De binaire vertaling van het haakformalisme is enkel mogelijk door een welbepaald onderscheidingen universum te kiezen, wat zich uit in de keuze voor een aantal binaire posities. We mogen niet vergeten dat de keuze voor nulbits of eenbits toevallig is, evenals de typografische voorstelling van de string (met andere woorden de links-rechts keuze). Die fundamentele dualiteit keert altijd terug. In concrete voorbeelden (die een niet te versmaden leidraad blijven) zullen we onvermijdelijk een keuze moeten maken, en we proberen die zo eenvoudig mogelijk te houden. De keuze voor een aantal bits is daarvan onafhankelijk. Essentieel is dat er maar twee soorten bits zijn en dat ze ofwel gelijk, ofwel verschillend zijn. We demonstreren dit door in de binaire voorbeelden een aantal te nemen dat geen macht is van 2 en we gebruiken het voorbeeld om aan te tonen dat alle aantallen kunnen gebruikt worden.

Afstand

Te bewijzen:

Het niveauverschil tussen twee punten in de tralie van een welbepaald gekozen onderscheidingen universum is een metrische afstand.

Bewijs:

Twee punten van eenzelfde tralie zullen een voorstelling hebben als binaire string met hetzelfde totaal aantal bits. Het verschil van een aantal bits is goed gedefinieerd en kan 0 zijn, dus bits kunnen geteld worden.

Veronderstel dat de punten p en q punten zijn van eenzelfde tralie.

Noem m(p,q) het aantal plaatsen van p en q met een verschillende bit; m(p, q) definiëren we als de afstand tussen p en q. We moeten dus bewijzen dat het aantal bits waarin de twee punten verschillen (of “het totaal aantal bits” min “de gelijke bits”) voldoet aan de axioma's van een metriek. We moeten dus bewijzen voor een willekeurige p, q en r dat

m(p,q) is positief

m(0,0) = 0

m(p,p) = 0

m(p,q) = m(q,p)

m(p,q) + m(q,r) ≥ m(p,r) (de driehoeksongelijkheid)

De vier eerste vergelijkingen zijn triviaal aangezien tellen een natuurlijk positief getal geeft en een aantal van 0 bits goed gedefinieerd is.

Om de driehoeksongelijkheid te bewijzen nemen we nu drie bitstrings p, q en r.

Als we deze reduceren tot de bits die niet voor alle drie gemeenschappelijk zijn zal de ongelijkheid niet veranderen.

Het volgend voorbeeld gebruiken we om de aandacht te richten.

p : x111111x0110x

q : x000000x0110x

r : x111100x1001x

Met de x geven we aan dat zich op overeenkomstige posities ofwel “don’t cares” bevinden ofwel dezelfde bits. De drie strings zijn niet verder te reduceren door gemeenschappelijke bits weg te schrappen. Merk op dat de volgorde van de bits volledig irrelevant is voor berekeningen met aantal bits. We hebben dus een voorstelling gekozen die gemakkelijk te volgen is en daarenboven universeel is.

We veronderstellen nu dat p en q op a posities een verschillende bit hebben. De m(p, q) wordt volgens de hypothese dus gegeven door a.

Neem nu de derde string r. Nu zal het altijd zo zijn dat op diezelfde posities (gebruikt om het aantal a te berekenen) r en q nu op b posities verschillen, waarbij b ≤ a. In totaal echter zullen r en q nu op b + c posities verschillen, waarbij de verschillen op het aantal c posities zich buiten de posities bevinden die we gebruikten om de a verschillen vast te stellen.

Met het voorbeeld

p : x111111x0110x

q : x000000x0110x

r : x111100x1001x

a is 6, b is 4 (of 2), c is 4.

Met dit voorbeeld dat voldoende algemeen is, is duidelijk dat het aantal bits waarmee p en r verschillen gegeven wordt door : a-b+c

Laten we nu de verschillende afstanden optellen :

m(p,q) = a

m(q,r) = b+c

m(p,r) = a-b+c

We bewijzen nu dat

m(p,q) + m(q,r) ≥ m(p,r) (de driehoeksongelijkheid)

Bewijs

a+b+c ≥ a-b+c geldt aangezien b ≤ a en aangezien c ≥ 0

QED

Een metriek betekent dat een afstand (in zijn geometrische interpretatie is dat een rechte lijn) twee punten met elkaar verbindt. Het enige dat we verondersteld hebben is het aantal bits van een bepaalde soort waarvan er maar twee soorten zijn. Alle punten op een bepaald niveau in de tralie hebben hetzelfde aantal bits van een bepaalde soort. Dus de metriek is een metriek van niveaus.

Diehoeksongelijkheid

De betekenis van de driehoeksongelijkheid is dat er aan een tweede richting niet te ontsnappen valt: drie punten die niet op dezelfde rechte lijn liggen impliceren een tweede dimensie (in zijn geometrische interpretatie is dat een oppervlak). Aangezien het haakformalisme niet opgebouwd wordt vanuit geometrische a priori, kunnen we nu de geometrische intuïties opbouwen uitgaande van meer fundamentele inzichten en we illustreren dit met hetzelfde voorbeeld:

p : x111111x0110x

q : x000000x0110x

We merken een aantal bits die verschillend zijn, een aantal bits die gelijk zijn en een aantal “don't cares” die we van dezelfde maar ongekende waarde kunnen beschouwen en die we voorstellen met x. Die plaatsen hoeven we verder niet meer mee te nemen. Dit betekent in concreto dat zij punten coderen die in dit geval geen verschil maken dat een verschil maakt (punten die er niet toe doen).

We noteren nu enkel de relevante bits.

p : 1111110110

q : 0000000110

Een aantal bits zullen nu elkaars tegengestelde zijn, en een aantal bits zullen aan elkaar gelijk zijn. De bits die aan elkaar gelijk zijn nemen we nu expliciet mee omdat ze met een derde punt een verschil zullen maken dat een verschil maakt. Dit betekent dat we beide punten in twee delen kunnen splitsen, een deel met maximale afstand en een deel met afstand nul. Met het voorbeeld:

p : 111111.0110

q : 000000.0110

Het typografisch punt toont aan waar de splitsing gelegd wordt. We kunnen p noteren als het koppel (h₁, h₂), met het voorbeeld dus het koppel (111111, 0110), en dan noteren we q als het koppel (<h₁>, h₂), met het voorbeeld dus het koppel (000000, 0110).

Afstanden

Een afstand kunnen we als volgt construeren terug vertrekkend van het algemeen voorbeeld:

p : 111111.0110

q : 000000.0110

r : 111100.1001

Dus geldt

<p>: 000000.1001

<q>: 111111.1001

<r>: 000011.0110

Dit betekent dat r, namelijk 111100.1001, zich tussen <p> en <q> bevindt in de relatie van simultaneïteit en dit wordt veroorzaakt door enkel de bits in het linker gedeelte. Dat is dus de ene afstand.

De tweede afstand construeren we als volgt door conjunctie en disjunctie te berekenen:

<<q><r>>: 111100.1111

pr: 111100.0000

Dit betekent dat r, namelijk 111100.1001, zich tussen pr en <<q><r>> bevindt in de relatie van simultaneïteit en dit wordt veroorzaakt door enkel de bits in het rechter gedeelte. Dat is dus de tweede afstand.

Hieruit volgt dan onvermijdelijk een derde “afstand” die een combinatie is van beide en die we als volgt construeren:

p<q>: 111111.0000

<p<q>>: 000000.1111

Dit betekent dat r, namelijk 111100.1001, zich tussen p<q> en <p<q>> bevindt in de relatie van simultaneïteit en dit wordt veroorzaakt door zowel de bits in het linker en rechter gedeelte maar in tegengestelde zin.

We kunnen nu alle conjuncties en disjuncties twee-aan-twee berekenen. Bijvoorbeeld:

<p><r>: 000000.0000

<p<r>>: 111100.1001 is r

<q>r: 111100.1001 is r

<<r><q>>: 111100.1111

<pq>: 111111.1001 is <q>

<q<p>>: 111111.1111

De disjunctie van de drie termen p, q en r is <>.

De enige punten die zich onderscheiden van <>, p, q en r (of hun inbeddingen) zijn de volgende: pr (111100.0000), p<q> (111111.0000) en <q><r> (00011.0000). Zij vormen samen met p en q de tralie

De twee afstanden als getal

De afstanden splitsen we nu op in een som van twee delen: een deel dat de afstand weergeeft links van het punt en een deel dat de afstand geeft rechts van het punt. Voor de duidelijkheid zetten we de afstanden tussen ronde haken.

m(p,q) = (a) + (0)

In het voorbeeld wordt dit (6) + (0).

Een willekeurig nieuw punt met hetzelfde totaal aan bits (dat niet met beide punten identieke bits deelt) zal enkel in het linkerdeel deels dezelfde bits hebben en deels niet, en met het rechterdeel de maximale afstand hebben.

Neem bijvoorbeeld

r : 111100.1001

In het linkerdeel deels dezelfde bits, deels niet, en in het rechterdeel de maximale afstand kunnen we metrisch uitdrukken als

m(q,r) = (b) + (c)

Hierbij is b kleiner dan a (die de maximale afstand is in de eerste dimensie) maar we hebben nu de keuze om ook de complementaire afstand te nemen, dus we kunnen kiezen voor b of voor a-b. De maximale afstand in de tweede dimensie is c zodanig dat geldt:

m(p,r) = (a - b) + (c)

We kunnen nu een gelijkheid in twee dimensies construeren als we de andere keuze te maken: door in het ene deel de complementaire afstand te nemen en in het andere deel de afstand negatief te nemen. Dus neem m’(q,r) = (a-b) + (-c) dan geldt: m(p,q)=m’(q,r) + m(p,r)

Met het voorbeeld

p : 111111.0110

q : 000000.0110

r : 111100.1001

m(p,q)=(a, 0) dus (6, 0)

m(p,r)=(b, c) dus (2, 4)

m’(q,r)=(a-b,-c) dus (4, -4)

Een afstand tussen twee willekeurige punten in een tralie is dus op een exacte manier (gelijkheid) in twee dimensies te karakteriseren.

QED

Andere splitsingen

De twee afstanden zijn blijkbaar het gevolg van het totaal aantal relevante bits en de ene splitsing waarvoor gekozen werd.

We kunnen deze conclusie illustreren door andere splitsingen te construeren. We nemen nu terug de punten en we geven de splitsing aan met gewone tekens langs de ene kant en cursief vet voor de andere kant omdat we de andere mogelijke splitsingen willen onderzoeken die gegenereerd worden door drie punten in 10 bits.

p : 1111110110

q : 0000000110

r : 1111001001

Er geldt dus:

m(p,q)=(6, 0)

m(p,r)=(2, 4)

m’(q,r)=(4, -4), de complementaire afstand is 10-6

We kunnen nu ook een splitsing met p en r construeren

p : 1111110110

q : 0000000110

r : 1111001001

m(p,q)=(4, 2)

m(p,r)=(0, 6)

m’(q,r)=(-4, 4), de complementaire afstand is 10-6

We kunnen nu ook een splitsing met q en r construeren

p : 1111110110

q : 0000000110

r : 1111001001

m(p,q)=(4, 2)

m’(p,r)=(4, -2), de complementaire afstand is 10-8

m(q,r)=(8, 0)

Gevolg

Het ene deel en ook het tweede deel kunnen we beschouwen als een deeltralie van een globale tralie beschreven met een beperkt aantal bits.

De richting waarin de afstand gemeten wordt in een van de twee deeltralies wordt gecodeerd door het teken van de maximale afstand in de andere deeltralie, namelijk de deeltralie van de gemeenschappelijke bits van twee van de betrokken punten.

De afstand die in één van de deeltralies gemeten wordt is een maximale afstand, dat weten we, zelfs al zou het aantal bits in een globale tralie niet gekend zijn. Dit is een afstand die we kiezen uit drie mogelijkheden. Deze afstand wordt gegeven door het aantal gemeenschappelijke bits van twee punten die de meting van een derde punt mogelijk maken. Indien we willen kunnen we deze afstand gebruiken als een referentie op een bepaald moment, een maximale waarnemingsresolutie om de andere afstand meetbaar te maken. Dan kiezen we een maximale afstand en dan blijkt daaruit hoe groot de afstand is die in de andere tralie gemeten wordt, uitgedrukt in de resolutie die we gekozen hebben. De meting moet blijken omdat we nu wel kunnen veronderstellen dat het totaal aantal bits niet gekend is. De constructie maakt duidelijk dat het niet anders kan dat het derde punt met zijn geordende bits in de ene dimensie tussen de twee andere punten ligt, en in de tweede dimensie complementair is met de bits van beide andere punten. De complementariteit wordt gemodelleerd door de negatieve afstand die we gebruikt hebben, maar het is complementair ten opzichte van een bepaald aantal dat groter of gelijk moet zijn dan het aantal dat in één dimensie kan gemeten worden.

Het totaal aantal bits die een verschil maken dat een verschil maakt (de relevante bits) kan berekend worden door de absolute waarde van twee afstanden op te tellen: de maximale afstand in de dimensie die moet blijken en de maximale afstand in de dimensie die gekozen wordt. De dimensie die gekozen wordt, wordt gegeven door het aantal gemeenschappelijke bits van twee punten en dit betekent dat de mogelijke gemeenschappelijke bits van de drie punten zich hier ook kunnen in bevinden maar geen verschil maken dat een verschil maakt. We kunnen dit ook als volgt interpreteren: door de keuze van gemeenschappelijke bits van twee punten zijn we in staat een afstand te meten met een derde punt, zelfs al is het totaal aantal bits ongekend (of zelfs onkenbaar zoals bij cijfers achter de komma van √2, π of e). Dus, indien het maximaal aantal relevante bits gelijk is aan n+m en we m gekozen hebben op basis van twee punten, dan kunnen we altijd veronderstellen dat het totaal aantal bits gegeven wordt door n+m+x met x een onbekend aantal dat de gemeenschappelijke bits kwantificeert van de drie punten. Dus m geeft de resolutie die we willen gebruiken of de maximale resolutie die we aankunnen, en daaruit volgt dan de gemeten n. De afstand m is dan een invariant van de meting.

De splitsing (h₁, h₂), gerelateerd met het koppel (<h₁>, h₂) kunnen we verder in zijn algemeenheid onderzoeken.