In de modulo3 voorstelling van de vectoren kan een nulcomponent voorkomen. Er kunnen dus vectorsommen gevormd worden die geen afbeelding hebben op welgevormde haakuitdrukkingen.

We tonen nu aan dat de vectorsom die aanleiding geeft tot een nulcomponent in de ternaire modulo3 voorstelling kan geïnterpreteerd worden als de naam voor een deeltralie (een deels gecollapste tralie).

De restklasse -1/ stellen we nu voor als de min-signatuur -, de restklasse +1/ als de plus-signatuur +, de restklasse 0/ stellen we nu voor als x, dezelfde notering die we voor een don't care gebruikt hebben.

Eerste voorbeeld

We geven de naam V_ab aan de vectorsom <<>>⊕<a>⊕<b>⊕<a•b>. Die vectorsom heeft een afbeelding in de haakruimte en komt overeen met welgevormde haakuitdrukking ab. Vorm nu de volgende vectorsom: <V_ab>⊕<>. Uitgedrukt met de basisvectoren is dit: <<>>⊕a⊕b⊕a•b. Deze vectorsom is geen welgevormde haakuitdrukking. Inderdaad: we lijsten alle mogelijke waarden van a en b

Dus <<>>⊕a⊕b⊕a•b is de naam van iets anders, wat dan wel?

We merken het volgende op:

<<>>⊕a⊕b⊕a•b heeft de waarde x in de volgende drie gevallen:

a heeft de waarde - en b heeft de waarde b, onafhankelijk dus van de waarde van b

a heeft de waarde a en b heeft de waarde -, onafhankelijk dus van de waarde van a

a heeft de waarde - en b heeft de waarde -

<<>>⊕a⊕b⊕a•b heeft de waarde + in het volgende geval:

a heeft de waarde + en b heeft de waarde +

De modulo3 vorm <<>>⊕a⊕b⊕a•b of (+xxx) die door de volledige tabel gerepresenteerd wordt kan nu staan voor alle voorwaarden die moeten voldaan zijn indien men geen onderscheid wil maken tussen V_ab of (+---) en <<>> of (++++). De x hebben we een don't care genoemd en komt dus perfect overeen met de modulo3 nul.

Merk op dat de sommering van een willekeurige welgevormde haakuitdrukking met <> steeds het resultaat zal hebben dat men geen verschil meer kan maken tussen de haakuitdrukking en <<>>.

Vergelijk tussen de twee ruimtes:

Tweede voorbeeld

Neem nu de volgende vectorsom: <>⊕<a>⊕<b>⊕<a•b>. Deze heeft geen afbeelding als welgevormde haakuitdrukking. Deze som is dan <V_<ab>>⊕<<>>, als we V_<ab> de vectorsom noemen, namelijk <>⊕a⊕b⊕a•b, die wel een afbeelding heeft als welgevormde haakuitdrukking en overeenkomt met <ab>.

We lijsten alle mogelijke waarden van a en b

We merken het volgende op:

<>⊕<a>⊕<b>⊕<a•b> heeft de waarde x in de volgende drie gevallen:

a heeft de waarde - en b heeft de waarde b, onafhankelijk dus van de waarde van b

a heeft de waarde a en b heeft de waarde -, onafhankelijk dus van de waarde van a

a heeft de waarde - en b heeft de waarde -

<>⊕<a>⊕<b>⊕<a•b> heeft de waarde - in het volgende geval:

a heeft de waarde + en b heeft de waarde +

De modulo3 vorm (-xxx) kan nu staan voor de interpretatie dat men geen onderscheid wil maken tussen V_<ab> of (-+++) en <> of (----).

Merk op dat de sommering van een willekeurige welgevormde haakuitdrukking met <<>> steeds dit resultaat zal hebben.

De overeenkomst met het patroon in de twee ruimtes:

Besluit

Met het toevoegen van de modulo3 nul hebben we geen nieuwe informatie toegevoegd: er ontstaan geen nieuwe patronen, enkel nieuwe voorstellingswijzen en exponentieel meer punten (in twee dimensies 3⁴=81, in drie dimensies 3⁸=6561).

De nieuwe voorstellingswijzen die ontstaan zijn unieke namen voor gecollapste tralies, met als interpretatie dat een aantal punten uit de oorspronkelijke tralie don't care zijn, geen verschil maken dat een verschil maakt, nu niet relevant zijn.