Bijkomend bij een eerste splitsing die aanleiding geeft tot een koppel (dat aanleiding geeft tot het 1-splitsing universum) kunnen we nu elk koppel nog eens splitsen. De motivatie hiervoor is de volgende: bij het 1-splitsing universum waar we een haakvector voorstelden als (h₁, h₂) konden we een speciaal geval onderzoeken waarbij H=h₁⊕h₂. Als h₁ en h₂ elkaars orthogonale involutie zijn en dus de som H=h₁⊕h₂ een directe som is, dan leidt de 1-splitsing tot projecties die elkaars directe som blijven (juist omdat h₁ en h₂ elkaars orthogonale involutie zijn). Maar h₁ en h₂ moesten dan wel gecollapste haakuitdrukkingen zijn. Nu: elke welgevormde haakvector H kunnen we ook voorstellen als een som van vier andere, namelijk H=h₁⊕h₂⊕h₃⊕h₄, dit is volledig analoog als bij een 1-splitsing en de haakvector H is dan ook voor te stellen als het viervoud (h₁, h₂, h₃, h₄). In tegenstelling met de situatie bij een koppel (dat aanleiding geeft tot het 1-splitsing universum), is het nu wel mogelijk dat H een welgevormde haakuitdrukking is indien elk van de h_i een welgevormde haakuitdrukking is. Dat betekent dus dat we, in tegenstelling met het 1-splitsing universum welgevormde haakuitdrukkingen kunnen voorstellen als een viervoud (+h₁, +h₂, +h₃, +h₄) van welgevormde haakuitdrukkingen.

We gaan nu de 2-splitsing in zijn algemeenheid onderzoeken. We kunnen starten met het definiëren van operatoren. Al snel komen we tot het inzicht dat er meerdere sets aan operatoren te definiëren zijn die in staat zijn de tralie van het 2-splitsing universum op te spannen. Dit vraagt een fundamenteler onderzoek naar de constructie van 4x4 operatoren. Toch blijft het didactisch verhelderend om de operatoren ook in de vorm van een herschikking van een lijst voor te stellen.

Een eerste voorbeeld van een operator set

1 en e passen zich aan de directe som aan door te ontdubbelen

De operator 1 past zich aan aan het grotere universum

1(+h₁, +h₂, +h₃, +h₄)=(+h₁, +h₂, +h₃, +h₄)

De operator e past zich aan aan het grotere universum waarin we twee blokken transformeren: +h₁, +h₂ versus +h₃, +h₄

e(+h₁, +h₂, +h₃, +h₄)=(-h₃, -h₄, +h₁, +h₂)

We bewijzen nu dat het kwadraat van e niet te onderscheiden is van -1.

Bewijs: we voeren dezelfde transformatie nog eens uit: het tweede blok wordt het eerste en wordt ingebed.

e(e(+h₁, +h₂, +h₃, +h₄))=(-h₁, -h₂, -h₃, -h₄)=-1(+h₁, +h₂, +h₃, +h₄)

QED

We definiëren nu twee nieuwe operatoren die uniek zijn voor dat universum:

f(+h₁, +h₂, +h₃, +h₄)=(-h₄, +h₃, -h₂, +h₁)

g(+h₁, +h₂, +h₃, +h₄)=(-h₂, +h₁, +h₄, -h₃)

We bewijzen dat het kwadraat van beide niet te onderscheiden is van -1

Voor f in woorden: neem de vierde haakuitdrukking en bed het in als eerste haakuitdrukking, neem de derde haakuitdrukking als tweede haakuitdrukking, neem de tweede haakuitdrukking als derde haakuitdrukking en bed in, neem de eerste haakuitdrukking als vierde haakuitdrukking.

f(f(+h₁, +h₂, +h₃, +h₄))=(-h₁, -h₂, -h₃, -h₄)=-1

QED

Voor g in woorden: neem de tweede haakuitdrukking en bed het in als eerste haakuitdrukking, neem de eerste haakuitdrukking als tweede haakuitdrukking, neem de vierde haakuitdrukking als derde haakuitdrukking, neem de derde haakuitdrukking als vierde haakuitdrukking en bed in.

g(g(+h₁, +h₂, +h₃, +h₄))=(-h₁, -h₂, -h₃, -h₄)=-1

QED

We tonen aan dat f(e(+h₁, +h₂, +h₃, +h₄))=g(+h₁, +h₂, +h₃, +h₄)

We starten met e(+h₁, +h₂, +h₃, +h₄)=(-h₃, -h₄, +h₁, +h₂)

Voor f in woorden: neem de vierde haakuitdrukking en bed het in als eerste haakuitdrukking, neem de derde haakuitdrukking als tweede haakuitdrukking, neem de tweede haakuitdrukking als derde haakuitdrukking en bed in, neem de eerste haakuitdrukking als vierde haakuitdrukking.

f(e(+h₁, +h₂, +h₃, +h₄))=(-h₂, +h₁, +h₄, -h₃)

Dus f(e(+h₁, +h₂, +h₃, +h₄))=g(+h₁, +h₂, +h₃, +h₄)

QED

We tonen aan dat e(f(+h₁, +h₂, +h₃, +h₄))=-g(+h₁, +h₂, +h₃, +h₄)

f(+h₁, +h₂, +h₃, +h₄)=(-h₄, +h₃, -h₂, +h₁)

e(f(+h₁, +h₂, +h₃, +h₄))=(+h₂, -h₁, -h₄, +h₃)

Dus e(f(+h₁, +h₂, +h₃, +h₄))=-g(+h₁, +h₂, +h₃, +h₄)

QED

Overzicht

Een tweede voorbeeld van een operator set

1

1(+h₁, +h₂, +h₃, +h₄)=(+h₁, +h₂, +h₃, +h₄)

p

p(+h₁, +h₂, +h₃, +h₄)=(+h₂, -h₁, +h₄, -h₃)

Het kwadraat is niet te onderscheiden van -1.

p(p(+h₁, +h₂, +h₃, +h₄))=(-h₁, -h₂, -h₃, -h₄)

QED

q

q(+h₁, +h₂, +h₃, +h₄)=(+h₄, +h₃, -h₂, -h₁)

Het kwadraat is niet te onderscheiden van -1.

q(q(+h₁, +h₂, +h₃, +h₄))=(-h₁, -h₂, -h₃, -h₄)

QED

r

r(+h₁, +h₂, +h₃, +h₄)=(+h₃, -h₄, -h₁, +h₂)

Het kwadraat is niet te onderscheiden van -1.

r(r(+h₁, +h₂, +h₃, +h₄))=(-h₁, -h₂, -h₃, -h₄)

QED

Het is eveneens zeer gemakkelijk te controleren dat q(p)=r en p(q)=-r

Overzicht

We merken op dat de hier gedefinieerde samenstellingen van operaties niet commutatief zijn, anti-commutatief zelfs. De enige bewerking die niet commutatief is in het haakformalisme is het creatief product en inderdaad kunnen we aantonen hoe deze operaties gerelateerd zijn met het creatief product.