van de welgevormde haakuitdrukkingen twee aan twee onmogelijk zijn.
Stel dat x en y elkaar uitsluiten dan geldt dat <>⊕<x>⊕<y>⊕x•y=<<>> dus <x>⊕<y>⊕x•y=<> en dus x•y=<>⊕x⊕y. Hieruit volgt dat <<>>⊕x•y=x⊕y.
We hebben berekend dat de som van conjunctie en disjunctie x⊕y is. Dus ook de vorm <<>>⊕x•y is de som van conjunctie en disjunctie. Dit is niet anders dan x•(x⊕y) of ook y•(x⊕y). Het verschil van conjunctie en disjunctie in twee welgevormde haakuitdrukkingen hebben we berekend als <<>>⊕<x•y> ofwel de inbedding hiervan, namelijk <>⊕x•y. Beide vormen zijn orthogonaal met <<>>⊕x•y.
In het algemeen geval is het product van conjunctie en disjunctie gelijk aan x•y en dus ook in dit specifiek geval en dat is niet anders dan <>⊕x⊕y.
Stel dat x, y en z elkaar twee-aan-twee uitsluiten, dan geldt hetzelfde patroon van sommen voor alle 2-vectoren, dus x•y=<>⊕x⊕y, x•z=<>⊕x⊕z, y•z=<>⊕y⊕z.
We berekenen nu x•y•z, bijvoorbeeld uitgaand van x•y=<>⊕x⊕y.
x•y•z=<z>⊕x•z⊕y•z=<z>⊕<>⊕x⊕z⊕<>⊕y⊕z=<<>>⊕x⊕y⊕z.
De som van conjunctie en disjunctie is in het algemeen geval <x>⊕<y>⊕<z>⊕<x•y•z>.
De som van conjunctie en disjunctie is dan in dit specifiek geval <x>⊕<y>⊕<z>⊕<<<>>⊕x⊕y⊕z>=<>⊕x⊕y⊕z.
En met x•y•z=<<>>⊕x⊕y⊕z of dus <<>>⊕x•y•z=<>⊕x⊕y⊕z, volgt hieruit: <<>>⊕x•y•z is de som van conjunctie en disjunctie. Het patroon dat we ook bij twee elkaar uitsluitende welgevormde haakuitdrukkingen vonden.
We merken ook op dat x⊕y⊕z=<>⊕x•y•z en dit is de projector orthogonaal met <<>>⊕x•y•z.
Er geldt ook: <x>⊕<y>⊕<z>=<<>>⊕<x•y•z>=<<>>⊕<x>•<y>•<z>
In het algemeen geval geldt dat het product van conjunctie en disjunctie gelijk is aan <<>>⊕<x•y>⊕<x•z>⊕<y•z> en in dit specifiek geval is dit dus <<>>⊕<<>⊕x⊕y>⊕<<>⊕x⊕z>⊕<<>⊕y⊕z>=<<>>⊕<<>>⊕<x>⊕<y>⊕<<>>⊕<x>⊕<z>⊕<<>>⊕<y>⊕<z>=<<>>⊕x⊕y⊕z en dit is, zoals bewezen, niet verschillend van x•y•z.
Stel dat x, y, z en w elkaar twee-aan-twee uitsluiten, dan geldt dat patroon voor alle 2-vectoren en dan ook alle 3-vectoren.
We berekenen w•x•y•z uitgaande van x•y•z=<<>>⊕x⊕y⊕z
w•x•y•z=w⊕w•x⊕w•y⊕w•z=w⊕<>⊕w⊕x⊕<>⊕w⊕y⊕<>⊕w⊕z=w⊕x⊕y⊕z
De som van conjunctie en disjunctie is in het algemeen geval w⊕x⊕y⊕z⊕x•y•z⊕w•x•y⊕w•x•z⊕w•y•z.
In het specifieke geval dat ze elkaar uitsluiten is dan het patroon van de 3-vectoren: x•y•z=<<>>⊕x⊕y⊕z, w•x•y=<<>>⊕w⊕x⊕y, w•x•z=<<>>⊕w⊕x⊕z, w•y•z=<<>>⊕w⊕y⊕z. Dus wordt de som: w⊕x⊕y⊕z⊕<<>>⊕x⊕y⊕z⊕<<>>⊕w⊕x⊕y⊕<<>>⊕w⊕x⊕z⊕<<>>⊕w⊕y⊕z=<<>>⊕w⊕x⊕y⊕z.
De totale som is dus niet anders dan <<>>⊕w•x•y•z. Het patroon dat we ook bij twee en drie elkaar uitsluitende welgevormde haakuitdrukkingen vonden wordt ook hier gevonden.
We merken nu op dat <w>•<x>•<y>•<z>=w•x•y•z=w⊕x⊕y⊕z
Stel dat x, y, z, w en v elkaar twee-aan-twee uitsluiten, dan geldt dat patroon voor alle 2-vectoren en dan ook alle 3-vectoren.
In het algemeen geval is de som:
<v>⊕<w>⊕<x>⊕<y>⊕<z>⊕<v•w•x>⊕<v•w•y>⊕<v•w•z>⊕<v•x•y>⊕<v•x•z>⊕<v•y•z>⊕<w•x•y>⊕<w•x•z>⊕<w•y•z>⊕<x•y•z>⊕<v•w•x•y•z>
We berekenen v•w•x•y•z uitgaande van w•x•y•z=w⊕x⊕y⊕z.
v•w•x•y•z=v•w⊕v•x⊕v•y⊕v•z
<>⊕v⊕w⊕<>⊕v⊕x⊕<>⊕v⊕y⊕<>⊕v⊕z
<>⊕v⊕w⊕x⊕y⊕z
v•w•x•y•z=<>⊕v⊕w⊕x⊕y⊕z
<v•w•x•y•z>=<<>>⊕<v>⊕<w>⊕<x>⊕<y>⊕<z>
<v>•<w>•<x>•<y>•<z>=<<>>⊕<v>⊕<w>⊕<x>⊕<y>⊕<z>
We berekenen nu de som van de ingebedde zelfdualen:
Som van 1-vectoren: <v>⊕<w>⊕<x>⊕<y>⊕<z>
3-vectoren: 10 van het patroon <x•y•z>=<<<>>⊕x⊕y⊕z>
<v•w•x>=<>⊕<v>⊕<w>⊕<x>⊕X⊕X
<v•w•y>=<>⊕<v>⊕<w>⊕X⊕<y>⊕X
<v•w•z>=<>⊕<v>⊕<w>⊕X⊕X⊕<z>
<v•x•y>=<>⊕<v>⊕X⊕<x>⊕<y>⊕X
<v•x•z>=<>⊕<v>⊕X⊕<x>⊕X⊕<z>
<v•y•z>=<>⊕<v>⊕X⊕X⊕<y>⊕<z>
<w•x•y>=<>⊕X⊕<w>⊕<x>⊕<y>⊕X
<w•x•z>=<>⊕X⊕<w>⊕<x>⊕X⊕<z>
<w•y•z>=<>⊕X⊕<w>⊕X⊕<y>⊕<z>
<x•y•z>=<>⊕X⊕X⊕<x>⊕<y>⊕<z>
Som van 3-vectoren: <>
5-vector:1
<v•w•x•y•z>=<<>>⊕<v>⊕<w>⊕<x>⊕<y>⊕<z>
Totale som van de zelfduale vectoren: <v>⊕<w>⊕<x>⊕<y>⊕<z>⊕<>⊕<<>>⊕<v>⊕<w>⊕<x>⊕<y>⊕<z>=v⊕w⊕x⊕y⊕z
Stel dat x, y, z, w, v en u elkaar twee-aan-twee uitsluiten, dan gelden alle patronen voor alle 2-vectoren, 3-vectoren, 4-vectoren, 5-vectoren.
Aangezien we twee vectoren met elkaar kunnen sommeren, kunnen we het resultaat afleiden uit het patroon voor drie elkaar uitsluitende welgevormde haakuitdrukkingen.
We merken op dat de twee atomen van het één onderscheiding universum, namelijk w en <w> elkaar uitsluiten. De som van conjunctie en disjunctie van beide is de nulvector. Het product van conjunctie en disjunctie is <>.
Merk het verschil op tussen een aantal onderscheidingen gelijk aan een tweevoud en een drievoud.
Aantal onderscheidingen |
Som van conjunctie en disjunctie |
Som van conjunctie en disjunctie |
Som van conjunctie en disjunctie |
1 |
<>⊕<<>> |
X |
X |
2 |
x1⊕x2 |
<<>>⊕x1•x2 |
<<>>⊕<x1>•<x2> |
3 |
<>⊕x1⊕x2⊕x3 |
<<>>⊕x1•x2•x3 |
<<>>⊕<<x1>•<x2>•<x3>> |
4 |
x1⊕x2⊕x3⊕x4 |
<<>>⊕x1•x2•x3•x4 |
<<>>⊕<x1>•<x2>•<x3>•<x4> |
5 |
x1⊕x2⊕x3⊕x4⊕x5 |
<<>>⊕x1•x2•x3•x4•x5 |
<<>>⊕<<x1>•<x2>•<x3>•<x4>•<x5>> |
6 |
<>⊕x1⊕x2⊕x3⊕x4⊕x5⊕x6 |
<<>>⊕x1•x2•x3•x4•x5•x6 |
<<>>⊕<x1>•<x2>•<x3>•<x4>•<x5>•<x6> |
... |
... |
... |
... |
i |
Σixi <>⊕Σixi voor i gelijk aan een drievoud |
<<>>⊕Πixi |
<<>>⊕Πi<xi> voor i even <<>>⊕<Πi<xi>> voor i oneven |
Ook viervouden zijn speciaal: de som van projectoren van elkaar uitsluitende welgevormde haakuitdrukkingen is niet anders dan het product van de welgevormde haakuitdrukkingen. Want x1⊕x2⊕x3⊕x4=<<>>⊕x1•x2•x3•x4 kunnen we ook schrijven als <>⊕x1⊕<>⊕x2⊕<>⊕x3⊕<>⊕x4=x1•x2•x3•x4
Dit doet denken aan “volmaakte” of “perfecte” getallen. Een perfect getal n is een getal waarvan de som van de delers die kleiner dan n zijn gelijk is aan n. Het kleinste perfecte getal is 6, want 1, 2 en 3 zijn de delers van 6 kleiner dan 6 en er geldt dat 1 + 2 + 3 = 6 . Het volgende perfecte getal is 28 want 1, 2, 4, 7 en 14 zijn de delers van 28 kleiner dan 28. Er geldt: als 2n - 1 een Mersenne-priemgetal is, dan is 2n-1 × (2n - 1) een perfect getal. Bijvoorbeeld: 31 is een Mersenne-priemgetal en 31=25-1. We berekenen 2(5-1), dit is 16 en 16 × 31=496 en dit is een perfect getal. Dit is tevens de enige manier om even perfecte getallen te construeren. Op het ogenblik is het onbekend of er oneven perfecte getallen bestaan maar door een geschikte afbeelding op het haakformalisme met dubbelgetallen (projectoren) als exponent van 2, kan aangetoond worden dat ze een viervoud moeten zijn.
Merk op dat 6 het enige perfecte getal is dat het infimum is van een tralie met op het enige centraal niveau de priemgetallen waarvan 6 het kleinste gemeen veelvoud is. Dus:
Niveau 2 |
|
1 |
Niveau 1 |
2 |
3 |
Niveau 0 |
|
6 |
Het volgende perfect getal moet reeds met een intensiteit voorgesteld worden:
Niveau 2 |
|
1 |
Niveau 1 |
2×2 |
7 |
Niveau 0 |
|
28 |