Het centraal axioma van het haakformalisme is, in een van zijn interpretaties, dat we altijd waarnemen in het grootste universum ondanks het feit dat we maar een beperkt universum kunnen opspannen. Een deel van de onderscheidingen die het grootste universum opspannen is stabiel en gekend, de rest is variabel en ongekend. We kunnen dan zeggen dat de variabele onderscheidingen niet ingebouwd worden in de invariante tralie waarmee we een universum opspannen binnen onze beperkingen. “Daardoor” kunnen we er niet meer voor kiezen. Bij het ervaren zelf van een welgevormde haakuitdrukking krijgt die welgevormde haakuitdrukking een ervaringswaarde en dan moet het ons niet verbazen dat we in het gedeelte van de werkelijkheid dat niet invariant is ook een patroon of structuur kunnen ontdekken die het gevolg is van relaties in een tralie. We tonen aan dat dat patroon te modelleren is met een rotatie. Een rotatie is te kwantificeren als de verandering van een pre-geometrisch concept: een hoek. Een hoek is een modulair concept (een fractie van 2π en is gedefinieerd modulo 2π) en is enkel een noodzakelijke voorwaarde om golven te beschrijven, geen voldoende voorwaarde.

De meest eenvoudige meting van iets dat een zekere invariantie heeft, geeft aanleiding tot een frequentieverdeling van getelde aantallen (sporen van een interactie van wat invariant is in zijn context) in twee elkaar uitsluitende categorieën M (“iets”) en M<> (“iets anders”) waarbij iets gemeenschappelijk, de waarnemingscontext MM<>, onvermijdelijk simultaan ervaren wordt. Het aantal malen dat we een herhaalbare meting uitvoeren (met dus de invariante waarnemingscontext MM<>) kunnen we altijd kiezen en het is dat dat we meten omdat de meting vastlegt wat herhaald wordt. Dat is niet meer en niet minder dan een tautologie: wat we kunnen herhalen is invariant en wat invariant is kunnen we herhalen. Elke meting sluit een andere uit en dat betekent dat er iets niet invariant is en dat noemen we “het gedrag van het invariante” omdat het enkel “telkens nu” waargenomen wordt. Onvermijdelijk moeten we stoppen met waarnemen, stoppen met het verzamelen van sporen, stoppen met het proces. Dit leidt tot een tijd waarbinnen het totaal aantal meetresultaten (sporen die elkaar uitsluiten, sporen van een meting) gedefinieerd wordt. De som van de ervaren fracties (van de eventueel meer dan twee elkaar uitsluitende categorieën) is dan 100%, of 1, dus aan de fracties kunnen we ook een hoek θ verbinden op de volgende manier die gebruik maakt van de gewichten w en w<> die we konden interpreteren als de kwantum waarschijnlijkheden die zich in een ervaren situatie voordoen en de status geven waarin de meting zich bevindt als de meting beëindigd wordt:

cos2θ = w1/2(w1/2+w<>1/2)-1

sin2θ = w<>1/2(w1/2+w<>1/2)-1

Hiervan is de interpretatie in het haakformalisme zeer duidelijk: in deze meest eenvoudige meting of waarneming zal de ervaren toestand in (n-m-p)/(n-m) gevallen zich als de ene soort toestand voordoen, en in p/(n-m) gevallen zich als de andere soort toestand voordoen. Immers de gewichten kunnen uitgedrukt worden in functie van de enige parameters van het model, namelijk n (de grootte van het universum), m (het aantal identieke bits in de waarnemingscontexten, het niveau in de tralie), p (het aantal niet-identieke bits in één van de waarnemingscontexten, en dus n-m-p het aantal niet-identieke bits in de andere waarnemingscontext):

cosθ = ±w1/4(w1/2+w<>1/2)-1/2 = ±(n-m-p)1/2 n-1/2(n-m)-1/2 n1/2 = ±(n-m-p)1/2(n-m)-1/2

sinθ = ±w<>1/4(w1/2+w<>1/2)-1/2 = ±p1/2 n-1/2(n-m)-1/2 n1/2 = ±p1/2(n-m)-1/2

tanθ = ±w<>1/4w-1/4=±p1/2(n-m-p)-1/2

In de uitdrukking tanθ komt (n-m)-1/2 niet meer voor. Dus tanθ is een verhouding waarbij (n-m)-1/2 geen rol meer speelt, en wanneer we (n-m)-1/2 schrijven als de noemer 1/(n-m)1/2, dan is duidelijk dat die noemer een getal kan zijn dat een eenheid uitdrukt die in de verhouding tanθ niet meer zichtbaar is, en dan dreigt “vergeten” te worden. Dit is een essentieel inzicht aangezien (n-m) een vrije keuze is. Dit getal wordt enkel bepaald door het aantal van de metingen die we uitgevoerd hebben in dezelfde meetopstelling. Dat is dus datgene dat zin geeft aan een frequentie van voorkomen, een frequentie van (on)zekerheid (het aantal keren dat we “ja” zeggen of het aantal keren dat we “neen” zeggen).

We kunnen dat illustreren met een praktisch voorbeeld. Wat we nu ervaren is altijd ervaren met de grootste frequentie van (on)zekerheid die voor ons mogelijk is, we ervaren altijd “iets”, dat we verder niet moeten of kunnen specificeren. We stoppen niet met ervaren. “Nu” is altijd “ja” en “ja” is altijd “iets anders dan neen”. Iets specifieks daarentegen is enkel in een bepaalde waarnemingscontext te ervaren (bijvoorbeeld: wanneer we iets willen zien dan moet er genoeg licht zijn en moeten we onze ogen kunnen gebruiken, of als we een vogel willen zien dan moeten we een vogel kunnen herkennen enz...) en dus de frequentie van (on)zekerheid zal dus onvermijdelijk lager zijn. De frequentie van (on)zekerheid is ook de kwantificering van een maximaal aantal stappen dat onderscheiden kan worden en is dus ook een kwantificering van een resolutie van waarnemen.

De hoek θ introduceert dus een beschrijving van gedrag, bovenop het herhaalbare, het circulaire, het modulaire als beschrijving van invariantie, de voorwaarde voor associativiteit en invers (wat we modelleren door de laatst toegevoegde onderscheiding). De tangens van de hoek θ geeft de verhouding van het aantal toestanden waarin de welgevormde haakuitdrukking zich kan bevinden in de ervaren situatie in twee soorten die ten opzichte van elkaar geïnterpreteerd moeten worden: “ja” ten opzichte van “neen” in een meetcontext waarin alleen van “ja” sprake is omdat die twee elementen van de meetcontext simultaan de meting-in-context zelf realiseren. Want het punt dat waargenomen is (en dus voor beide categorieën “ja” is), is het infimum van de meetcontexten M en M<> en is de ervaren disjunctie (waarnemingscontext) MM<>. Het bevindt zich op een bepaalde diepte in de tralie die door n-m gegeven wordt. We merken nu op dat deze verhouding, en dus de hoek θ, niet zal veranderen als elke term vermenigvuldigd wordt (of de verhouding genomen wordt) met eenzelfde getal k, inderdaad: tanθ = ±w<>1/4w-1/4=±p1/2(n-m-p)-1/2=±(p.k-1)1/2((n-m-p).k-1)-1/2. Dit kunnen we als volgt interpreteren: de hoek is invariant vanuit gelijk welk standpunt, of in gelijk welk universum, gelijk welk aantal bits, gelijk welk aantal onderscheidingen. We kunnen dit ook anders formuleren: wat we waarnemen zal iets zijn dat niet varieert in alle mogelijke universa, hoe groot het aantal onderscheidingen ook is waarmee we een universum moeten opspannen. Ongeacht het aantal onderscheidingen dat we kunnen gebruiken om het gedrag te beschrijven en ook ongeacht de verhouding die we waarnemen op een bepaald moment, wat we waarnemen is iets invariant en wordt enkel begrensd door het aantal stappen die we in de waarneming hebben kunnen nemen. Telkens als we waarnemen is de verhouding (de intensiteit, het gedrag) misschien anders, maar het is altijd te beschrijven als een hoek en alle hoeken zijn een fractie van 2π en zijn enkel gedefinieerd modulo 2π. Daar is niets absoluut aan, indien we meer stappen hadden kunnen nemen dan zouden we in de sporen die we verzameld hebben van de waarneming andere patronen kunnen onderscheiden, maar dat hebben we dus niet gedaan omdat we onvermijdelijk beperkt zijn.

Hieruit volgt dat

(n-m)1/2cosθ = ±(n-m-p)1/2

(n-m)1/2sinθ = ±p1/2

Dit kunnen we interpreteren als de relaties die bestaan tussen de polaire en cartesiaanse vorm van een complex getal. Immers: neem het complex getal z = x+iy dan is x te schrijven als rcosθ en y is te schrijven als rsinθ met r = (x2+y2)1/2 en dus z = reiθ. Dus hier is r = (n-m)1/2 en het complex getal is (n-m)1/2eiθ.

Er geldt ook: nw<>1/2= n-m-p en nw1/2= p en dus nw1/2+nw<>1/2= n-m, zodanig dat deze som het vrij te kiezen referentiepunt is.

Zonder dat daar geometrische intuïties voor nodig zijn is dit is niet anders dan de stelling van Pythagoras: in een rechthoekige driehoek geldt dat a2+b2=c2 en dus (a/c)2+(b/c)2=(c/c)2. Tussen haken staan enkel verhoudingen (en dus schaalfactoren). Dus (a/c)2+(b/c)2=1 en dus is dit een benadering met rationale getallen van (sinθ)2+(cosθ)2=1.

Verschillende hoeken

Veronderstel twee reeksen getallen die enkel toenemen. Het zijn gehele getallen als ze resultaten zijn (als ze sporen zijn) van een telling, het zijn reële getallen als ze resultaten zijn (als ze sporen zijn) van een berekening. Noem de ene reeks nu pi en de andere reeks qi. Voor elke i is pi-1 kleiner dan pi. Voor elke i is qi-1 kleiner dan qi. De som van een element uit beide reeksen voor een i noemen we ni. Dus pi+qi=ni. Dus ni neemt enkel toe, kan een geheel getal zijn, kan een reëel getal zijn, maar ni kan ook een dubbelgetal zijn waarvan de twee componenten enkel toenemen.

Veronderstel nu pi=qi+mi met mi een positief geheel getal. Dus de stijgende reeks pi en de stijgende reeks qi hebben een getal mi gemeenschappelijk. Dus pi-qi=mi en aangezien we stelden pi+qi=ni verbinden ni en mi de twee reeksen met elkaar. Er geldt ook: 2pi=(ni+mi) en 2qi=(ni-mi). Dit bepaalt de schaalfactor tussen de twee keuzes, namelijk 2=(ni+mi)/pi=(ni-mi)/qi.

Deze getallen interpreteren we nu als aantal bits van een bepaalde soort, die we in een waarneming construeren als een aantal pi versus een aantal pi<> in een universum met ni bits.

2qi=(ni-mi) betekent dat het aantal bits die in de waarneming verschillen een tweevoud is (een even getal als qi een geheel getal is). In de klassieke hypothese worden voor één entiteit slechts twee contradualerende atomen beschouwd. Dus in de klassieke hypothese is (ni-mi) niet anders dan 2 en dus qi=1. De twee toestanden bevinden zich op hetzelfde niveau zonder elkaars inbedding te zijn (dit laatste is trouwens enkel mogelijk bij het 1-onderscheiding universum). Ze hebben dus altijd ni-2 gemeenschappelijke bits en dus is mi=ni-2. Dat betekent dat 2=ni-mi=pi+pi<>. Is ni een dubbelgetal dan zou het zo kunnen zijn dat pi de ene dimensie van het getal kwantificeert en pi<> de andere dimensie van het getal (dat moet natuurlijk niet zo zijn). Dit maakt ook duidelijk dat de klassieke hypothese het mogelijk maakt om een gemiddelde te definiëren dat hierdoor de mogelijke relaties tussen de reeksen pi en qi beperkt. Immers 2qi=2=ni-mi=pi+pi<> en dus is qi=(pi+pi<>)/2. We hebben dit de veronderstelling van continuïteit genoemd, de reeks pi en qi zijn niet onafhankelijk van elkaar en zijn aantallen in één zelfde tralie. Merk op dat 2=pi+pi<> dan de som van twee reële getallen kan zijn (eventueel met ongekend aantal betekende cijfers), dat gelijk is aan een geheel getal.

Met de veronderstellingen is ni een reëel getal en mi is een positief geheel getal dat kleiner is dan ni. Dus 2pi=(ni+mi) kan geïnterpreteerd worden als het aantal bits in een universum met één onderscheiding meer dan het universum dat ni opspant en dus opgespannen wordt door 2ni bits, een a priori onbekend en misschien ook onkenbaar aantal.

Met deze veronderstellingen kunnen we nu verschillende schaalfactoren en dus ook hoeken definiëren die eveneens de twee reeksen getallen met elkaar verbinden op voorwaarde dat we daarvoor een invariante referentie construeren. Die referentie is dan het totaal aantal metingen die in twee elkaar uitsluitende categorieën kunnen ondergebracht worden. We interpreteren dat als de totale intensiteit van de waarneming van het gedrag van een entiteit. Die hoek is niet ruimtelijk maar abstract, we moeten de hoek leren zien als de kwantificering van (on)zekerheid van waarnemen en de verandering van hoek als de evolutie van (on)zekerheid. We geven hiervan een paar voorbeelden.

Een eerste hoek noemen we θ1 met de constructie pi/(qi-mi)=tan2θ1 en dit is niet anders dan pi/(ni-mi-pi). Dit herkennen we als we de getallen interpreteren als een aantal bits: aan de meest eenvoudige waarneming of meting kan altijd een hoek verbonden worden. We voeren de meest eenvoudige meting of waarneming uit en we moeten twee soorten onderscheiden: in het aantal gevallen gelijk aan (ni-mi-pi)/(ni-mi) zal de ervaren toestand zich als de ene soort toestand voordoen, en in het aantal gevallen gelijk aan pi/(ni-mi) zal de ervaren toestand zich als de andere soort toestand voordoen. De som van de aantallen pi en (ni-mi-pi) geeft ons de referentie (ni-mi). Inderdaad: (ni-mi-pi)/(ni-mi)+pi/(ni-mi)=1.

We kunnen ook een tweede hoek θ2 definiëren. Een uitdrukking van het type (pi-qi)/(pi+qi)=(pi-qi)/ni=mi/ni kunnen we met de tan2θ2 =mi/ni constructie ook beschrijven door een hoek. De referentie (ni+mi) vinden we door te stellen: mi/(ni+mi)+ni/(ni+mi)=1

We kunnen ook een derde hoek θ3 definiëren. Een uitdrukking van het type (ni-mi)/(ni+mi)=2qi/2pi kunnen we met de tan2θ3 =qi/pi constructie ook beschrijven door een hoek. De referentie (qi+pi)=ni vinden we door te stellen: qi/(qi+pi)+pi/(qi+pi)=1

We kunnen ook een vierde hoek θ4 definiëren. Een uitdrukking van het type mi/(ni-mi)=mi/(pi+qi-mi) kunnen we met de tan2θ4 =mi/(pi+qi-mi) constructie ook beschrijven door een hoek. De referentie (qi+pi)=ni vinden we door te stellen: mi/(qi+pi)+(pi+qi-mi)/(qi+pi)=1.

De hoeken zijn per definitie een fractie van π. De fractie “van π” is uiteraard een abstracte constructie want voor π kunnen we niet kiezen (π heeft een “onkenbaar aantal” betekende cijfers). De hoeken geven relaties tussen vier getallen (van de vier getallen ni, mi, pi, qi, zijn er maximaal drie te kiezen). De hoeken zijn schaalfactoren. We zullen in de praktijk onvermijdelijk moeten kiezen voor een benadering van π en die benadering drukt onze grens uit als agens-in-context: een hoek drukt de waarnemingsresolutie van een agens-in-context uit. De relaties tussen de vier getallen zijn verhoudingen van een teller tot een noemer, met de voorbeelden zijn dat namelijk pi/(ni-mi-pi), mi/ni, qi/pi, mi/(ni-mi). We kunnen nu veronderstellen dat één van de vier getallen kan gekozen worden en dus telbaar is. We kunnen dat getal interpreteren als een aantal golven. De andere zijn reële getallen met een onbekend aantal betekende cijfers. Die kunnen we interpreteren als een onbekend aantal stappen met een totaal aantal (stappen) dat we als een onvermijdelijke normalisatie moeten interpreteren, onvermijdelijk omdat we maar zo lang konden waarnemen.

We kunnen dat gemakkelijker begrijpen met een voorbeeld. Neem pi versus (ni-mi-pi) en de hoek die kan berekend worden vanuit de verhouding tan2θ = pi/(ni-mi-pi). We veronderstellen nu dat pi het aantal golven is dat we tellen met zekerheid: met zekerheid zeggen we pi maal “ja” (uiteraard duaal: met zekerheid zeggen we pi maal “neen”). Onbekend is het aantal stappen dat we doorlopen hebben: het aantal toestanden (die elkaar uitsluiten) die noodzakelijk zijn om tweemaal “ja” te kunnen zeggen (en dus één volledige golf waar te nemen) en te besluiten dat het gedrag periodiek is. Al is het aantal stappen onbekend, toch zijn we met zekerheid moeten stoppen met waarnemen. Dus het totaal aantal stappen hebben we ook kunnen kiezen (we hebben immers gekozen om te stoppen na een onbekend aantal stappen). Dit beschouwen we nu als de eenheid 1 van de waarneming van het gedrag van de entiteit E. Dit is onvermijdelijk. Gedrag dat resulteert enkel door coördinatie van nog meer toestanden is onvermijdelijk niet waargenomen, we hebben immers zolang niet gewacht, die toestanden zijn niet kunnen gebeuren. Dus: we zeggen pi maal “ja”, gekend geheel getal, en dus hebben we (ni-mi-pi) maal “neen” gezegd, onbekend reëel getal dat we dus niet kunnen tellen (voor alle duidelijkheid: dit is een veronderstelling die volledig duaal te formuleren is). Maar we moeten nu ook veronderstellen dat de som van beide overeenkomt met het onbekend aantal stappen (overgangen van toestand naar toestand) waarmee we de entiteit E waargenomen hebben en een “ja” konden zeggen voor een bepaald gedrag van E. Deze som is (ni-mi)=pi + (ni-mi-pi). Als we de beide termen van de som nu delen door (ni-mi) dan resulteert dit in pi/(ni-mi) + (ni-mi-pi)/(ni-mi) = 1 en dat interpreteren we nu als sin2θ + cos2θ = 1 die een hoek bepalen en de hoek wordt dan ook gegeven door tan2θ = pi/(ni-mi-pi). Het voorbeeld dat we hier uitgeschreven hebben is niet anders dan een Poisson proces, en we kunnen dat dieper onderzoeken. Al deze verhoudingen van getallen die aanleiding geven tot hoeken zijn ook als product van getallen te schrijven en dus ook als verhoudingen van priemgetallen.

Samenvatting

Doordat we altijd in een grootste universum waarnemen (het enige axioma), kan een waarneming of een meting beschreven worden door de intensiteit (een getal) van een vooraf gekozen welgevormde haakuitdrukking H (een eenheid) die in het ervaren zelf een waarde “ja” krijgt. H is wat we waarnemen, het is een meetcontext. H is als een logische relatie van onderscheidingen te beschrijven. De intensiteit van H is een bijkomende karakteristiek die de “ja” niet bepaalt of die de “ja” niet a priori beïnvloedt: wat de intensiteit ook zou blijken te zijn, “ja” blijft “ja”. Die bijkomende karakteristiek moeten we aanvaarden, kunnen we niet kiezen, moet vanzelf blijken te gebeuren, kan variëren, kunnen we anticiperen, kunnen we proberen te voorspellen enz…. Vooraf de karakteristiek beschrijven lukt niet (dat is trouwens een aspect van feedback: je kan wel iets verwachten maar nooit perfect voorspellen). De karakteristiek kunnen we enkel achteraf beschrijven omdat we kunnen veronderstellen dat die karakteristiek moet beschreven worden met behulp van minstens één onderscheiding bovenop de onderscheidingen die nodig zijn om H, die te kiezen is, op te spannen. We kunnen dus met die bijkomende onderscheiding (of meerdere onderscheidingen) minimaal twee mogelijke categorieën maken (die elkaar uitsluiten) waarin we het <<herhaaldelijk “ja” zeggen aan H>> kunnen onderbrengen. We hebben ze M en M<> genoemd. Het zijn er twee omdat ze anders niet het karakter kunnen hebben dat ze door een bijkomende onderscheiding uit elkaar kunnen gehouden worden, er moet immers zo iets zijn als: “zorg dat je voortdurend H waarneemt, als je daarenboven ook “iets als W” waarneemt dan klasseer je dat in de categorie M, zo niet (dus als “iets als W” niet herkend is) klasseer je dat in de categorie M<>”. H is dus een disjunctie. Zo bouwen we de meest primitieve tralie op met de meest eenvoudige hypothese (een “indien… dan…, zo niet...” constructie) en fijner dan <<>> en ruimer dan <> kunnen we zo verschillende disjuncties construeren.

We hebben de categorieën dus gecreëerd (een nominale meting uitgevoerd) en noemen ze meetmethode, meetcontext, waarnemingsmethode, waarnemingscontext waarin we herhaaldelijk “ja” kunnen vaststellen, en alleen maar “ja” voor H maar ofwel “ja” in de ene categorie (soort M), ofwel “ja” in de andere categorie (soort M<>), soorten die de soort H realiseren (die altijd “ja” is omdat we dit zo gekozen hebben). Inderdaad: we moeten zo creatief zijn dat we soorten M en M<> vinden zodanig dat we nooit een “ja” zullen vinden simultaan zowel in M, zowel in M<> en zowel in H (en dit is wat we bedoelen als we zeggen dat de categorieën M en M<> elkaar uitsluiten en we dus een betrouwbare meting uitvoeren). Slagen we daar niet in dan moeten we aanvaarden dat we geen verschil kunnen maken (of vinden of… ) tussen die verschillende ervaringen. Dat is belangrijk en moeten we niet proberen te verdoezelen: elke agens-in-context is op een bepaalde manier beperkt door zijn eigen waarnemingsresolutie of door de context en dat is ook afhankelijk van de creativiteit die het agens kan opbrengen om een proces met andere ogen te kunnen zien (dat is het verhaal van het werpen van een dobbelsteen).

Het minimale wat we dus bereiken is dat we twee getallen krijgen als sporen van ervaren, en dat geldt voor elk ervaren. Hiermee kunnen we een product, een verhouding w<>1/4w-1/4 berekenen en met die verhouding kunnen we een hoek beschrijven: tanθ =±w<>1/4w-1/4=±p1/2(n-m-p)-1/2. Een hoek kunnen we altijd berekenen met behulp van twee getallen: p en n-m. Het getal p moet blijken, het getal n-m kunnen we kiezen omdat het het minimale onderscheidingen universum vastlegt waarin we H als “ja” waarderen. De verhouding tanθ is zeer klein voor een hoek die zeer dicht bij 0 ligt, de verhouding is zeer groot voor een hoek die zeer dicht bij π/2 ligt. Beide gevallen kwantificeren hetzelfde patroon want ze komen overeen met een situatie waarin de verwachting zeer groot is dat de waarneming van één soort is (en dat bedoelen we als we zeggen dat we zekerheid hebben: het spoor dat elk ervaren zal genereren is te voorspellen). De nul is het symbool voor het operationeel uitvoerbare “zeer klein en onwaarneembaar kleiner”. Oneindig is het symbool voor het operationeel uitvoerbare “zeer groot en onwaarneembaar groter”. Beide symbolen drukken een resolutie uit.

Operationeel is H ervaren, dat is zekerheid, we zeggen “ja” voor de waarneming, we nemen waar (hoe complex ook de voorbereiding zou moeten zijn die daartoe ondernomen moet worden) en we modelleren dit door een hoek 0 ofwel een hoek π/2 omdat dit onze resolutie uitdrukt. We kunnen datzelfde ook uitdrukken door te zeggen dat een mogelijke bijkomende onderscheiding irrelevant is voor de waarneming van H. Er is voor deze situatie geen verschil wanneer we de ervaren H als M waarnemen, er is evenmin verschil wanneer we de ervaren H als M<> waarnemen. Kiezen we voor een infinitesimaal kleine hoek θ voor M dan moeten we voor een infinitesimaal kleine hoek (π/2 - θ) kiezen voor M<>. De tangens is 1 voor een situatie waarin de verwachting even groot is dat de waarneming van de ene soort is als dat de waarneming van de andere soort is. Dat herkennen we dan als willekeur en willekeur hebben we nodig om onze meting betrouwbaar te noemen. Door te warren (“randomiseren”) kunnen we systematische fouten vermijden en we zullen daartoe de waarnemingscontexten M en M<> (die beide H, die we gekozen hebben, simultaan realiseren) zo construeren dat we niet kunnen kiezen, noch voor M, noch voor M<>, we kunnen ze achteraf wel herkennen maar ze kunnen enkel gebeuren. In het geval van willekeur is p=n-m-p en dit betekent dat n-m even moet zijn en dus dat de gemodelleerde H alle karakteristieken van een (klassieke, telbare) entiteit kan hebben, of we de waargenomen H nu waarnemen als M of M<> doet er niet toe, de kans voor beide is gelijk. Het is de willekeur die ons het gereedschap geeft om een werkelijkheid op te bouwen die we met zekerheid kunnen anticiperen. Het is de willekeur die ons het gereedschap geeft om entiteiten te definiëren en de hoek (de fase) dan als π/4 te nemen. Om dat in te zien zouden we de ene soort toestanden kunnen afbeelden op een hoogbit en de andere soort toestanden op een laagbit en dan zouden we een tralie kunnen construeren met een punt met evenveel hoogbits als laagbits op centraal niveau, punt dat dus de functie van onderscheiding kan opnemen. Een fase verschillend van π/4 treedt dan op voor een entiteit die niet meer klassiek telbaar is en dus een gedrag kan modelleren.

Telkens als we waarnemen nemen we een hoek waar als spoor van dat ervaren. “Dat ervaren” is dat wat invariant blijft, dat wat herhaaldelijk ervaarbaar is. Dat is altijd als een rotatie te beschrijven (herhaaldelijk wordt hetzelfde waargenomen), mogelijks een superpositie van rotaties als het gedrag van (de onderscheidbare evolutie van) meerdere onderscheidingen afhankelijk is.

Noteer dat we ook meerdere categorieën kunnen veronderstellen (ons a priori voorstellen, creëren) maar er zal ook altijd een rest categorie zijn waarin we de meting onderbrengen van “iets anders dan wat we ons a priori konden voorstellen” en dat is dan de onvermijdelijke uitdrukking van onze beperkingen. Dit inzicht maakt het mogelijk om te gaan spreken van kwantumatomen (niet te kiezen gedrag) en hoe precies ze zich van klassieke atomen (te kiezen aspecten) onderscheiden.