Om de waarschijnlijkheid in een tralie van de werkelijkheid een plaats te geven hebben we een model gebouwd. Datzelfde model gaan we nu gebruiken om nog andere getallen af te leiden die iets kwantificeren uit de werkelijkheid. Hiertoe combineren we het model van elkaar uitsluitende punten in een tralie met het operator model van het haakformalisme.

Een reëel getal dat we vanuit het operator model kunnen berekenen is het inwendig product. Het inwendig product van punten geeft twee maal het verschil tussen het aantal gelijke bits en het aantal verschillende bits. Het inwendig product maakt het mogelijk een getal te definiëren dat daarvan afgeleid is, namelijk 2((inwendig product)/2)².

Dat getal zullen we nu in twee tralies berekenen: in de potentiële tralie (het getal noemen we g (van gewicht)) met het model van elkaar uitsluitende punten die geen atomen zijn, en in een deels gecollapste tralie (het getal noemen we w (van weight)), en van elk getal zullen we twee versies hebben: een in de ene meetcontext en een in de orthogonale meetcontext (g en g^<> in de potentiële situatie en w en w^<> in de gecollapste situatie). We krijgen de volgende resultaten:

Bij M^<> of (m1)(p1)000...

Aantal bits gelijk met het gemeenschappelijk punt: m+(n-m-p)

Aantal bits verschillend: n-(m+(n-m-p))=p

Aantal gelijk min aantal verschillend: m+n-m-p-n+m+n-m-p=n-2p

Dus: g^<> =2(n-2p)²

Bij M of (m1)(p0)111...

Aantal bits gelijk met het gemeenschappelijk punt: m+p

Aantal bits verschillend: n-(m+p)

Aantal gelijk min aantal verschillend: m+p-n+m+p=2m+2p-n

Dus: g=2(2m+2p-n)²

Dezelfde berekeningen kunnen we nu ook uitvoeren in de ervaren situatie.

Dus: w^<> =2p^<>2=2(n-m-p)²

Dus: w=2p²

De onderstaande tabel geeft een overzicht met de gewichten van beide infima, zowel in de potentiële situatie als in de ervaren situatie. We geven ook een numeriek voorbeeld voor alle duidelijkheid, waarbij we bewust geen macht van 2 als het totaal aantal bits nemen.

Merk op dat n geen macht van twee moet zijn. De berekeningen worden niet beïnvloed doordat n al-dan-niet gelijk is aan 2EXP2^q met q het aantal onderscheidingen. In de berekening van getallen die meetbare eigenschappen van entiteiten modelleren heeft de volgorde van de bits evenmin belang.

We gaan nu de gewichten in de ervaren situatie nauwkeuriger onderzoeken. Ze zijn met de volgende vergelijkingen gerelateerd tot de parameters p en n-m van het model:

w^<> =2p^<>2=2(n-m-p)²

w=2p²

We verrekenen nu de normalisatiecoëfficiënten die bij de grondvormen moeten toegepast worden bij de opbouw van een gewicht. Uit de algemene eis dat de operatoren orthogonaal moeten zijn (en dus projectoren) volgt dat de operatorcoëfficiënt n^-1 moet zijn. De vectorcoëfficiënt moet dan 2^-1/2.n^-1/2 zijn en de coëfficiënt van de projectie van een vector op een operator is dan 2^-1/2.n^-3/2. De volgende vermenigvuldiging met een vector geeft dan 2^-1/2.n^-3/2. 2^-1/2.n^-1/2, wat de coëfficiënt voor de gewichten geeft: 2^-1.n^-2

De gewichten in de ervaren situatie worden dus

w^<>= n^-2(n-m-p)²

w= n^-2p²

Hieruit kunnen we afleiden:

nw^<>1/2= n-m-p

nw^1/2= p

en dus

nw^1/2+nw^<>1/2= n-m

n^-1(w^1/2+w^<>1/2)^-1=(n-m)^-1

Het totaal aantal van de metingen is n-m

Het ene punt wordt gerealiseerd door de fractie (n-m-p)(n-m)^-1

Het andere punt wordt gerealiseerd door de fractie (p)(n-m)^-1

We drukken dit nu uit in functie van de gewichten:

Het ene punt wordt gerealiseerd door de fractie (nw^1/2)n^-1(w^1/2+w^<>1/2) ^-1=w^1/2(w^1/2+w^<>1/2)^-1

Het andere punt wordt gerealiseerd door de fractie (nw^<>1/2) n^-1(w^1/2+w^<>1/2)^-1=w^<>1/2(w^1/2+w^<>1/2)^-1

We merken dat de vierkantswortels uit de gewichten in de ervaren situatie (en enkel in de ervaren situatie, dus bij de meting zelf) zich juist als deze fracties gedragen.

Dit is wat men ook vaststelt bij de kwantum waarschijnlijkheden. De waarden w^1/2(w^1/2+w^<>1/2)^-1 en w^<>1/2(w^1/2+w^<>1/2)^-1 zijn de eigenwaarden van de meting. De eigenvectoren zijn dan (m1)(p1)0000... en (m1)(p0)1111... en geven de status waarin de meting zich bevindt als de meting beëindigd wordt. Hiermee worden dan in het haakformalisme de veronderstellingen geëxpliciteerd die kunnen leiden tot de vertaling van de rekenmethodes in de kwantummechanica naar rekenmethodes en inzichten van het haakformalisme.

Dit verklaart ook de aanwezigheid van complexe getallen in de kwantummechanica. Veronderstel daartoe dat elke bit een complex getal is met de vorm w^1/4±w^<>1/4i of w^<>1/4±w^1/4i. Deze som kunnen we interpreteren als het totaal aantal toestanden van twee verschillende soorten (“reële toestanden” en “imaginaire toestanden”), het maximum dus waarmee we een waarschijnlijkheid kunnen berekenen. De waarschijnlijkheid van het reëel deel is dan w^1/4/(w^1/4±w^<>1/4 i) of w^<>1/4/(w^<>1/4±w^1/4i). Een gelijkaardige vorm vinden we voor het imaginaire deel. We hebben hiervoor het invers van het complex getal w^1/4±w^<>1/4i of w^<>1/4±w^1/4i nodig. Dit is niet anders dan 1/(w^1/4±w^<>1/4 i) of 1/(w^<>1/4±w^1/4i). Dit is niet anders dan (w^1/4∓w^<>1/4 i)/(w^1/4±w^<>1/4 i)(w^1/4∓w^<>1/4 i) of (w^<>1/4∓w^1/4 i)/(w^<>±w^1/4 i)(w^<>1/4∓w^1/4 i). Dit is niet anders dan (w^1/4∓w^<>1/4 i)/(w^2/4+w^<>2/4 ) of (w^<>1/4∓w^1/4 i)/(w^<>2/4+w^2/4). Het reëel (of imaginair) gedeelte van dat getal is w^1/4(w^1/2+w^<>1/2)^-1 of w^<>1/4(w^1/2+w^<>1/2)^-1. Dit betekent dat de waarschijnlijkheid van het reëel (of imaginair) gedeelte gelijk is aan het product w^1/4 w^1/4(w^1/2+w^<>1/2)^-1 of w^<>1/4 w^<>1/4(w^1/2+w^<>1/2)^-1. Dat is niet anders dan w^1/2(w^1/2+w^<>1/2)^-1 of w^<>1/2(w^1/2+w^<>1/2)^-1. Dat zijn de fracties die we hoger afgeleid hebben uit de inzichten en berekeningen van het haakformalisme. Dit maakt ook duidelijk hoe we de bits als complex getal kunnen normaliseren tot een eenheid: kies (w^1/2+w^<>1/2) gelijk aan 1. We hebben al gezien dat (w^1/2+w^<>1/2) een reëel getal is niet verschillend van (w^1/4±w^<>1/4i)(w^1/4∓w^<>1/4i) of (w^<>1/4±w^1/4i)(w^<>1/4∓w^1/4i). Onder de voorwaarde (w^1/2+w^<>1/2)=1 is het invers 1/(w^1/2+w^<>1/2)=1.

Als bijkomend resultaat geeft dit een verklaring voor de Born regel vanuit het ene axioma van het haakformalisme. De Born regel (de waarschijnlijkheid interpretatie van Born) is een getal dat de waarschijnlijkheid geeft dat een bepaalde meetwaarde optreedt bij een meting in de kwantummechanica, waarde die ook als eigenwaarde of “een gewicht” gekend is en die we hier construeerden als de waarde w. We noteren dat er veel pogingen geweest zijn om de Born regel af te leiden uit andere aannames van de kwantummechanica, met onbeslechte resultaten. De afleiding vanuit het haakformalisme is daarentegen zeer helder en breidt het getal w ook uit naar het genererende getal g.