De interpretatie van de getalnul maakt het nu mogelijk om de binaire metriek beter te begrijpen.

We zullen daartoe het voorbeeld dat we gebruikten om de driehoeksongelijkheid te bewijzen abstract voorstellen als een splitsing zodanig dat we de twee betrokken deeltralies kunnen voorstellen en een “centraal extremum”.

De drie haakuitdrukkingen zijn niet welgevormd (hebben geen 2ⁿ bits met n een geheel getal). Het deel h₁ is welgevormd, het deel h₂ is niet welgevormd.

De tralie met splitsingen is dan de volgende. Merk op dat we hiervoor in het rechter deel van de splitsing ook <<>> moeten introduceren.

Merk op dat dit niet anders is dan de volgende tralie:

We kunnen nu de volgende sommen berekenen en daarmee de relevante deeltralies onderscheiden omdat er daarvoor don’t cares (met x als bit) ontstaan:

p⊕q: (x, <h₁>)

<p>⊕<q>: (x, h₁)

p⊕<q>: (<>, x)

<p>⊕q: (<<>>, x)

Dit maakt duidelijk dat “een verschil” van betekende bits een richting kan coderen en vanuit de binaire metriek is ook duidelijk dat dit als een afstand kan geïnterpreteerd worden: het aantal niveaus in een deeltralie.

Het verschil is niet commutatief in tegenstelling met de som, we kunnen het verschil als volgt aanduiden:

V_pq als p⊕<q>: (<>, x)

V_qp als <p>⊕q: (<<>>, x)

Hierin treden enkel <<>>, x en <> naar voor.

We kiezen nu een volgorde waarin we de drie punten doorlopen, bijvoorbeeld p, q, r en construeren de verschillen, verschillen die niet commutatief zijn:

p⊕<q>: (<>, x)

q⊕<r>: (<>⊕<h₂>, <h₁>)

r⊕<p>: (h₂⊕<>, h₁)

Dit maakt onmiddellijk duidelijk dat de drie verschillen elkaar opheffen en dat dit ook gebeurt als we de volgorde van doorlopen van de punten omkeren.

(p⊕<q>)⊕(q⊕<r>)⊕(r⊕<p>)=(<p>⊕q)⊕(<q>⊕r)⊕(<r>⊕p) is niet anders dan (x, x), of dus de al-nul vector X.

We kunnen dit ook noteren als V_pq⊕V_qr⊕V_rp=X en dus bijvoorbeeld V_pq⊕V_qr=V_pr. We herkennen dat als vorm van de algemene uitdrukking voor een evenwicht: alle punten sommeren met dezelfde referentie maakt geen verschil. Dit is onmiddellijk duidelijk voor p⊕s, q⊕s, r⊕s want (p⊕s⊕<q⊕s>)⊕(q⊕s⊕<r⊕s>)⊕(r⊕s⊕<p⊕s>)=(x, x).

Met h een willekeurige welgevormde haakuitdrukking is dat natuurlijk het gevolg dat er altijd geldt dat (h⊕h⊕h) niet verschilt van de al-nul vector, zoals duidelijk is uit de binaire som.

De al-nul vector drukt uit dat er geen verschil is dat een verschil maakt. De verschillen die een verschil maken zijn enkel in (deel)tralies terug te vinden.

Besluit en interpretatie

Van de driehoeksongelijkheid hebben we een duidelijk beeld als een driehoek in twee dimensies, dus als een oppervlakte element. Dit betekent dat geometrische intuïties niet nodig zijn in de ontwikkeling van het haakformalisme, zoals we ook kunnen afleiden van de involuties die te onderscheiden zijn. Geometrie is niet anders dan het gevolg van één splitsing in een (al dan niet welgevormde) haakuitdrukking: de afstand tussen twee willekeurige welgevormde haakuitdrukkingen is altijd in twee dimensies uit te drukken en kwantificeert dus een oppervlakte.

We hebben een richting gedefinieerd in één dimensie en de volgorde die we moeten afspreken in “de driehoek” definieert een richting in twee dimensies, wat men een draaizin noemt. Hetzelfde oppervlakte element kan in twee zinnen doorlopen worden. Dit is eveneens een zuiver binair onderscheid. Een draaizin voor een oppervlakte element stellen we ons voor als gedefinieerd rond een as loodrecht op het oppervlak en de grootte van een oppervlakte kan men voorstellen als de lengte van een vector die loodrecht op dat oppervlak staat. De voorstelling als tralie maakt duidelijk dat die as kan begrepen worden als de as tussen de extrema <<>> en <>, met in principe een ongekende afstand tussen de extrema, in geval van een concrete tralie de maximale afstand in de tralie. In functie van h₁ en h₂ is deze maximale afstand enkel voor te stellen door gebruik te maken van de vectorproducten (h₂•h₂, h₁•h₁). De afstand is dan de commutatieve som h₂•h₂⊕h₁•h₁=h₁•h₁⊕h₂•h₂. De grootte van oppervlakken is dan te ordenen zoals een simultaneïteitsafstand en een commutatieve som heeft de karakteristieken van een monotoon toenemende tijd.

Simultaneïteit geldt in één dimensie met een duidelijk gedefinieerde afstand, een tralie ontstaat in twee of meer dimensies (het aantal dimensies is het aantal van de simultane buren die de “kromming” op een boloppervlak kwantificeren). Maar meer dan twee dimensies zijn niet nodig om de relaties tussen welgevormde haakuitdrukkingen te kunnen onderzoeken.