Overzicht

Met een eenvoudig voorbeeld: het gooien van een dobbelsteen met de bedoeling vast te stellen met welke zijde hij bovenaan blijft liggen laten we zien waartoe het haakformalisme in staat is: op basis van alleen maar ervaringen kan een “onderscheidingen universum” (een mogelijke werkelijkheid) opgebouwd worden dat effectief te gebruiken is om ervaringen te verfijnen. Dit kan vanuit elke start-veronderstelling gebeuren en stelt dus geen andere eisen dan het ervaren zelf. We laten zien dat creativiteit nodig is om in een stabiel veronderstelde testomgeving iets onverwachts te kunnen plaatsen: we zullen door de toepassing van deze creatieve vondst in staat zijn de stabiliteit te herstellen. Die nieuw gecreëerde onderscheiding die de herhaalbaarheid van de testomgeving kan herstellen is in het voorbeeld “een vlakke ondergrond” versus “iets anders dan een vlakke ondergrond”. We tonen dat andere aspecten van de testomgeving hierdoor irrelevant worden. Hiermee tonen we een typische vrucht van creativiteit: het is altijd mogelijk om de werkelijkheid op een nieuwe manier te benaderen om zo paradoxen op te lossen. Vervolgens zullen we de testomgeving stabiel houden, maar nieuwe onderscheidingen toevoegen aan de entiteit “dobbelsteen”. We onderzoeken relevantie en potentialiteit. We onderzoeken gelijkenis en verschil van (1) de creatie van nieuwe onderscheidingen bij de entiteit zelf met (2) de creatie van een nieuwe testomgeving voor de entiteit. Daartoe zullen we de onderscheidingen die relevant zijn voor de entiteit door een kansproces te laten bepalen. Ook dan komen we tot het besluit dat paradoxale situaties kunnen ontstaan wanneer men om een of andere reden beperkingen oplegt aan het creëren van nieuwe unieke symbolen om er unieke situaties mee aan te duiden.

Inleiding

Ontwerpers ontwerpen zowel nieuwe entiteiten (bijvoorbeeld een nieuw product, ...) als nieuwe manieren om de werkelijkheid te bevragen (bijvoorbeeld een nieuwe testprocedure...) of nieuwe manieren om eigenschappen aan entiteiten te verlenen (bijvoorbeeld een nieuw productieproces...). Ze hanteren hierbij een methodiek waarbij ze itererend eerst divergeren (uitbreiden met nieuwe, mogelijk relevante aspecten) om vervolgens opnieuw te convergeren (selecteren van een beperkt aantal nieuwe relevante aspecten). Na een aantal iteraties is enkel nog vooruitgang te boeken door te materialiseren en zo bereiken ontwerpers nieuwe ervaarbare producten, diensten, processen enz... die aan anderen kunnen gecommuniceerd worden en die door hen autonoom kunnen ervaren worden.

Ontwerpers zijn creatieve mensen. Ze kunnen op zoek gaan naar wat “iets anders dan...” in een bepaalde context zou kunnen betekenen. Ze gaan daarom gericht (orde) op een willekeurige manier (wanorde) de context veranderen. Typisch hierbij is dat ook ontwerpers datgene wat nieuw is pas zelf leren begrijpen wanneer ze tijdens het ontwerpproces veel ervaarbare prototypes maken die in werkelijkheid kunnen gebeuren op een relevante schaal waarbij ze zo nieuwe resultaten als eerste kunnen valideren voor hen en voor de betrokken stakeholders.

Deze ontwerpmethodiek wordt tegenwoordig algemeen aanvaard en men vindt in de literatuur een overvloed aan detailleringen en interpretaties in verschillende sectoren en ontwerpdomeinen. In tegenstelling met de rijkdom aan beschrijvende literatuur is er helemaal niets te vinden die de grondslagen van deze methodiek onderzoekt. Men heeft wel nieuwe namen verzonnen (hypothese, vermoeden, abductie, analogie, gelijksoortigheid, ...) om het creatieve kunnen van de mens in de wetenschappelijke methode een plaats te geven, en men benadrukt dat empirisch onderzoek op elke creatieve act moet volgen, maar er is helemaal niet onderzocht waarom, hoe en in welke contexten dit “creatieve kunnen” zo succesvol is. Men heeft helemaal niet gezocht hoe creativiteit een essentieel aspect kan zijn van onze werkelijkheid.

In dit document funderen we de generieke ontwerpmethodiek op een transparante manier. We gebruiken daartoe een zeer herkenbaar voorbeeld. We laten de invloed van creativiteit duidelijk zien, we laten de grote rol van testen duidelijk zien. We laten hierbij geen enkele wetenschappelijke 'a priori' toe, we vallen dus niet terug op ongegronde begrippen. De essentie van de fundering is de manier waarop 'het ervaren zelf' formeel voorgesteld wordt.

De hoofdtekst is in hetzelfde korps gesteld als deze inleiding, de bewijzen zijn in een kleiner korps gezet. De hoofdlijn van het betoog is dus gemakkelijk te volgen zonder afgeleid te worden door de technische bewijzen. De hoofdlijn van het betoog introduceert enkel de essentiële begrippen uit “het haakformalisme”. De technische bewijzen zijn toepassingen van “het haakformalisme”. Het haakformalisme is een uiterst gedetailleerde benadering van de structuur van de werkelijkheid met behulp van een hele reeks coherente en in elkaar vertaalbare formalismen (een ontwerper weet dat de rijkdom van een ontwerp nooit door slechts één model kan weergegeven worden).

Een versie in de standaard taal van het testen van een verwacht gedrag met een dobbelsteen

Stel: ik maak een heleboel ervaringen mee met het gooien van een dobbelsteen. Het resultaat dat ik verwacht is dat ik, ongeacht hoe en waar ik gooi, de dobbelsteen terugvind met een aantal ogen bovenaan. Ik zou dat heel lang kunnen blijven doen zonder me daar vragen bij te stellen, maar ik wil als wetenschapper onderzoeken of en waardoor de zekerheid om het verwachte eindresultaat te bereiken zou kunnen beïnvloed worden. Om dat te bereiken ga ik een hypothese formuleren.

Hypothese 1: ik vind de dobbelsteen altijd terug met een aantal ogen bovenaan

Ik gooi een dobbelsteen en vind hem met een aantal ogen bovenaan terug op tafel.

Ik gooi een dobbelsteen en vind hem met een aantal ogen bovenaan terug op het tafellaken dat op de tafel ligt.

Ik gooi een dobbelsteen en vind hem met een aantal ogen bovenaan terug op een stapel boeken die op de grond liggen.

Ik gooi een dobbelsteen en vind hem met een aantal ogen bovenaan terug op de vloer van mijn kamer.

Ik gooi een dobbelsteen en vind hem met een aantal ogen bovenaan terug op ... enz...

Ik gooi een dobbelsteen en vind hem terug in het gras maar ik ben onzeker over het aantal ogen dat bovenaan ligt: de dobbelsteen wordt door grassprietjes op een van zijn ribben gehouden.

AHA! Er is iets mis met mijn hypothese, in vind blijkbaar niet altijd met zekerheid de dobbelsteen terug met een aantal ogen bovenaan.

Hypothese 2: er is maar één omgeving die het onmogelijk maakt dat de dobbelsteen een aantal ogen bovenaan geeft

Om mijn hypothese te ontkrachten ga ik nu expliciet op zoek naar omgevingen die het mogelijk maken dat een dobbelsteen op een van zijn ribben stabiel ligt, en dus niet een aantal ogen bovenaan vertoont. Ik doe dus weer een hele reeks testen waarbij ik expliciet op zoek ga naar omgevingen die anders zijn dan de reeds gekozene, en stel vast dat de onzekerheid over het aantal ogen dat bovenaan ligt zich ook voordoet in een kuiltje in het zand.

Het is nu duidelijk dat “het iets” waarop de dobbelsteen belandt niet “gelijk wat” kan zijn, en dat gras ook niet de enige omgeving is die ervoor zorgt dat het verwachte resultaat niet optreedt.

Conclusie van beide hypothesen: de test moet beter gespecificeerd worden wil ik de dobbelsteen met zekerheid terugvinden met een aantal ogen bovenaan

De test waarin het verwachte resultaat is dat de dobbelsteen met een aantal ogen bovenaan gevonden wordt, moet dus uitgevoerd worden door nog meer specificaties in acht te nemen. Wat moet dat worden? Na een tijdje creatief zoeken stel ik vast dat een tafel, de vloer van mijn kamer, ... impliciet een vlakke ondergrond realiseren. Met impliciet bedoel ik hier dat ik het aspect “vlakke ondergrond” moest creëren, het is voor mij nieuw, het is de eerste maal dat ik het moet gebruiken als een specificatie voor een test. Ik kan wel achteraf veronderstellen dat die specificatie “impliciet” wel altijd aanwezig was en dat ik me er niet van bewust was, maar dit is achteraf slechts te veronderstellen, dus nadat die nieuw gecreëerde onderscheiding beschikbaar werd in het repertorium van onderscheidingen. Dit is perfect te vergelijken met de creatie van een nieuwe vinding die pas achteraf door iedereen als evident bevonden wordt, en dus waardevol wordt.

Ik kom dus tot het besluit dat ik wel de keuzevrijheid heb tussen de tafel en iets anders dan de tafel als een omgeving waarin ik de dobbelsteen gooi, maar niet tussen een vlakke ondergrond en iets anders dan een vlakke ondergrond: het moet immers een vlakke ondergrond zijn wil ik met zekerheid een aantal ogen bovenaan vinden.

Op basis hiervan zal ik de specificaties die ik aanhoud om de test een “relevante”, “goed voorbereide”, “betrouwbare”, ... test te noemen met een extra specificatie uitbreiden: het gooien moet gebeuren op een vlakke ondergrond.

Een versie in de standaard taal van het testen van een onverwacht gedrag met een dobbelsteen

Met wat we tot nu toe begrepen hebben voeren we nu samen een nieuw experiment uit: ik gooi een dobbelsteen op een vlakke tafel, de dobbelsteen valt stil en ik zeg ja of neen. Jij noteert wat je ziet en probeert te achterhalen wat mijn ja en neen betekent. We veronderstellen dat de volgende sequentie zich voordoet:

Van meet af aan vorm je eigenlijk een hypothese van wat je verwacht.

Je eerste hypothese “ja voor een oneven getal” wordt gefalsificeerd door stap 5. Je bedenkt dat de regel zou kunnen zijn: op een aantal stappen gelijk aan een viertal wordt het criterium voor “ja” naar “neen” veranderd. Dat schijnt bevestigd te worden door stap 6. Maar wat dan bij 7 enz...

En zo gaan we een tijdje door.

Op de duur ga je de reeks in zijn globaliteit beschouwen en merk je dat “ja” en “neen” evenveel voorkomen, maar ook dat het aantal ogen evenveel voorkomt. Een echt verband zie je niet dus kom je tot de harde, onweerlegbaar statistisch te onderbouwen conclusie dat mijn antwoord op de uitkomst louter arbitrair is, en je haakt af voor zo'n flauwe mop.

Maar toch: indien je een foto had genomen van elke worp zou je kunnen merken dat andere aspecten aanleiding gaven tot mijn “ja” of “neen”, bijvoorbeeld de positie van de dobbelsteen op de tafel (of hij een bepaalde lijn overschreden heeft of niet), of de hoek van de dobbelsteen met de tafelrand (waarbij ik “ja” zeg als de hoek van een gekozen ribbe met de tafelrand minder is dan 45°, en anders zeg ik “neen”). Indien je een geluidsopname had gemaakt dan zou je kunnen vaststellen dat “ja” en “neen” op twee elkaar uitsluitende categorieën van geluid af te beelden zijn. Indien je een video had genomen zou je misschien kunnen vaststellen dat ik “ja” zeg als ik hard gooi, en “neen” als ik zacht gooi, of dat er een verband is met de tijd dat het duurt eer de dobbelsteen stilligt enz... en zo kunnen we nog een tijdje doorgaan door telkens weer andere aspecten te creëren en waarneembaar te maken. Hoe moet die tabel waarin je je waarnemingen noteert er dan uitzien? Ergens moet je toch stoppen om aspecten op voorhand te voorzien. Aspecten moet je eerst creëren in jouw verwachtingen en pas dan kan je ze objectief gaan vaststellen. Sommige aspecten zijn helaas slechts achteraf te construeren als je er maar de juiste sporen voor kunt terugvinden. Er gebeurt immers OOK altijd wat anders dan wat we verwachten en waarvoor we zelf zouden kiezen (om dat dan te ervaren). Wat willekeurig is onder standpunt 1 is wellicht niet willekeurig onder standpunt 2. Willekeur is misschien enkel willekeur omdat we niet creatief genoeg waarnemen of niet creatief genoeg omgaan met sporen die enkel in het gebeuren zelf kunnen ontstaan.

De werkelijkheid van dit experiment blijkt aspecten te hebben die ofwel “op voorhand” en ook “achteraf” relevant zijn, maar ook aspecten die enkel “achteraf” relevant bevonden kunnen worden omdat ze niet “op voorhand” KUNNEN gekozen worden en slechts achteraf uit achtergelaten sporen kunnen geconstrueerd worden. Ook dit moeten we als ontwerpers kunnen modelleren.

Het formaliseren van de versies in de standaard taal

Een formele definitie van “ervaren”

Ervaren is een activiteit uitvoeren met een welgekozen focus, wat die ook moge zijn, terwijl er dan simultaan ook iets anders dan die focus gebeurt. In deze uitspraak zijn er twee aspecten te herkennen die eigenlijk hetzelfde weergeven, ze zijn niet te onderscheiden van elkaar in het ervaren zelf. Die aspecten zijn: “de focus wordt ervaren” versus “iets anders dan de focus gebeurt”. Indien die twee aspecten niet aanwezig zijn dan hebben we misschien wel een focus “in gedachten gehad”, zijn we misschien met mogelijkheden geconfronteerd, maar dan hebben we er niets mee uitgevoerd. Die twee simultane aspecten zijn dus fundamenteel.

Dit kan gemakkelijk geïllustreerd worden met het voorbeeld van het werpen van een dobbelsteen. Stel dat je een dobbelsteen in gedachten (in je fantasie) gooit. De beslissing om dit uit te voeren is perfect voorstelbaar en je kan je dus voorstellen dat de dobbelsteen tot rust komt op een vlakke ondergrond met een aantal ogen bovenaan. Maar dat is niet wat in werkelijkheid zou gebeurd zijn. Aangezien je dat in gedachten uitgevoerd hebt moet je immers een bijkomende beslissing nemen die in werkelijkheid niet kan genomen worden: je moet in gedachten beslissen om een welbepaald aantal ogen bovenaan waar te nemen. Het aantal ogen dat je gegooid hebt kan je dus niet meer verrassen zoals wel het geval is bij het gooien van de dobbelsteen in werkelijkheid. En dat juist is het verschil tussen het model van een actie en de actie zelf. De actie zelf heeft altijd een dubbel aspect: er gebeurt ook iets anders dat je niet kon kiezen. Ageren is juist dit laten gebeuren. Ageren is de volledige controle over wat er gebeurt opgeven.

In het haakformalisme wordt dit perfect gemodelleerd door de twee simultane aspecten ook formeel weer te geven.

Dit geldt voor alle focussen, inderdaad: door het patroononderzoek van welgevormde haakuitdrukkingen is duidelijk dat de symbolen aan beide zijden van een dubbele pijl kunnen ingebed worden zonder de uitdrukking te beïnvloeden, dus a↔b kan niet onderscheiden worden van <a>↔<b>.

Bewijs: beide relaties worden in het haakformalisme door de welgevormde uitdrukking <<a<b>><<a>b>> weergegeven

Er is werkelijk geen verschil tussen het ervaren van a (a↔<>) en het laten gebeuren van <a> (<a>↔<<>>): in werkelijkheid moet blijken wat er gebeurt als we zeggen dat we a ervaren. De hele werkelijkheid is hierbij betrokken, telkens weer, wat ook de gekozen focus zou zijn.

Dus: met het haakformalisme is het mogelijk om het ervaren zelf te modelleren zonder a priori, want zelfs de focus kan gelijk wat zijn. Dit komt door de speciale status van een haak in een haak (status die door het enige axioma uitgedrukt wordt): <<>> bevat zichzelf onder de vorm <<<<>>>> en ook <> bevat zichzelf onder de vorm <<<>>> omdat <<>> niet moet genoteerd worden, en <> nooit kan weggelaten worden.

Het speciaal statuut van <> in het formalisme is dat het er altijd is (formeel is dat het axioma: we kunnen <> nooit schrappen). Er is altijd iets dat ik ervaar en dit stel ik voor als <>. Wil ik dat een naam geven, en wil ik dus voor jou een voorbeeld maken (bijvoorbeeld a, bijvoorbeeld dat ik nu deze zin schrijf, dat ik je nu een dobbelsteen toon, enz...) dan wordt dat voor mij gegrond doordat ik dat voorbeeld in een welbepaald ervaren zelf kan identificeren met de basislijn van mijn ervaren, namelijk <>. Enkel op dat moment kan ik het verschil niet maken tussen a en <>. Ik kan dan alleen maar hopen dat dit ook voor jou zo is. Mijn basislijn, daar kan ik van zeggen dat ik er per definitie altijd voor kies zodanig dat ik daar geen keuzevrijheid voor heb en ik hoop dat dit voor jou ook zo is, dat je ook een basislijn hebt waarvoor je eigenlijk niet kan kiezen omdat de keuzemogelijkheid zich nooit voordoet.

Het herhaalbare deel van al mijn testen ervaren

“Ik gooi een dobbelsteen en vind hem met een aantal ogen bovenaan terug” stel ik voor als a. a is dus deel van al mijn testen. Het is het deel van de beschrijving in de standaard taal dat herhaald terugkomt in alle testen. Een grote hoeveelheid informatie (een grote hoeveelheid aspecten) die inherent in deze ervaring vervat zit (onder andere: dat ik een dobbelsteen moet kunnen herkennen en hanteren, dat een dobbelsteen een zekere permanentie heeft, dat ik altijd op iets moet gooien wil ik de dobbelsteen terugvinden, dat er een gravitatieveld moet zijn, ... op zijn grofst gezegd: dat ik wel iets moet ervaren), maar informatie die nu niet relevant is, stel ik voor als <>. Dit betekent: indien ik a ervaar dan ervaar ik ook al die aspecten, hoe ingewikkeld ze ook zouden moeten beschreven worden. Een a die niet hoeft ervaren te zijn stel ik voor als a. Dat ik a ervaar stel ik voor als a↔<>. Dit betekent concreet dat ik, overal waar a optreedt in een formeel welgevormde uitdrukking, a vervang door <>. a heeft dan de ervaringswaarde <>, a en <> kunnen niet onderscheiden worden, bij het vervangen van a door <> is a niet meer te herkennen.

Een welgevormde uitdrukking is een uitdrukking die voor elke linker-deelhaak “<” een corresponderende rechter-deelhaak “>” heeft. a is welgevormd omdat a als <<a>> kan geschreven worden. <> is welgevormd. <<><<>>> is welgevormd. <<a><b>c> is welgevormd. <<a><b>c is niet welgevormd. Een uitdrukking met variabelen is welgevormd omdat elke variabele door <> (ofwel door <<>>) kan vervangen worden en er nog steeds een nieuwe welgevormde uitdrukking ontstaat. Dit noemen we “de actie ervaren uitvoeren op een deel van een welgevormde uitdrukking”. Een niet welgevormde uitdrukking kan niet gereduceerd worden tot ofwel <> (ofwel <<>>) wanneer alle variabelen door ofwel <> (ofwel <<>>) vervangen worden. Vorm (de welgevormdheid van een haakuitdrukking) en inhoud (dat wat blijkt voor gelijk welke “agens” in het testen van de haakuitdrukking) zijn dus niet meer gescheiden. Wat ook de vormelijke complexiteit zou zijn van de welgevormde haakuitdrukking a (dus vorm), er kan door elke agens onderzocht worden onder welke voorwaarden van de constituerende delen (dus inhoud) a ervaren wordt (onder welke voorwaarden er geen verschil meer is tussen a en <>).

Op een bepaald ogenblik gaan we dus formeel over van het hanteren van een symbool a naar een symbool <>. Het symbool a is variabel, het symbool <> is constant, wat betekent dat a voor gelijk welke waarnemer anders kan zijn, maar dat alle waarnemers a kunnen vervangen door <>. Aangezien het formalisme gegrond is in het ervaren zelf kunnen we hieraan een duidelijke betekenis geven die we hier met behulp van een voorbeeld opbouwen.

Stel: we bevinden ons samen rond dezelfde tafel. Op de tafel ligt er voor mij onder andere een dobbelsteen en ik stel je de vraag: “zie jij een dobbelsteen?” Als je “ja” als antwoord geeft dan ga ik er van uit dat je me begrijpt. Dit lijkt zo evident maar eigenlijk is dit paradoxaal: want wat ook jouw ervaring is op dat moment (en je zal de dobbelsteen minstens vanuit een ander gezichtspunt zien dan dat ik hem zie, dus je hebt niet dezelfde onmiddellijke ervaringen als ikzelf), je verbind het met het “op een bepaalde manier ervaren (dus “zien”) van het door mij bedoelde iets (dus “een dobbelsteen”)”. Ik kan onmogelijk te weten komen of we elkaar begrijpen (en dus “hetzelfde” wereldbeeld gebruiken) indien er niet zo een woordje zou bestaan als “ja”, waarbij “ja” gelinkt kan worden aan gelijk wat op dit moment, zowel voor jou als voor mij. Dit is de betekenis van <> die staat voor die “ja”, verbonden aan dat uniek moment.

Laten we nu een contrasterend voorbeeld geven: vergelijk dit met de situatie waarin een kind van drie zich bevindt dat, staand rond dezelfde tafel, voor het eerst de vraag krijgt “zie jij een dobbelsteen?”. Het kind weet reeds wat te antwoorden op de vraag “zie jij ...”, maar “dobbelsteen” kent het niet. Ik zal aan het kind eerst moeten tonen: kijk, dit is een dobbelsteen. Pas dan zal ik zijn “ja” kunnen beschouwen als verwijzend naar eenzelfde wereldbeeld als het mijne waarin “dobbelsteen” een te operationaliseren begrip is. Een goede manier om dat te doen is te zeggen en te tonen aan het kind: “kijk, nu gooi ik een dobbelsteen” en tezelfdertijd de dobbelsteen te gooien, waarbij ik het ervaren zelf zo complex (of volledig) mogelijk maak in functie van wat het kind reeds begrepen heeft (ik weet bijvoorbeeld dat ik het al vertelde dat het zijn eetgerei niet mag gooien), en op dat moment zal het ook “dobbelsteen” begrijpen.

Doe nu het volgende: beeld “a” af op jouw wereldbeeld gefocusseerd rond jouw zien van de dobbelsteen, en beeld “<>” af op jouw ja. Ik beeld dan ook “a” af op mijn wereldbeeld gefocusseerd rond mijn zien van de dobbelsteen, en ik beeld “<>” af op mijn ja. We laten toe dat de onzekerheid over de “inhoud” van de a blijft bestaan (jij en ik kunnen totaal verschillende symbolen gebruiken om die inhoud te expliciteren, en die inhoud kan voor een van ons veel complexer beschreven moeten worden dan voor de andere), maar er is geen onzekerheid over onze gedeelde ervaring (enkel) op het moment van het ervaren zelf: zowel jij als ik zeggen dan “ja”. Het is die (slechts momentane) coherentie op basis waarvan we een wereldbeeld opbouwen dat enige stabiliteit kan vertonen.

De vondst van het haakformalisme is dat we dat nu ook formeel kunnen uitvoeren en dat het formalisme dat zo ontstaat, coherent is met het ervaren zelf, terwijl dat in de klassieke formalismen slechts onderhuids aanwezig is (maar problematisch is in de experimentele verificatie), en in de logica leidde dit tot de hele problematiek van “waarheid”. Met het haakformalisme kunnen we nu iets expliciteren dat anders onduidelijk, impliciet en dus mogelijk verwarrend bleef.

Nu stel ik de vraag: moeten we dat doen? Ikzelf zou daar duidelijk “neen” op antwoorden. Met andere woorden: ik laat toe dat we op een creatieve manier een wereldbeeld opspannen (met andere woorden een potentieel wereldbeeld) dat we nooit confronteren met het ervaren zelf (dat we dus nooit testen waarbij eventueel iets anders kan blijken). Maar: indien we wel de hoger geschetste afbeelding zouden willen uitvoeren, dan stellen we eisen aan de structuur van a: het moet een testbare structuur zijn, formeel betekent dit dat het een welgevormde uitdrukking moet zijn.

Dank zij het haakformalisme kunnen we nu ook formeel op elk moment een opgespannen structuur (dus een welgevormde uitdrukking a) testen door “ja” te zeggen tegen de structuur (dus de welgevormde, eventueel zeer complexe, uitdrukking a botweg te vervangen door <>), maar we moeten dat niet doen (a kunnen we dus manipuleren zonder ooit te testen). De welgevormdheid maakt dan ook mogelijk dat je “ja” kan zeggen voor slechts een welgevormd deel van de structuur, namelijk het deel dat je (ir)relevant vind, of dat je “neen” kan zeggen voor een deel dat je (ir)relevant vind. Relevantie is een relatief begrip: je kan zeggen dat je relevant vind wat je zelf kan kiezen, maar je kan ook zeggen dat je relevant vind wat je niet zelf kan kiezen en dat alleen maar kan blijken. Dit is de inherent duale structuur van de werkelijkheid.

In het ervaren zelf van a zeggen we “ja” tegen a en krijgt a dus op dat moment een ervaringswaarde, namelijk <>. De hele structuur die we a noemen collapst “botweg” formeel tot <>, wat ook zijn complexiteit zou zijn, welke ook de symbolen zouden zijn die gebruikt moeten worden om a te beschrijven. Deze ervaringswaarde is dus dezelfde voor “de hele onderliggende structuur” (wat we in het haakformalisme de simultane punten noemen).

We zeggen dat a simultaan is met b indien ik in het ervaren van b met zekerheid ook a ervaar, en volledig duaal, indien ik in het laten gebeuren van a met zekerheid ook b laat gebeuren.

Er zijn maar twee ervaringswaarden: <> en <<>>, of “ja” en “neen”. Die ervaringswaarden zijn niet absoluut maar relatief, enkel ten opzichte van elkaar kunnen ze als “ja” en “neen” geïnterpreteerd worden. Dit is de inherent duale structuur van de werkelijkheid.

Ik kan wel ja zeggen tegen a, en zelf geen verschil maken tussen a en <>, maar jij hoeft dat daarom nog niet te doen. Ik kan wel ja zeggen tegen a, maar mijn omgeving hoeft dat daarom nog niet te doen. Ik kan de natuur bevragen en hopen een ja te krijgen, maar dat hoeft daarmee nog niet te gebeuren. Mijn aandacht voor het gebeuren, (namelijk iets anders dan a, iets anders dan waar mijn focus op ligt, iets anders dan wat ik gekozen heb) is al even belangrijk om a te leren kennen, om a te verfijnen in relatie tot andere begrippen, concepten, gebeurtenissen, als de aspecten die ik gebruik om mijn focus te beschrijven.

Enkel als men aandacht heeft voor de twee kanten van de medaille: dat wat we zelf kiezen en dat wat blijkt dan te gebeuren kunnen we de werkelijkheid beter leren kennen. Dit is de inherent duale structuur van de werkelijkheid.

Het variabele deel van al mijn testen ervaren

De verschillende omgevingen waarin ik de dobbelsteen gooi en die achteraf “de variabelen” worden voor de testen stel ik voor als x_i, met i = 0, 1, 2, ... De grootte van deze reeks notaties is enkel beperkt door mijn eigen eindig bestaan, maar indien nodig is de reeks onbeperkt voor al degenen die in parallel met mij en na mijn verdwijnen de testen verder willen zetten met het aanhouden van dezelfde specificaties.

Wil ik de omgeving x_k gebruiken in de test (interpreteer x_k bijvoorbeeld als de omgeving “de tafel”) dan moet zowel a als x_k ervaren zijn, dus de logische AND van a en x_k moet ervaren zijn, dus de logische AND van a en x_k moet ervaringswaarde <> hebben. De uitdrukking die dit garandeert is <<a><x_k>>, deze uitdrukking kan immers enkel ervaringswaarde <> hebben indien zowel a ervaringswaarde <> heeft, als x_k ervaringswaarde <> heeft.

Bewijs met het opstellen van een uitputtende tabel van de ervaringswaarden voor <<a><x_k>>.

Inderdaad zien we dat enkel als zowel a als x_k als testresultaat "ja" geven dat <<a><x_k>> als testresultaat "ja" geeft. Dit betekent: indien ik zou besluiten om <<a><x_k>> in de context "zowel a als x_k zijn waargenomen" te testen dan zou met zekerheid het antwoord "ja" bekomen worden en enkel dan. Dit komt overeen met de logische AND: beide moeten aanwezig zijn om tot het antwoord “ja” te besluiten.

De tabel wijkt enkel af van een klassieke true/false tabel voor proposities door de expliciete eis naar de relevantie van andere symbolen.

QED

Wil ik iets anders dan de omgeving x_k gebruiken in de test (bijvoorbeeld: de tafel met tafellaken; de vloer; de vloer van de hoogste verdieping; ... ) dan moet zowel a als <x_k> ervaren zijn, dus de logische AND van a en <x_k> moet ervaren zijn, dus de logische AND van a en <x_k> moet ervaringswaarde <> hebben. De uitdrukking die dit garandeert is <<a>x_k>, deze uitdrukking kan immers enkel ervaringswaarde <> hebben indien zowel a als <x_k> ervaringswaarde <> heeft.

Bewijs met het opstellen van een uitputtende tabel verloopt volledig analoog als het voorgaande bewijs.

Een alternatief bewijs is dat we reeds bewezen dat het AND patroon overeenkomt met de procedure: “het nevenschikken van de inbedding van de onderscheidingen en deze nevenschikking terug inbedden”. Als we dit uitvoeren met a en <x_k>, krijgen we als resultaat <<a><<x_k>>> dat door toepassen van stelling 6 niet kan onderscheiden worden van <<a>x_k>. QED

Hypothese 1

De aanvankelijke hypothese is dat we de dobbelsteen altijd met een aantal ogen bovenaan zullen vinden. We gaan er dus van uit dat we, in aanwezigheid van a, de keuzevrijheid hebben tussen de omgeving die de tafel is (dus x_k) en de omgeving die iets anders dan de tafel is (dus <x_k>), tussen de omgeving die de vloer is (stellen we voor als x_l ) en de omgeving die iets anders dan de vloer is (moeten we dus voorstellen als <x_l>), enz... We beperken ons hier tot de omgevingen “de tafel” en “de vloer”.

De keuzevrijheid hebben komt overeen met de logische OR. De haakuitdrukking die dit realiseert is de nevenschikking <<a><x_k>><<a>x_k><<a><x_l>><<a>x_l>

Bewijs met het opstellen van een uitputtende tabel voor het patroon van de nevenschikking van p en q, patroon dat we zullen toepassen voor de nevenschikking <<a><x_k>><<a>x_k><<a><x_l>><<a>x_l>.

Inderdaad zien we dat ENKEL als zowel p als q als testresultaat "neen" geven dat pq als testresultaat "neen" geeft. Beide symbolen kunnen dus samen voorkomen, kunnen individueel voorkomen en komt geen van beide voor dan wordt pq evenmin waargenomen. De nevenschikking komt dus overeen met de logische OR en is een patroon dat algemeen zal blijken te gelden, onafhankelijk dus van het aantal symbolen dat betrokken is.

De tabel wijkt enkel af van een klassieke true/false tabel voor proposities door de expliciete eis naar de relevantie van andere symbolen.

QED

We maken nu de nevenschikking van de volgende vier uitdrukkingen:

1. <<a><x_k>> (namelijk a en x_k zijn aanwezig)

2. <<a>x_k> (namelijk a en iets anders dan x_k zijn aanwezig)

3. <<a><x_l>> (namelijk a en x_l zijn aanwezig)

4. <<a>x_l> (namelijk a en iets anders dan x_l zijn aanwezig)

De uitdrukking is: <<a><x_k>><<a>x_k><<a><x_l>><<a>x_l>

Als we deze uitdrukking reduceren met de stellingen van het haakformalisme zien we dat deze niet te onderscheiden is van a: dus de onderscheiding tafel is irrelevant, en ook de onderscheiding vloer, enz... inderdaad: die bijkomende specificatie moet niet gesteld worden aan de test.

We bewijzen dat voor een welgevormd deel van de uitdrukking <<a><x_k>><<a>x_k><<a><x_l>><<a>x_l>, namelijk het deel <<a><x_k>><<a>x_k>. Het bewijs voor het welgevormde deel <<a><x_l>><<a>x_l> verloopt volledig analoog.

Bewijs dat <<a><x_k>><<a>x_k> niet te onderscheiden is van a

Het bewijs wordt geleverd door stellingen toe te passen die uit de twee technische axioma's volgen in opeenvolgende stappen waarbij elke stap wat betreft ervaringswaarde niet te onderscheiden is van de andere stappen.

Start:

<<a><x_k>><<a>x_k>

We passen nu stelling 6 toe op het geheel

<<<<a><x_k>><<a>x_k>>>

We passen nu stelling 9 toe met <a>:

<<<<x_k>><x_k>><a>>

We passen nu stelling 6 toe op <<<x_k>>

<<x_k<x_k>><a>>

We passen nu stelling 8 toe op x_k<x_k>:

<<<>><a>>

We passen nu axioma 2 toe:

<<a>>

We passen nu stelling 6 toe op het geheel:

a

QED

Hypothese 2

We hebben gezien dat mijn ervaringen uitwijzen dat het niet in alle gevallen geldt dat de dobbelsteen met zekerheid een aantal ogen bovenaan vertoont. De omgeving “gras” (noemen we x_g) maakt het onmogelijk om met zekerheid te voorspellen dat de dobbelsteen een aantal ogen bovenaan vertoont, dus er zal dan in die omgeving iets anders dan a ervaren worden. Dus: a AND x_g (als beide dus samen moeten aanwezig zijn) en het ervaren van iets anders dan a zijn niet te onderscheiden van elkaar.

De haakuitdrukking die dit realiseert is:

<<a><x_g>>↔<a>

Deze uitdrukking is met de stellingen van het haakformalisme te reduceren tot

<<a>x_g>

Bewijs:

Het gevolg van stelling 3 passen we toe op <<a><x_g>>↔<a>:

<<<<a><x_g>>a><<<<a><x_g>>><a>>>

Het gevolg van stelling 7 passen we toe op de welgevormde deeluitdrukking <<a><x_g>>a

<<<<><x_g>>a><<<<a><x_g>>><a>>>

We passen stelling 4 toe

<<<<>>a><<<<a><x_g>>><a>>>

We passen axioma 2 toe

<<a><<<<a><x_g>>><a>>>

We passen het gevolg van stelling 7 toe met <a>

<<a><<<<x_g>>>>>

We passen stelling 6 toe

<<a><<x_g>>>

We passen stelling 6 toe

<<a>x_g>

QED

De uitdrukking <<a>x_g> is niet te onderscheiden van <<a><<x_g>>> (stelling 6) en het patroon herkennen we dus als de logische AND van a en <x_g>. Inderdaad we kunnen dit interpreteren als a uitvoeren en de omgeving “gras” vermijden (een andere omgeving kiezen dan “gras”).

Conclusie van beide hypothesen

Er is blijkbaar niet slechts één uitzondering dat de dobbelsteen met zekerheid een aantal ogen bovenaan vertoont, maar er zijn er meerdere. We kunnen dus op zoek gaan naar een nieuw aspect (en dit is waar creativiteit voor nodig is) dat ons kan verzekeren dat de dobbelsteen altijd met een aantal ogen bovenaan ligt. We creëren hiervoor het begrip “vlakke ondergrond”. Dus: zowel de omgeving als iets anders dan de omgeving moet een vlakke ondergrond zijn. Wat die omgeving ook moge zijn, de omgeving moet enkel simultaan de “vlakke ondergrond” realiseren, alle andere aspecten zijn irrelevant.

Laten we de vlakke ondergrond uitdrukken als v. Om de haakuitdrukkingen niet nodeloos ingewikkeld te maken beperken we ons nu enkel tot de omgeving “de tafel”, een analoge redenering geldt voor alle andere omgevingen. Dus met x_k moeten we formeel uitdrukken dat zowel x_k simultaan v is, als dat <x_k> simultaan v is.

Dat x_k simultaan v is betekent:

1. indien ik x_k ervaar dan moet ik ook v ervaren

2. indien ik v zou ervaren dan kan (de ervaringswaarde van) x_k irrelevant zijn (een “vlakke ondergrond” moet daarom nog geen tafel zijn)

De uitdrukking die dit realiseert is <x_k>v.

Bewijs:

We bewijzen dit nu niet in tabelvorm, wat natuurlijk ook kan, maar door te redeneren op de welgevormde uitdrukking <x_k>v.

We moeten dus de twee voorwaarden controleren.

Enerzijds:

Wanneer <x_k>v↔<> geldt en x_k↔<> geldt dan moet <x_k>v↔<> geschreven worden als <<>>v↔<>, en met axioma 2 is dan duidelijk dat v↔<> geldt.

Anderzijds:

Wanneer <x_k>v↔<> geldt en v↔<> geldt dan moet <x_k>v↔<> geschreven worden als <x_k><>↔<> en met stelling 4 is duidelijk dat x_k irrelevant is voor de ervaringswaarde van de uitdrukking.

QED

Maar ook: indien ik <x_k> ervaar dan moet ik ook v ervaren; de uitdrukking die dit realiseert is x_kv.

Bewijs:

We bewijzen dit nu niet in tabelvorm, wat natuurlijk ook kan, maar door te redeneren op de welgevormde uitdrukking x_kv.

Er is terug een controle nodig van twee voorwaarden.

Enerzijds:

Wanneer <x_k>↔<> geldt, dan geldt <<x_k>>↔<<>>, dus met stelling 6 geldt x_k↔<<>> en dan moet x_kv↔<> geschreven worden als <<>>v↔<>, en met axioma 2 is dan duidelijk dat v↔<> geldt.

Anderzijds:

Wanneer x_kv↔<> geldt en v↔<> geldt dan moet x_kv↔<> geschreven worden als x_k<>↔<> en met stelling 4 is duidelijk dat x_k irrelevant is

QED

Bij elke keuze van een omgeving (voor iedere i van de “verzameling”, beter uitgedrukt als het repertorium x_i dat ik als nevenschikking voorstel) moet ik deze dubbele specificatie opnemen in de specificatie van de test. Dit wordt ook formeel op de volgende manier duidelijk.

Laten we de logische AND van de volgende drie specificaties uitdrukken:

1. <<a><x_i>><<a>x_i>

2. <x_i>v

3. x_iv

Hiertoe moeten we dus de nevenschikking van de inbedding van elke uitdrukking inbedden. De resulterende uitdrukking is: <<<<a><x_i>><<a>x_i>><<x_i>v><x_iv>>. Deze uitdrukking kan niet onderscheiden worden van <<a><v>>.

Bewijs

Van de welgevormde deeluitdrukking <<a><x_i>><<a>x_i> hebben we reeds bewezen dat ze niet kan onderscheiden worden van a, dus door toepassing van stelling 3 kunnen we deze welgevormde deeluitdrukking in de totale uitdrukking vervangen door a

<<a><<x_i>v><x_iv>>

We passen nu stelling 6 toe op de meest linkse v

<<a><<x_i><<v>>><x_iv>>

We passen nu stelling 9 toe met <x_iv>

<<a><<<x_iv>x_i><<x_iv><v>>>>

We passen stelling 7 toe met x_i

<<a><<<v>x_i><<x_iv><v>>>>

We passen stelling 6 toe op de middelste v

<<a><<<v>x_i><<x_i<<v>>><v>>>>

We passen stelling 7 toe met <v>

<<a><<<v>x_i><<x_i<>><v>>>>

We passen stelling 4 toe

<<a><<<v>x_i><<<>><v>>>>

We passen axioma 2 toe

<<a><<<v>x_i><<v>>>>

We passen stelling 6 toe

<<a><<<v>x_i>v>>

We passen stelling 7 toe met v

<<a><<<>x_i>v>>

We passen stelling 4 toe

<<a><<<>>v>>

We passen axioma 2 toe

<<a><v>>

QED

De uitdrukking <<a><v>> drukt uit dat a AND v aanwezig moeten zijn. De testspecificatie die ik tot nu toe hanteerde (namelijk a) moet uitgebreid worden met een specificatie betreffend v. Het onderscheidingen universum moet dus groter zijn, maar het is niet nodig dat dit het grootste universum is. De onderscheiding x_i die nu in een nieuw creatief gevonden universum als een voorbeeld van een “vlakke ondergrond” begrepen is, is nog steeds irrelevant en heeft aanleiding gegeven tot het introduceren van de creatief gevonden relevante onderscheiding “vlakke ondergrond” in de specificatie van de test. Ik kom dus tot het besluit dat ik wel de keuzevrijheid heb tussen bijvoorbeeld de tafel en iets anders dan de tafel, maar niet tussen een vlakke ondergrond en iets anders dan een vlakke ondergrond: het moet immers een vlakke ondergrond zijn wil ik met zekerheid een aantal ogen bovenaan vinden.

We voegen nu aspecten toe aan de dobbelsteen

Het aantal ogen

Telkens we een dobbelsteen gooien op een vlakke ondergrond vinden we bovenaan een welbepaald aantal ogen. We stellen na een hele reeks testen vast dat er maar een beperkt aantal mogelijkheden zijn. Elk van de mogelijkheden kunnen we een symbool toekennen, symbool dat we als een onderscheiding kunnen behandelen. Een onderscheiding is als een medaille met twee kanten: “iets” ten opzichte van “iets anders dan iets”. Dit stellen we formeel voor door haken te gebruiken, dus: iets versus <iets>.

We voegen nu toe: 1 versus <1>, 2 versus <2>, 3 versus <3>, 4 versus <4>, 5 versus <5>, 6 versus <6>. Er blijken zich geen andere mogelijkheden voor te doen, waaruit we kunnen besluiten dat de dobbelsteen een kubus is en geen tetraëder, octaëder, dodecaëder of icosaëder.

Telkens we een dobbelsteen gooien op een vlakke ondergrond vinden we dus bovenaan een welbepaald aantal ogen. Hierbij blijkt ook dat het onmogelijk is op voorhand te voorspellen welke onderscheiding van de zes mogelijke zich zal realiseren, toch kunnen we perfect voorspellen dat altijd één van de mogelijke onderscheidingen zich zal realiseren.

We doen hiermee een uitspraak over veel meer mogelijke situaties die niet onafhankelijk zijn van elkaar: we kunnen niet voorspellen of 1 zich zal realiseren of <1>, of 2 zich zal realiseren of <2>, 1 AND <5> kan zich realiseren, 2 AND <1> AND <3> kan zich realiseren enz... Er is trouwens geen absoluut correcte manier om een onderscheiding door één symbool voor te stellen.

We kunnen blijkbaar niet kiezen voor één van die zes onderscheidingen, en toch zal één van die zes zich realiseren. Dit lijkt paradoxaal en om de paradox op te lossen beslissen we om hiervoor een nieuwe onderscheiding te creëren. We noemen deze nieuwe onderscheiding g, of in woorden: “een geheel getal”. Dit betekent dat met elke realisatie van een aantal ogen simultaan een geheel getal gerealiseerd wordt maar daarenboven enkel maar een geheel getal gerealiseerd wordt.

Laten we dit eerst formeel uitdrukken met een voorbeeld: er geldt dat <3>g geldt, en we beslissen dat er ook moet gelden dat 3g geldt. Wat betekent dat? Als we 3 ervaren moeten we ook een getal ervaren, maar ook als we “iets anders dan 3” ervaren moeten we een getal ervaren, we beslissen om niet toe te laten dat “iets anders dan 3” bijvoorbeeld een context is waarin een dobbelsteen gegooid wordt die zou kunnen gekarakteriseerd worden door een i van de “verzameling” x_i uit de vorige paragraaf. Formeel drukken we uit dat <3>g geldt door <3>g↔<>, dus wanneer 3↔<> dan moet g↔<> aangezien <<>> niet genoteerd moet worden. Eveneens geldt 3g↔<>, dus wanneer <3>↔<> (of dus 3↔<<>>) dan moet g↔<>. Anderzijds zal de waarde die aan 3 of <3> gehecht wordt irrelevant zijn wanneer geldt dat g↔<>.

We merken op dat 3 enkel door 3 gerealiseerd wordt, terwijl <3> door 5 elkaar uitsluitende toestanden gerealiseerd wordt: ofwel 1, ofwel 2, ofwel 4, ofwel 5, ofwel 6. Formeel geldt er dus <1><3> AND <2><3> AND <4><3> AND <5><3> AND <6><3>, dus <<<1><3>><<2><3>><<4><3>><<5><3>><<6><3>>>, en door toepassing van stelling 9 is dit ook <<<1>><<2>><<4>><<5>><<6>>><3> waarop we stelling 6 toepassen om <12456><3> te bekomen. Dit maakt duidelijk dat 1OR2OR4OR5OR6, dus dit éne punt, <3> realiseert.

In elk geval zal de dobbelsteen zich altijd in een zuivere toestand bevinden na het werpen: ofwel geldt <<a><v>3>, ofwel geldt <<a><v><3>>. Aangezien in beide gevallen ook g gerealiseerd wordt, is de toevoeging van g in de formele uitdrukking niet noodzakelijk. Laten we dat eens demonstreren: we drukken in de AND ook uit dat de relatie met g geldt: dus ofwel geldt <<a><v>3<<3>g>>, ofwel geldt <<a><v><3><3g>>. Door toepassing van stelling 7 is dat te reduceren enerzijds tot <<a><v>3<<>g>>, anderzijds tot <<a><v><3><<>>>, en zo vinden we de oorspronkelijke uitdrukkingen terug.

We voegen nu nog een onderscheiding bij: o, staand voor “oneven” versus “iets anders dan oneven”, formeel te noteren als o versus <o> (of “even” versus “iets anders dan even”, of e versus <e>). Het is een onderscheiding die eveneens simultaan eist dat er een geheel getal g waargenomen wordt, aangezien “geheel getal” de onderscheiding is die door zowel even als oneven getallen moet gerealiseerd worden.

Terug is het mogelijk om dat exact formeel uit te drukken: <o>g geldt maar ook og geldt. Inderdaad, in het eerste geval: als o ervaren is dan moet ook g ervaren zijn, en in het tweede geval: als <o> ervaren is dan moet ook g ervaren zijn. Datzelfde geldt wanneer we o vervangen door <e> en dus <o> vervangen door e.

Oneven en “iets anders dan oneven” zijn simultaan een geheel getal, het mag niet zo zijn dat “iets anders dan oneven” een boom kan zijn (terwijl bijvoorbeeld “iets anders dan een dier” wel een boom zou kunnen zijn als we onderscheidingen willen maken in het universum van levende wezens). Er zijn dus maar twee mogelijkheden voor een geheel getal: ofwel is het even, ofwel is het oneven, en dit maakt van deze onderscheiding een abstracte constructie. We kunnen perfect voorspellen dat een geheel getal altijd ofwel even ofwel oneven zal zijn, het bevindt zich altijd in de zuivere toestand “ofwel dit, ofwel dat” en kan zich niet in beide toestanden simultaan bevinden. Het is dus onmogelijk beide te realiseren, wat formeel uit te drukken is als het onmogelijk zijn van de logische AND van beide.

Bewijs: we drukken eerst uit dat oneven enkel een getal mag zijn, dit is: o en g moeten samen gerealiseerd worden dus <<o><g>> geldt. We drukken dan uit dat iets anders dan oneven enkel een getal mag zijn, dit is: <o> en g moeten samen gerealiseerd worden dus <o<g>> geldt. De AND van beide is de inbedding van de ingebedde termen, dus: <<o><g>o<g>>. We reduceren nu in opeenvolgende stappen door toepassing van de stellingen: <<o><g>o<g>>↔<<o>o<g>>↔<<><g>>↔<<>>. QED.

Zo kunnen we nog verder gaan en we kunnen maar moeten niet aan getallen andere aspecten toekennen. Het getal 5 bijvoorbeeld kan ook simultaan een reëel getal zijn of een getal met een complexere structuur als we die onderscheidingen zouden creëren en kunnen operationaliseren, waarbij we ons telkens weer in een ander relevant universum zullen bevinden.

Als we enkel de onderscheiding o zouden opnemen dan is het aantal zelf dat de onderscheiding zou realiseren niet relevant, zoals ook andere aspecten. Dit betekent concreet dat bijvoorbeeld de “drie ogen” die ik nu gooi simultaan 3 is (irrelevant), simultaan een oneven getal is (relevant), simultaan een drievoud is (irrelevant), simultaan een geheel getal is (irrelevant), simultaan een aantal is (relevant), simultaan een reëel getal is (irrelevant) enz... en simultaan een getal is (relevant). Merk op dat de onderscheiding o niet moet gemaakt worden, evenmin als de onderscheiding “drievoud”, “geheel”, enz... het is een onderscheiding die potentieel kan gemaakt worden. Onze creativiteit wordt niet ingeperkt. Op een bepaald ogenblik zou het bijvoorbeeld zinvol kunnen zijn om de onderscheiding “verschil van kwadraten” te gaan gebruiken als relevante onderscheiding waarbij we weer zowel oneven als even getallen kunnen vinden die deze onderscheiding realiseren, en waarbij we 3 ook als 2²-1² kunnen beschouwen.

Merk op dat we nu niet meer perfect kunnen voorspellen in welke toestand g zich zal bevinden, we kunnen niet meer zeggen dat g zich altijd in de zuivere toestand “ofwel dit, ofwel dat” zal bevinden, g kan zich simultaan in meerdere toestanden bevinden. Bijvoorbeeld de toestand “even of drievoud” (logische OR) wordt door 2, 3, 4 en 6 gerealiseerd. “Iets anders dan “even of drievoud”” wordt gerealiseerd door 1 en 5 en dit uitsluitend omdat zowel de aanwezigheid van “even” als van “drievoud” de aanwezigheid van een geheel getal veronderstelt en dat er zich maar 6 mogelijke gehele getallen kunnen voordoen. De onderscheiding “geheel getal” is dus een irrelevante (want evidente) toevoeging. Helaas bezitten we in onze taal geen uniek begrip dat de toestand “even of drievoud” kan weergeven.

De richting van een van de ribben

We kunnen ook de onderscheiding “richting” toevoegen aan zowel een van de ribben van de dobbelsteen als aan de vlakke ondergrond. We kunnen dan ook vaststellen dat telkens ik een dobbelsteen gooi op een vlakke ondergrond, de dobbelsteen in één bepaalde toestand terechtkomt met één bepaalde richting. We kunnen de richting evenmin kiezen als het aantal ogen zonder het proces van het gooien zelf met nog andere onderscheidingen in te perken (het proces nog meer te specificeren door bijvoorbeeld in de testomgeving een aanslag te eisen waar de dobbelsteen telkens tegen geduwd wordt vooraleer de test beëindigd wordt). Telkens kunnen we de hoek h_i meten tussen de in de test gerealiseerde richting van de ribbe en een vast gekozen richting op de vlakke ondergrond. Het operationaliseren van een richting gaat dus over het meten van een hoek h_i. We merken dan dat alle hoeken die we kunnen bedenken wel eens kunnen voorkomen, elke hoek kan een uniek symbool krijgen door bijvoorbeeld de index i te gebruiken, maar daarenboven zal elke concrete hoek h_i (wat i ook moge zijn) simultaan de onderscheiding “mogelijke hoek” of h realiseren. Hierbij blijkt h dus een logische OR te zijn van concrete hoeken h_i die niet samen (of simultaan) kunnen gerealiseerd worden. Enkel in dit geval is er geen verschil tussen de logische OR en de logische XOR van twee hoeken.

Bewijs dat er, enkel in het geval van elkaar uitsluitende punten, geen verschil is tussen de logische XOR en de logische OR

We beschouwen twee onderscheidingen: a en b. Veronderstel dat er geldt dat de XOR van en a en b en de OR van a en b dezelfde ervaringswaarde hebben.

Te bewijzen: aANDb heeft ervaringswaarde <<>>, formeel <<a><b>>↔<<>>

Bewijs:

1. Tussenstap

We merken eerst op dat <<a><b>>↔<<>> ook kan geschreven worden als <a><b>↔<>. We merken dan op dat <a><b>↔ <> niet te onderscheiden is van <a><b>. Bewijs.

Wat we dus moeten bewijzen is dat <a><b> af te leiden is uit de uitdrukking "de XOR van en a en b en de OR van a en b hebben dezelfde ervaringswaarde".

2. Uitdrukking waarvan moet vertrokken worden

We beginnen om de woordelijke uitdrukking "de XOR van en a en b en de OR van a en b hebben dezelfde ervaringswaarde" formeel om te zetten. We zetten die om in een haakuitdrukking in verschillende stappen:

aXORb is <a<b>><<a>b>, dit noemen we haakuitdrukking (1)

aORb is ab, dit noemen we haakuitdrukking (2)

Twee punten x en y hebben dezelfde ervaringswaarde als geldt: <<x<y>><<x>y>>. Hierin vervangen we nu x door de uitdrukking (1) en y door de uitdrukking (2):

<<<a<b>><<a>b><ab>><<<a<b>><<a>b>>ab>> en dit noemen we (3). Dit is dus de formele haakuitdrukking voor "de XOR van en a en b en de OR van a en b hebben dezelfde ervaringswaarde".

3. Formeel bewijs

We moeten dus bewijzen dat (3) te reduceren is tot <a><b>. Alternatief zouden we ook kunnen bewijzen dat er geldt (3)↔<a><b>, beide hebben altijd dezelfde ervaringswaarde.

4. Start bewijs

(3) kunnen we vereenvoudigen door toepassen van de stellingen.

We herhalen de uitdrukking (3) en onderstrepen het deel waarmee we beginnen bij de reductie:

<<<a<b>><<a>b><ab>><<<a<b>><<a>b>>ab>>

Merk op dat dat deel welgevormd is. Voor alle duidelijkheid voegen we een aantal blanco posities tussen die dit illustreren: <<<a<b>><<a>b><ab>>< <<a<b>><<a>b>>ab >>

We passen nu het gevolg van stelling 7 toe.

Stelling 7 geeft dat er geldt: <pq>q ↔ <p>q, en het gevolg geeft dat de q kan geschrapt worden in elke ingebedde haak binnen de eerste haak.

We merken dit patroon in de nevenschikking die onderlijnd werd waarbij het patroon geldt zowel voor q als a als voor q als b.

<<a<b>><<a>b>>ab

We kunnen dus a schrappen binnen de ingebedde haken

<<<b>><<>b>>ab

We kunnen dus ook b schrappen binnen de ingebedde haken

<<<>><<>>>ab

Nu passen we axioma 2 toe (<<>> is altijd te schrappen):

<>ab

Nu passen we Stelling 4 toe (<> slorpt alle nevengeschikte punten op) en het resultaat is

<>

Het onderstreepte gedeelte van de uitdrukking (3), namelijk: <<<a<b>><<a>b><ab>><<<a<b>><<a>b>>ab>> kan dus vervangen worden door <>, wat resulteert in <<<a<b>><<a>b><ab>><<>>>

Hierop passen we axioma 2 toe waarbij <<>> verdwijnt:

<<<a<b>><<a>b><ab>>>

Dit is een uitdrukking tussen dubbele haken waarop we stelling 6 toepassen die zegt dat de dubbele haken kunnen verwijderd worden:

<a<b>><<a>b><ab> en we noemen deze uitdrukking (4)

We onderlijnen nu terug een welgevormd deel in (4) dat we verder gaan reduceren:

<a<b>><<a>b><ab>

Dit deel is dus

<<a>b><ab>

Hierop passen we stelling 6 toe die zegt dat we altijd dubbele haken kunnen invoegen:

<<a><<b>>><ab>

Hierop passen we stelling 9 toe, die zegt: <<a₁p><a₂p>...<a_ip>...<a_np>> ↔ <<a₁><a₂>...<a_i>...<a_n>>p met n eindig

We zien dus dat we de haak <ab> binnen dubbele haken kunnen brengen.

<<a<ab>><<b><ab>>>

Hierop passen we stelling 6 toe die zegt dat we altijd dubbele haken kunnen invoegen:

<<a<ab>><<b><a<<b>>>>>

We passen nu stelling 7 toe met a in het eerste welgevormd deel

<<a<b>><<b><a<<b>>>>>

We passen nu stelling 7 toe met b in het tweede welgevormd deel

<<a<b>><<b><a<>>>>

Nu passen we stelling 4 toe (<> slorpt alle nevengeschikte punten op) en het resultaat is

<<a<b>><<b><<>>>>

Met axioma 2 kunnen we <<>> weglaten:

<<a<b>><<b>>>

We kunnen dubbele haken weglaten (stelling 6)

<<a<b>>b>

We passen terug stelling 7 toe:

<<a<>>b>

Stelling 4 zegt dat <> opslorpt:

<<<>>b>

Axioma 2 laat toe om <<>> te schrappen:

<b>

Nu kunnen we het onderlijnde deel in uitdrukking (4), namelijk <a<b>><<a>b><ab> vervangen door zijn gereduceerde vorm en dit geeft:

<a<b>><b>

Hierop passen we dan weer stelling 7 toe

<a><b>

Dus de totale uitdrukking (3), namelijk <<<a<b>><<a>b><ab>><<<a<b>><<a>b>>ab>> hebben we gereduceerd tot <a><b>.

QED

Entiteiten worden gekarakteriseerd door de aspecten die wij als relevant beschouwen voor die entiteit

Als ik een dobbelsteen gooi met een ondubbelzinnige specificatie van de test namelijk <<a><v>> (op een vlakke ondergrond dus), dan zal ik altijd een bepaald aantal ogen bovenaan vinden. Is dat aantal oneven, dan is het aantal even dat op de zijde kan gevonden worden die in contact is met de vlakke ondergrond. Dit is een gevolg van de constructie van de entiteit “dobbelsteen”: de som van de ogen op de tegenoverliggende zijden is 7, en willen we het getal 7 in een som van twee getaltermen splitsen dan is dit slechts mogelijk in termen die ongelijk zijn wat betreft de onderscheiding “oneven”. En evenmin als ik kan kiezen om een bepaald op voorhand gekozen aantal ogen te gooien, waarbij er 6 mogelijke uitkomsten zijn, kan ik kiezen om een even of oneven aantal ogen te gooien, waarbij er maar 2 mogelijke uitkomsten zijn.

Als ik een dobbelsteen gooi met de correcte specificatie van de test namelijk <<a><v>>, dan zal ik altijd de ribben in een bepaalde richting vinden. In een hoekpunt van een kubus zullen altijd twee richtingen kunnen gemeten worden die 90° van elkaar verschillen dank zij de constructie van die entiteit.

• Het aspect “aantal ogen” is een potentieel aspect, het is relevant in sommige (dobbel)spellen en irrelevant in andere.

• Het aspect “oneven” is een potentieel aspect, het is relevant in sommige (dobbel)spellen en irrelevant in andere.

• Het aspect “richting” is een potentieel aspect, het is relevant in sommige (dobbel)spellen en irrelevant in andere.

Voorspellen en op voorhand beslissen

Dank zij de constructie van de onderscheiding g kunnen we nu voorspellen dat bij het gooien van een dobbelsteen het aspect g altijd zal gerealiseerd worden. Inderdaad: alle mogelijke uitkomsten van het aantal ogen dat ik bovenaan de dobbelsteen zal vinden zullen g realiseren, bijvoorbeeld zowel 3 als <3> realiseert g, waarbij “iets anders dan 3” ofwel 1 is, ofwel 2, ofwel 4, ofwel 5, ofwel 6. We hebben immers beslist om niet toe te laten dat “iets anders dan 3” een onverwachte gebeurtenis zou zijn, evenmin als we toelaten dat 2 en 5 simultaan kunnen gerealiseerd worden ondanks het feit dat we ook 2 ogen kunnen tellen als we 5 ogen tellen. Hiermee beklemtonen we de abstracte constructie van dit onderscheidingen-universum.

<3> is 1, 2, 4, 5 of 6. Laten we nu eens uitdrukken dat <3> niet kan onderscheiden worden van 1. De haakuitdrukking is <<<3><1>><31>>. Noteer: <31> moet hier gelezen worden als <<3>><<1>> en niet als het decimaal getal 31. Deze uitdrukking kan niet verder vereenvoudigd worden, waaruit blijkt dat deze welgevormde haakuitdrukking een mogelijke veronderstelling is. Het is onmogelijk om 3 en 1 samen te realiseren. Formeel geldt <<3><1>> heeft waarde <<>>, dus er geldt <3><1>. Het is ook onmogelijk om <3> en <1> samen te realiseren. Formeel geldt <<<3>><<1>>> heeft waarde <<>>, dus er geldt <<3>><<1>> of dus 31.

We bevinden ons nu in een situatie die analoog is als in hypothese1. Daar hielden we de entiteit “dobbelsteen” stabiel en lieten we de testomgeving variëren, nu houden we de omgeving van de test stabiel en gaan we er van uit dat het nooit zal gebeuren dat bij het gooien van de dobbelsteen de dobbelsteen zijn integriteit zou verliezen (door bijvoorbeeld te breken zodanig dat “iets anders dan een aantal ogen” boven zou kunnen komen te liggen dat geen aantal ogen is die we op voorhand gekozen hebben). Dat dit toch kan gebeuren en we gedwongen worden eisen te stellen aan de entiteit die we willen testen geeft aanleiding tot een andere soort onvoorspelbaarheid: een onvoorspelbaarheid waarbij we niet op voorhand kunnen weten wat er zal gebeuren. De onverwachte gebeurtenis speelt zich nu af met de entiteit die getest wordt en niet met de omgeving die voor de test gebruikt wordt. De entiteit die getest wordt kan door de test zodanig veranderen dat een eigenschap zal gerealiseerd worden die we niet op voorhand konden verwachten en die we slechts achteraf aan het onderscheidingen universum kunnen toevoegen. Bijvoorbeeld: stel dat de dobbelsteen breekt tijdens de test, en er dus een nieuwe onderscheiding ontstaat dan zullen we zoals in hypothese1 ook de beslissing nemen om te zeggen dat de test “mislukt” is en dus geen geldig resultaat oplevert. We verantwoorden dat door te verklaren dat de noodzakelijke voorwaarde van de integriteit van de gekozen entiteit niet meer voldaan is. Zoals we de specificatie van de test moesten uitbreiden met de toevoeging “vlakke ondergrond”, zo moeten we nu de specificatie van de entiteit uitbreiden met bijvoorbeeld de toevoeging dat er van de dobbelsteen niet een stuk mag afspringen tijdens de test zodanig dat de constructie van de entiteit veranderd wordt. Ook andere mogelijkheden wat betreft het verloren gaan van de “integriteit van de dobbelsteen” moeten we uitsluiten, en het is niet ondenkbaar dat we onmogelijk alle mogelijkheden op voorhand kunnen voorspellen.

Hetzelfde geldt voor de onderscheiding h. Het zal nooit gebeuren dat bij het gooien van de dobbelsteen (die we nu beter als een abstract geconstrueerde entiteit herkennen) de dobbelsteen zal vervormen zodanig dat we geen ribben met een welbepaalde richting meer kunnen vinden en de meting van h dus niet uitgevoerd kan worden. De onderscheiding h is (potentieel) een van de mogelijke concrete realisaties bij de meting slechts als de integriteit van de entiteit niet aangetast wordt tijdens de meting

Een kansproces kan de twee soorten onwetendheid simuleren

We kunnen de gelijkenis van de situatie van een onverwachte gebeurtenis in de omgeving en een onverwachte gebeurtenis in de waar te nemen entiteit modelleren door de volgende simulatie: we stellen dat we niet op voorhand gaan beslissen welke onderscheiding relevant zal zijn voor de meting. Om dat te operationaliseren zullen we in de meetprocedure opnemen dat we een onderscheiding x pas opnemen in het onderscheidingen universum op het ogenblik zelf dat we de meting realiseren. We kunnen bijvoorbeeld in de meetprocedure een kansproces inlassen: de soort waarneming laten we afhangen van het toeval. Hierbij doet een gebrek aan kennis over welke meetprocedure nu uitgevoerd zal worden zijn intrede. Deze situatie is te vergelijken met de “ontdekking” in hypothese 1 dat niet alle omgevingen geschikt zijn om een dobbelsteen te gooien, een willekeurig gekozen omgeving (door bijvoorbeeld een kansproces) is niet per definitie geschikt. Het verschil tussen beide situaties wordt gegeven doordat we in de huidige simulatie op een willekeurige manier kiezen tussen reeds gecreëerde onderscheidingen, terwijl we in de “ontdekking dat niet alle omgevingen geschikt zijn om een aantal ogen bovenaan te vinden bij het gooien van een dobbelsteen” voor een volledig nieuwe verrassende situatie kwamen te staan.

Voorbeeld: we laten een kansproces beslissen om ofwel een even aantal ogen (onderscheiding o) of een drievoud te vinden (onderscheiding d). Dit is een logische OR, dus o OR d, wat in het haakformalisme als de nevenschikking od geformaliseerd wordt. In het eerste geval kan de entiteit zich in 3 mogelijke toestanden realiseren (ofwel 2, ofwel 4, ofwel 6 ogen bovenaan die allemaal <o> realiseren), in het tweede geval slechts in 2 mogelijke toestanden. Er is trouwens maar één toestand te vinden waarbij de entiteit beide onderscheidingen o en d simultaan realiseert (een logische AND, dus o AND d, wat in het haakformalisme als de welgevormde uitdrukking <<o><d>> geformaliseerd wordt): dit gebeurt in 1 op de 6 gevallen omdat er, op voorhand beslist, maar 6 mogelijk aantal ogen bovenaan te vinden zijn. De logische OR (geformaliseerd als od) en de logische XOR (geformaliseerd als <o<d>><<o>d>) zijn hier onderscheiden punten.

Uiteraard kunnen we ook een kansproces laten beslissen om ofwel een drievoud (d) ofwel een vijfvoud (v) te vinden, waarbij zal blijken dat het drievoud in twee toestanden, en het vijfvoud slechts in één toestand te realiseren is en ze nooit samen te realiseren zijn. De logische OR (geformaliseerd als dv) is hier niet te onderscheiden van de logische XOR (geformaliseerd als <d<v>><<d>v>).

Stel dat we anderzijds een kansproces laten beslissen om ofwel een even aantal ogen of een bepaalde hoek h_i te vinden, dan zullen we merken dat beide mogelijke uitkomsten onafhankelijk zijn van elkaar, er blijkt namelijk een even onbeperkt aantal combinaties mogelijk te zijn van (“even aantal ogen” AND “hoeken”), als in het geval van de hoeken alleen. Een even aantal ogen en een bepaalde hoek zijn een mogelijke realisatie, ze sluiten elkaar niet uit.

Besluit

Met een eenvoudig voorbeeld, het gooien van een dobbelsteen met de bedoeling vast te stellen met welke zijde (en dus aantal ogen) hij bovenaan blijft liggen hebben we laten zien waartoe het haakformalisme in staat is: op basis van alleen maar ervaringen kan een onderscheidingen universum opgebouwd worden dat effectief te gebruiken is om ervaringen te verfijnen. Dit kan vanuit elke start-veronderstelling gebeuren en stelt dus geen andere eisen dan het ervaren zelf. We hebben laten zien dat creativiteit nodig is om nieuwe onderscheidingen te kunnen formuleren. We suggereren dat alle wetenschappelijke abstracties waarmee we onze werkelijkheid beschrijven zo'n creatief gevonden onderscheidingen zijn die door ervaringen (experimentele testen) ondersteund worden. We hebben laten zien dat relevantie en simultaneïteit in deze behandeling een essentieel nieuwe formulering krijgen.

Niet alleen testen moeten bewust ontworpen worden, maar ook de entiteiten zelf. Door de selectie van een vooraf beschikbaar onderscheidingen universum kunnen we de entiteit “dobbelsteen” in een waarneming immers niet op voorhand te voorspellen resultaten doen realiseren. Die selectie kunnen we immers laten afhangen van een kansproces waarbij we dit kansproces in de testprocedure opnemen. Dit heeft als gevolg dat de abstracte constructie “de entiteit dobbelsteen” ook tijdens de waarneming zelf kan veranderen zodanig dat we niet een bepaald resultaat kunnen voorspellen of voorzien. Dat is een fundamenteel andere situatie dan dat we onmogelijk konden voorzien welke hoek zou gerealiseerd worden bij het werpen van een dobbelsteen in een op voorhand gekozen onderscheidingen universum, of welk aantal ogen we bovenaan zouden vinden. Het verschil ligt hierin dat we

• in het geval van het veranderen van de entiteit “dobbelsteen” tijdens het testproces een logische OR van onderscheidingen kunnen waarnemen, een “samengesteld” punt dat geen nieuw (creatief gevonden) symbool gekregen heeft

• in het geval van de hoek (maar onbekend welke hoek) we altijd een hoek kunnen waarnemen (één nieuw symbool in plaats van een logische OR van bestaande symbolen). Hetzelfde geldt voor een aantal ogen waarbij we niet kunnen voorspellen welk aantal ogen. Bij de hoek vinden we een continuüm, bij het aantal ogen een discreet aantal mogelijke realisaties.

Entiteiten zijn dus creaties, evenals testen dat zijn, die een aantal initiële verwachtingen oproepen waarmee agentia het initiële relevante universum zullen opbouwen om ermee aan de slag te gaan.

Het resultaat van veel ervaring met entiteiten en testen is een impliciete kennis die in het haakformalisme als een logische OR van onderscheidingen kan voorgesteld worden, die de rijkdom van mogelijkheden met die entiteiten en testomgevingen kan voorstellen. Die keuzemogelijkheid heeft geen expliciet symbool gekregen zodanig dat het in een klassiek model kan gehanteerd worden. Die keuzemogelijkheid is inherent dynamisch en wellicht nooit meer te reproduceren en is te observeren in de waarschijnlijkheid die vaardige agentia (“experts”) aan bepaalde gebeurtenissen zullen toekennen. Elke agens is trouwens expert in zijn eigen ervaringen.

Als we de beroemde uitspraak van Albert Einstein als referentie nemen voor het begrip "god": "Gott würfelt nicht" (god dobbelt niet), dan is duidelijk dat de entiteit die Einstein voor ogen had geen agens kan zijn. Voor die entiteit heeft het haakformalisme geen enkele waarde.