We hebben het isomorfisme aangetoond van modulo 3 haakvectoren in bitstring formaat met bitstrings met complexe getalcomponenten ±1±i. Deze bitstrings kunnen nu op een nieuwe manier met elkaar interageren, interactie die we op een fundamentele manier onderzocht hebben met behulp van de operatoren ε, υ, ν, νυ.

We zullen nu twee nieuwe operatoren construeren die we kunnen inzetten om de structuur van een tralie op een nieuwe manier te karakteriseren. De constructie gebeurt weer met behulp van een product. We onderscheiden twee producten: het inwendig product en het uitwendig product.

Het inwendig product

Het inwendig product wordt geconstrueerd door de geconjugeerde transpose van een kolomvector met behulp van een gewone matrix vermenigvuldiging te vermenigvuldigen met een tweede kolomvector. Conjugatie wordt hier gebruikt in zijn interpretatie als operatie op een complexe getalcomponent van een bitstring. Conjugatie is een inwendige involutie. De matrix vermenigvuldiging is goed gedefinieerd aangezien de bewerking bestaat uit een vectorproduct en een vectorsom die beide goed gedefinieerd zijn.

Voorbeelden:

• De vector <<>> wordt in het 1-splitsing universum als afbeelding van zijn bitstring voorstelling in het een onderscheiding universum voorgesteld door (+1+i +1+i)^T, dus het inwendig product met zichzelf is . Het is hierdoor duidelijk dat ook het inwendig product van de vector <> met zichzelf in het 1-splitsing universum als afbeelding van zijn bitstring voorstelling in het een onderscheiding universum gelijk aan +4.

• De vector a wordt in het 1-splitsing universum als afbeelding van zijn bitstring voorstelling in het een onderscheiding universum voorgesteld door (-1-i +1+i)^T, dus het inwendig product met <<>> is

Merk op dat we in deze voorstelling van het haakformalisme effectief getallen manipuleren en dat door deze constructie duidelijk is dat een getal hier als operator gedefinieerd wordt. Deze definitie resulteert enkel in reële getallen als operatoren. Het is met deze reële getallen dat we eigenschappen van onderscheidingen tralies zullen kunnen modelleren.

Het uitwendig product

Het uitwendig product wordt geconstrueerd door een kolomvector met een Kronecker vermenigvuldiging te vermenigvuldigen met de geconjugeerde transpose van een tweede kolomvector.

Voorbeelden:

• De vector <<>> wordt in het 1-splitsing universum als afbeelding van zijn bitstring voorstelling in het een onderscheiding universum voorgesteld door (+1+i +1+i)^T, dus het uitwendig product met zichzelf is . Met het uitwendig product ontstaan dus vanuit de vectoren met n elementen n x n matrices of operatoren. De n-de rij van de matrix wordt gevormd door de n-de component van de vector te vermenigvuldigen met elke component van de geconjugeerde transpose vector. De elementen van de operator kunnen per constructie enkel reële getallen zijn.

• De vector <> wordt in het 1-splitsing universum als afbeelding van zijn bitstring voorstelling in het een onderscheiding universum voorgesteld door (-1-i -1-i)^T, dus het uitwendig product met zichzelf is en dit is exact dezelfde operator.

• De vector a wordt in het 1-splitsing universum als afbeelding van zijn bitstring voorstelling in het een onderscheiding universum voorgesteld door (-1-i +1+i)^T, dus het uitwendig product met zichzelf is

• De vector <a> wordt in het 1-splitsing universum als afbeelding van zijn bitstring voorstelling in het een onderscheiding universum voorgesteld door (+1+i -1-i)^T, dus het uitwendig product met zichzelf isen dit is exact dezelfde operator.

• Het uitwendig product in het 1-splitsing universum als afbeeldingen van bitstrings in het een onderscheiding universum van a met <<>> is en van <<>> met a is

Besluit en overzicht van de mogelijkheden met de nieuwe operaties

In het isomorfisme dat we geconstrueerd hebben van het haakformalisme met complexe getallen als componenten van de bitstring hebben we twee nieuwe operaties gedefinieerd: het inwendig product en het uitwendig product. Beide leiden ze tot een resultaat dat onafhankelijk is van de uitwendige involutie (die de operatie van inbedding van een totale haakvector is). Dit opent een belangrijk aantal nieuwe mogelijkheden die we zeer goed kunnen gebruiken om de relatie van relevantie verder te onderzoeken.

• Deze afbeelding maakt het mogelijk om in één formele voorstelling, de nieuw geconstrueerde operator voorstelling, een potentieel punt voor te stellen onafhankelijk van zijn inbedding. We zullen onderzoeken wat dit betekent wanneer we het ervaren van een punt als het gebeuren van de inbedding van het punt willen modelleren. Het is juist de unificatie van die beide voorstellingen van een potentieel punt die ook gerealiseerd wordt door de relatie van relevantie. Dit betekent dat het gebruik van deze soort matrix operatoren de formele voorstelling sterk vereenvoudigt maar ook beperkt. Maar dit betekent ook dat deze nieuwe operatie de mogelijkheid geeft om bestaande toepassingen van matrix operatoren met reële componenten in het haakformalisme te modelleren.

• Het inwendig product genereert getallen die verschillend zijn van +1 of -1. Dit geeft de mogelijkheid om een verdere vereenvoudiging door te voeren door normalisatie: we kunnen deze isomorfe afbeelding van het haakformalisme normaliseren, waarbij het verschil tussen universa opgespannen door een even aantal en een oneven aantal onderscheidingen verdwijnt. Met andere woorden: dit soort isomorfisme geeft ons de mogelijkheid om berekeningen uit te voeren op waarnemingen zonder dat we weten of het relevante universum nu door een even aantal of oneven aantal onderscheidingen opgespannen wordt en dit is dus een belangrijk instrument om ook die a priori te verlaten. De normalisatie herkennen we ook bij de toepassingen van waarschijnlijkheden.

• Aangezien er bij de nieuwe operaties bewerkingen met de echte getallen 1 en i uitgevoerd worden, moet er van universum tot universum een andere normalisatiefactor toegepast worden om de structuurinformatie (te wijten aan de operatoren) te kunnen scheiden van de informatie die te wijten is aan de telbaarheid van entiteiten. Dit zijn dan normalisatiefactoren met breuken in de exponent zodanig dat de overeenkomst met de modulo3 werkwijze omzeild wordt en ook het verschil even/oneven universum verdwijnt. Inderdaad tonen we aan dat in het algemeen de coëfficiënt waarmee een vector in het operatorformalisme genormeerd wordt 2^-(n+1)/2 is, met n het aantal onderscheidingen. Met een voorbeeld: is het aantal onderscheidingen 2 in de voorstelling van a, dan moet de coëfficiënt 2^-3/2 zijn om voor <> en <<>> altijd een matrix te vinden waarvan het spoor gelijk is aan 1. Merk op dat de exponent van 2 een breukvorm heeft (die dus niet in modulo3 uitgedrukt kan worden). Om de invloed daarvan te begrijpen moeten we de normalisatie in het nieuw operator formalisme begrijpen en aantonen hoe dit exact overeenkomt met een modulo3 benadering.

• De nieuwe uitwendig product operatoren worden geconstrueerd met behulp van het Kronecker product van de vector en zijn toegevoegde, waarbij het getal i met zijn normale karakteristiek van (-1)^1/2 in de vector (en alleen maar in de vector en niet in operatoren) functioneert. Met het Kronecker product van de operatoren van een universum bereikt men ook enkel (!) de helft van de operatoren van een hoger universum, namelijk de operatoren die overeenkomen met het centraal niveau (en de extrema) in dat hoger universum.