Het centraal axioma van het haakformalisme is, in een van zijn interpretaties, dat we altijd waarnemen in het grootste universum ondanks het feit dat we maar een beperkt universum kunnen opspannen. Een deel van de onderscheidingen die het grootste universum opspannen is stabiel, de rest is variabel. We kunnen dan zeggen dat de variabele onderscheidingen niet ingebouwd worden in de invariante tralie waarmee we een universum opspannen binnen onze beperkingen. Bij het ervaren zelf van een welgevormde haakuitdrukking krijgt die welgevormde haakuitdrukking een ervaringswaarde en dan moet het ons niet verbazen dat we in het gedeelte van de werkelijkheid dat niet invariant is ook een patroon of structuur kunnen ontdekken die het gevolg is van relaties in een tralie. We tonen aan dat dat patroon te modelleren is met een rotatie, de relatie die verantwoordelijk is voor het ontstaan van golven. Een rotatie is te kwantificeren als een hoek.

De meest eenvoudige meting van iets dat een zekere invariantie heeft, geeft aanleiding tot een frequentieverdeling van getelde aantallen (sporen van een interactie van wat invariant is in zijn context) in twee elkaar uitsluitende categorieën M (“iets”) en M^<> (“iets anders”) waarbij iets gemeenschappelijk, de waarnemingscontext MM^<>, onvermijdelijk simultaan ervaren wordt. Het aantal malen dat we een herhaalbare meting uitvoeren (met dus de invariante waarnemingscontext MM^<>) kunnen we altijd kiezen en het is dat dat we meten omdat de meting vastlegt wat herhaald wordt. Dat is niet meer en niet minder dan een tautologie: wat we kunnen herhalen is invariant en wat invariant is kunnen we herhalen. Elke meting sluit een andere uit en dat betekent dat er iets niet invariant is en dat noemen we “het gedrag van het invariante”. Onvermijdelijk moeten we stoppen met waarnemen, stoppen met het verzamelen van sporen. Dit leidt tot een tijd waarbinnen het totaal aantal meetresultaten (sporen die elkaar uitsluiten, sporen van een meting) gedefinieerd wordt. De som van de ervaren fracties (van de eventueel meer dan twee elkaar uitsluitende categorieën) is dan 100%, of 1, dus aan de fracties kunnen we ook een hoek θ verbinden op de volgende manier die gebruik maakt van de gewichten w en w^<> die we konden interpreteren als de kwantum waarschijnlijkheden die zich in een ervaren situatie voordoen en de status geven waarin de meting zich bevindt als de meting beëindigd wordt:

cos²θ = w^1/2(w^1/2+w^<>1/2)^-1

sin²θ = w^<>1/2(w^1/2+w^<>1/2)^-1

Hiervan is de interpretatie in het haakformalisme zeer duidelijk: in deze meest eenvoudige meting of waarneming zal de ervaren toestand in (n-m-p)/(n-m) gevallen zich als de ene soort toestand voordoen, en in p/(n-m) gevallen zich als de andere soort toestand voordoen. Immers de gewichten kunnen uitgedrukt worden in functie van de enige parameters van het model, namelijk n (de grootte van het universum), m (het aantal identieke bits in de waarnemingscontexten, het niveau in de tralie), p (het aantal niet-identieke bits in één van de waarnemingscontexten, en dus n-m-p het aantal niet-identieke bits in de andere waarnemingscontext):

cosθ = ±w^1/4(w^1/2+w^<>1/2)^-1/2 = ±(n-m-p)^1/2 n^-1/2(n-m)^-1/2 n^1/2 = ±(n-m-p)^1/2(n-m)^-1/2

sinθ = ±w^<>1/4(w^1/2+w^<>1/2)^-1/2 = ±p^1/2 n^-1/2(n-m)^-1/2 n^1/2 = ±p^1/2(n-m)^-1/2

tanθ = ±w^<>1/4w^-1/4=±p^1/2(n-m-p)^-1/2

In de uitdrukking tanθ komt (n-m)^-1/2 niet meer voor. Dus tanθ is een verhouding waarbij (n-m)^-1/2 geen rol meer speelt, en wanneer we (n-m)^-1/2 schrijven als de noemer 1/(n-m)^1/2, dan is duidelijk dat die noemer een getal kan zijn dat een eenheid uitdrukt die in de verhouding tanθ niet meer zichtbaar is, en dan dreigt “vergeten” te worden. Dit is een essentieel inzicht aangezien (n-m) een vrije keuze is. Dit getal wordt enkel bepaald door het aantal van de metingen die we uitgevoerd hebben in dezelfde meetopstelling. Dat is dus datgene dat zin geeft aan een frequentie van voorkomen, een frequentie van zekerheid (het aantal keren dat we “ja” zeggen of het aantal keren dat we “neen” zeggen).

We kunnen dat illustreren met een praktisch voorbeeld. Wat we nu ervaren is altijd ervaren met de grootste frequentie van zekerheid die voor ons mogelijk is, we ervaren altijd “iets”, dat we verder niet moeten of kunnen specificeren. We stoppen niet met ervaren. “Nu” is altijd “ja” en “ja” is altijd “iets anders dan neen”. Iets specifieks daarentegen is enkel in een bepaalde waarnemingscontext te ervaren (bijvoorbeeld: wanneer we iets willen zien dan moet er genoeg licht zijn en moeten we onze ogen kunnen gebruiken, of als we een vogel willen zien dan moeten we een vogel kunnen herkennen enz...) en dus de frequentie van zekerheid zal dus onvermijdelijk lager zijn. De frequentie van zekerheid is ook de kwantificering van een maximaal aantal stappen dat onderscheiden kan worden en is dus ook een kwantificering van een resolutie van waarnemen.

De hoek θ introduceert dus een beschrijving van gedrag, bovenop het herhaalbare, het circulaire, het modulaire als beschrijving van invariantie, de voorwaarde voor associativiteit en invers (wat we modelleren door de laatst toegevoegde onderscheiding). De tangens van de hoek θ geeft de verhouding van het aantal toestanden waarin de welgevormde haakuitdrukking zich kan bevinden in de ervaren situatie in twee soorten die ten opzichte van elkaar geïnterpreteerd moeten worden: “ja” ten opzichte van “neen” in een meetcontext waarin alleen van “ja” sprake is omdat die twee elementen van de meetcontext simultaan de meting-in-context zelf realiseren. Want het punt dat waargenomen is (en dus voor beide categorieën “ja” is), is het infimum van de meetcontexten M en M^<> en is de ervaren waarnemingscontext MM^<>. Het bevindt zich op een bepaalde diepte in de tralie die door n-m gegeven wordt. We merken nu op dat deze verhouding, en dus de hoek θ, niet zal veranderen als elke term vermenigvuldigd wordt (of de verhouding genomen wordt) met eenzelfde getal k, inderdaad: tanθ = ±w^<>1/4w^-1/4=±p^1/2(n-m-p)^-1/2=±(p.k^-1)^1/2((n-m-p).k^-1)^-1/2. Dit kunnen we als volgt interpreteren: de hoek is invariant vanuit gelijk welk standpunt, of in gelijk welk universum. We kunnen dit ook anders formuleren: wat we waarnemen zal iets zijn dat niet varieert in alle mogelijke universa, hoe groot het aantal onderscheidingen ook is waarmee we een universum moeten opspannen. Ongeacht het aantal onderscheidingen dat we kunnen gebruiken om het gedrag te beschrijven en ook ongeacht de verhouding die we waarnemen op een bepaald moment, wat we waarnemen is iets invariant en wordt enkel begrensd door het aantal stappen die we in de waarneming hebben kunnen nemen. Telkens als we waarnemen is de verhouding (de intensiteit, het gedrag) misschien anders, maar het is altijd te beschrijven als een hoek en alle hoeken zijn een fractie van 2π en zijn enkel gedefinieerd modulo 2π. Daar is niets absoluut aan, indien we meer stappen hadden kunnen nemen dan zouden we in de sporen die we verzameld hebben van de waarneming andere patronen kunnen onderscheiden, maar dat hebben we dus niet gedaan omdat we onvermijdelijk beperkt zijn.

Hieruit volgt dat

(n-m)^1/2cosθ = ±(n-m-p)^1/2

(n-m)^1/2sinθ = ±p^1/2

Dit kunnen we interpreteren als de relaties die bestaan tussen de polaire en cartesiaanse vorm van een complex getal. Immers: neem het complex getal z = x+iy dan is x te schrijven als rcosθ en y is te schrijven als rsinθ met r = (x²+y²)^1/2 en dus z = re^iθ. Dus hier is r = (n-m)^1/2 en het complex getal is (n-m)^1/2e^iθ.

Er geldt ook: nw^<>1/2= n-m-p en nw^1/2= p en dus nw^1/2+nw^<>1/2= n-m, zodanig dat deze som het vrij te kiezen referentiepunt is.

Dit is niet anders dan de stelling van Pythagoras zonder dat daarvoor geometrische intuïties nodig zijn: in een rechthoekige driehoek geldt dat a²+b²=c² en dus (a/c)²+(b/c)²=(c/c)². Tussen haken staan enkel verhoudingen (en dus schaalfactoren). Dus (a/c)²+(b/c)²=1 en dus is dit een benadering met rationale getallen van (sinθ)²+(cosθ)²=1.

Besluit

Doordat we altijd in een grootste universum waarnemen (het enige axioma), kan een waarneming of een meting beschreven worden door de intensiteit (een getal) van een vooraf gekozen welgevormde haakuitdrukking H (een eenheid) die in het ervaren zelf een waarde “ja” krijgt. H is wat we waarnemen, het is een meetcontext. H is als een logische relatie van onderscheidingen te beschrijven. De intensiteit van H is een bijkomende karakteristiek die de “ja” niet bepaalt of die de “ja” niet a priori beïnvloedt: wat de intensiteit ook zou blijken te zijn, “ja” blijft “ja”. Die bijkomende karakteristiek moeten we aanvaarden, kunnen we niet kiezen, moet vanzelf blijken te gebeuren, kan variëren, kunnen we anticiperen, kunnen we proberen te voorspellen enz…. Vooraf de karakteristiek beschrijven lukt niet (dat is trouwens een eigenschap van feedback), toch kunnen we die achteraf beschrijven omdat we kunnen veronderstellen dat die karakteristiek moet beschreven worden met behulp van minstens één onderscheiding bovenop de onderscheidingen die nodig zijn om H, die te kiezen is, op te spannen. We kunnen dus met die bijkomende onderscheiding (of meerdere onderscheidingen) minimaal twee mogelijke categorieën maken (die elkaar uitsluiten) waarin we het <<herhaaldelijk “ja” zeggen aan H>> kunnen onderbrengen. We hebben ze M en M^<> genoemd. Het zijn er twee omdat ze anders niet het karakter kunnen hebben dat ze door een bijkomende onderscheiding uit elkaar kunnen gehouden worden, er moet immers zo iets zijn als: “zorg dat je voortdurend H waarneemt, als je daarenboven ook “iets als W” waarneemt dan klasseer je dat in de categorie M, zo niet (dus als “iets als W” niet herkend is) klasseer je dat in de categorie M^<>”. H is dus een disjunctie. Zo bouwen we de meest primitieve tralie op met de meest eenvoudige hypothese (een “indien… dan…, zo niet...” constructie) en fijner dan <<>> en ruimer dan <> kunnen we zo verschillende disjuncties construeren.

We hebben de categorieën dus gecreëerd (een nominale meting uitgevoerd) en noemen ze meetmethode, meetcontext, waarnemingsmethode, waarnemingscontext waarin we herhaaldelijk “ja” kunnen vaststellen, en alleen maar “ja” voor H maar ofwel “ja” in de ene categorie (soort M), ofwel “ja” in de andere categorie (soort M^<>), soorten die de soort H realiseren (die altijd “ja” is omdat we dit zo gekozen hebben). Inderdaad: we moeten zo creatief zijn dat we soorten M en M^<> vinden zodanig dat we nooit een “ja” zullen vinden simultaan zowel in M, zowel in M^<> en zowel in H (en dit is wat we bedoelen als we zeggen dat de categorieën M en M^<> elkaar uitsluiten en we dus een betrouwbare meting uitvoeren). Slagen we daar niet in dan moeten we aanvaarden dat we geen verschil kunnen maken (of vinden of… ) tussen die verschillende ervaringen. Dat is belangrijk en moeten we niet proberen te verdoezelen: elke agens-in-context is op een bepaalde manier beperkt en dat is ook afhankelijk van de creativiteit die het agens kan opbrengen om een proces met andere ogen te kunnen zien (dat is het verhaal van het werpen van een dobbelsteen).

Het minimale wat we dus bereiken is dat we twee getallen krijgen als sporen van ervaren, en dat geldt voor elk ervaren. Hiermee kunnen we een product, een verhouding w^<>1/4w^-1/4 berekenen en met die verhouding kunnen we een hoek beschrijven: tanθ =±w^<>1/4w^-1/4=±p^1/2(n-m-p)^-1/2. Een hoek kunnen we altijd berekenen met behulp van twee getallen: p en n-m. Het getal p moet blijken, het getal n-m kunnen we kiezen omdat het het minimale onderscheidingen universum vastlegt waarin we H als “ja” waarderen. De verhouding tanθ is zeer klein voor een hoek die zeer dicht bij 0 ligt, de verhouding is zeer groot voor een hoek die zeer dicht bij π/2 ligt. Beide gevallen kwantificeren hetzelfde patroon want ze komen overeen met een situatie waarin de verwachting zeer groot is dat de waarneming van één soort is (en dat bedoelen we als we zeggen dat we zekerheid hebben: het spoor dat elk ervaren zal genereren is te voorspellen). De nul is het symbool voor het operationeel uitvoerbare “zeer klein en onwaarneembaar kleiner”. Oneindig is het symbool voor het operationeel uitvoerbare “zeer groot en onwaarneembaar groter”. Beide symbolen drukken een resolutie uit.

Operationeel is H ervaren, dat is zekerheid, we zeggen “ja” voor de waarneming, we nemen waar (hoe complex ook de voorbereiding zou moeten zijn die daartoe ondernomen moet worden) en we modelleren dit door een hoek 0 ofwel een hoek π/2 omdat dit onze resolutie uitdrukt. We kunnen datzelfde ook uitdrukken door te zeggen dat een mogelijke bijkomende onderscheiding irrelevant is voor de waarneming van H. Er is voor deze situatie geen verschil wanneer we de ervaren H als M waarnemen, er is evenmin verschil wanneer we de ervaren H als M^<> waarnemen. Kiezen we voor een infinitesimaal kleine hoek θ voor M dan moeten we voor een infinitesimaal kleine hoek (π/2 - θ) kiezen voor M^<>. De tangens is 1 voor een situatie waarin de verwachting even groot is dat de waarneming van de ene soort is als dat de waarneming van de andere soort is. Dat herkennen we dan als willekeur en willekeur hebben we nodig om onze meting betrouwbaar te noemen. Door te warren (“randomiseren”) kunnen we systematische fouten vermijden en we zullen daartoe de waarnemingscontexten M en M^<> (die beide H, die we gekozen hebben, simultaan realiseren) zo construeren dat we niet kunnen kiezen, noch voor M, noch voor M^<>, we kunnen ze achteraf wel herkennen maar ze kunnen enkel gebeuren. In het geval van willekeur is p=n-m-p en dit betekent dat n-m even moet zijn en dus dat de gemodelleerde H alle karakteristieken van een (klassieke, telbare) entiteit kan hebben, of we de waargenomen H nu waarnemen als M of M^<> doet er niet toe, de kans voor beide is gelijk. Het is de willekeur die ons het gereedschap geeft om een werkelijkheid op te bouwen die we met zekerheid kunnen anticiperen. Het is de willekeur die ons het gereedschap geeft om entiteiten te definiëren en de hoek (de fase) dan als π/4 te nemen. Om dat in te zien zouden we de ene soort toestanden kunnen afbeelden op een hoogbit en de andere soort toestanden op een laagbit en dan zouden we een tralie kunnen construeren met een punt met evenveel hoogbits als laagbits op centraal niveau, punt dat dus de functie van onderscheiding kan opnemen. Een fase verschillend van π/4 treedt dan op voor een entiteit die niet meer klassiek telbaar is en dus een gedrag kan modelleren.

Telkens als we waarnemen nemen we een hoek waar als spoor van dat ervaren. “Dat ervaren” is dat wat invariant blijft, dat wat herhaaldelijk ervaarbaar is. Dat is altijd als een rotatie te beschrijven (herhaaldelijk wordt hetzelfde waargenomen), mogelijks een superpositie van rotaties als het gedrag van (de onderscheidbare evolutie van) meerdere onderscheidingen afhankelijk is.

Noteer dat we ook meerdere categorieën kunnen veronderstellen (ons a priori voorstellen, creëren) maar er zal ook altijd een rest categorie zijn waarin we de meting onderbrengen van “iets anders dan wat we ons a priori konden voorstellen” en dat is dan de onvermijdelijke uitdrukking van onze beperkingen. Dit inzicht maakt het mogelijk om te gaan spreken van kwantumatomen (niet te kiezen gedrag) en hoe precies ze zich van klassieke atomen (te kiezen aspecten) onderscheiden.