Natuurlijke getallen zijn de getallen die we gebruiken telkens als we iets tellen, niet noodzakelijkerwijze als we berekeningen maken. Modulo rekenen maakt enkel gebruik van natuurlijke getallen. Toch kunnen we ook voor verhoudingen, die niet noodzakelijk gehele getallen zijn, modulo rekenen als we de verhouding gebruiken om er een sinus of cosinus voor te berekenen. Dit resulteert in een speciaal reëel getal dat we een hoek noemen, namelijk 2π. Elke (andere) hoek is een fractie van 2π en is gedefinieerd modulo 2π. De hoek gelijk aan nul is niet verschillend van de hoek gelijk aan 2π.
Alhoewel de hoek een geometrische interpretatie kan krijgen, toch hoeft dit niet. Het is evenzeer de kwantificering van een waarnemingsresolutie: de hoek nul is een zeer kleine hoek en onwaarneembaar kleiner, het is de grens van onze mogelijkheid tot ordenen.
Veronderstel twee hoeken α en β. Wanneer α=β+2πk voor een geheel aantal k dan zijn α en β niet te onderscheiden. Het is dus belangrijk dat k een geheel getal is (dit is ± een natuurlijk getal).
Dus π is niet te onderscheiden van -π en evenmin van 3π (π=-π+2π en 3π=π+2π=-π+4π).
We merken nu op dat nα=nβ+2πkn enkel geldt wanneer n een geheel getal is en een willekeurige hoek is nooit een geheel getal. Het modulo rekenen dat gebruik maakt van de natuurlijke getallen is dus slechts mogelijk met de eenheid van een hoek en dat is 2π. Het rekenen modulo m is immers een operatie die moet voldoen aan de vereiste rekenregels voor getalsom en getalproduct die de eenheid van de operatie ongemoeid laten. Dat betekent dat de volgende gelijkheden moeten gelden en de product regel geldt enkel voor de eenheid van hoek:
a(mod m)+b(mod m)=(a+b)(mod m) met neutraal element 0(mod m) en eenheid 1(mod m)
a(mod m)×b(mod m)=(a×b)(mod m) met neutraal element 1(mod m) en eenheid 1(mod m).
We beschikken dus over een speciaal reëel getal, namelijk 2π, dat we niet kunnen tellen en enkel kunnen berekenen met een beperkt aantal betekende cijfers, aantal dat we heel groot maar onbereikbaar nog groter kunnen maken. Toch kunnen we dat getal als eenheid gebruiken: een volledige rotatie.
Het is die eigenschap die een belangrijke rol zal spelen bij elke waarneming en we zullen die eigenschap relateren naar alle mogelijke verhoudingen die we met alle mogelijke getallen kunnen maken. We zullen dan aantonen dat waarnemen enkel mogelijk is dank zij resonanties (een toestand waarin een geheel aantal verschillende golven elkaar versterken).