Een gevolg van stelling 3 is dat de operatie “mogelijks te vervangen door”, formeel de dubbele pijl zoals in p ↔ q, door een welgevormde haakuitdrukking wordt voorgesteld: <<p<q>><<p>q>>, wat we hieronder expliciet aantonen. Het symbool van de dubbele pijl kan dus zonder verwarring in het haakformalisme gebruikt worden.

We tonen dit aan door de volgende tabel te maken voor alle mogelijke combinaties van waarden voor p en q en door het toepassen van de axioma’s hierop.

Slechts wanneer beide punten dezelfde waarde hebben (wat die ook moge zijn) heeft de uitdrukking waarde <>. We moeten dit goed begrijpen: we hebben dus een welgevormde haakuitdrukking die een verband “van waarde” uitdrukt tussen twee andere welgevormde haakuitdrukkingen zelfs al zijn geen waarden bekend! De manier waarop hierover in de wiskunde of de logica kan gesproken worden is door het functie begrip te gebruiken: een functie beschrijft een relatie los van de waarde (getalmatig of booleaans) die zou kunnen toegekend worden aan de constituerende “variabelen”.

De operatie “mogelijks te vervangen door” die we gebruikten in de axioma’s om didactische redenen blijkt weergegeven te kunnen worden door een haakuitdrukking, zodanig dat dit in de axioma’s geen extra informatie met zich meebracht.

We zullen elders aantonen dat de operatie “mogelijks te vervangen door” zo fundamenteel is dat deze operatie nog nauwelijks in andere formalismen onderzocht is.

Gevolg

De methode met de tabel is een universele en mechanisch uit te voeren methode om de waarde van een eindige welgevormde haakuitdrukking te berekenen.

Gevolg

Strikt gezien is er slechts één axioma: <> aangezien we dat kunnen noteren als <<<>>><<>><<<>>><<>>, formeel <>↔<<<>>><<>><<<>>><<>>

Het ene axioma wordt dan in haakvorm:

<<<><<<<>>><<>><<<>>><<>>>><<<>><<<>>><<>><<<>>><<>>>>

Gevolg

Een symbool zonder waarde (een potentiële p) gedraagt zich als een p met waarde <> aangezien het formalisme toelaat om p ↔ <> ook als p te noteren.

Inderdaad vervangen we in <<<p>q><p<q>>> q door <>, dan krijgen we de haakuitdrukking <<<p><>><p<<>>>>, die, gereduceerd, staat voor p.

En ook: een symbool zonder waarde (een potentiële <p>) gedraagt zich als een <p> met waarde <> aangezien het formalisme toelaat om <p> ↔ <> ook als <p> te noteren.

Gevolg

Om het haakformalisme te ontwikkelen zijn we uitgegaan van het axioma dat <> niet mag geschrapt worden. Dit is een interpretatie van de meer formele eis "<<>>↔<> mag niet genoteerd worden". Men kan zich nu vragen stellen bij de uitdrukking "mag niet".

We kunnen nu aantonen dat deze uitdrukking welgevormd is, want <>↔<<>> betekent in haakvorm <<<><<<>>>><<<>><<>>>>. Na reductie is dit <<>> en <<>> moet niet genoteerd worden en is de enige uitdrukking die “niet noteren” kan uitdrukken.

Gevolg

Als p ↔ <> dan ook <p> ↔ <<>>, beide uitdrukkingen kunnen niet van elkaar onderscheiden worden.

Nota

p ↔ q wordt ook door de volgende haakuitdrukking voorgesteld: <pq><<p><q>>.

Inderdaad is dit duidelijk in de volgende tabel die dezelfde resultaten geeft voor de mogelijke waarden van p en q:

Dit laat ons toe erop te wijzen dat haakuitdrukkingen gewoonlijk niet uniek zijn. Er geldt bijvoorbeeld dat <pq><<p><q>>↔<<<p>q><p<q>>>, en beide zijn welgevormde haakuitdrukkingen. De linker uitdrukking is een nevenschikking, de rechter uitdrukking is de inbedding van een nevenschikking. Het is niet de keuze van de vorm van de haakuitdrukking die de resultaten in de tabel zal bepalen. Haakuitdrukkingen kunnen elkaar vervangen indien, en slechts indien, ze voor elke mogelijke combinatie van waarden hetzelfde resultaat geven.