De inzichten van het haakformalisme leiden ertoe dat de klassieke inzichten uit het onderzoek naar relativiteit ook in het haakformalisme moeten kunnen gereconstrueerd worden enkel op basis van twee getallen (bijvoorbeeld het totaal aantal mogelijke toestanden n en het aantal toestanden met zelfde waarde m, of het aantal toestanden p die meetmiddel M realiseren en het aantal p^<> die meetmiddel M^<> realiseren). Een eerste inzicht dat dan in het vizier komt is de Lorentz transformatie. Zoals steeds gebruiken we die naam voor een veel algemener patroon dat we dank zij de inzichten in processnelheid kunnen construeren in het haakformalisme en waardoor duidelijk kan worden wat de bijkomende vooronderstellingen zijn om dit patroon te interpreteren als de klassieke Lorentz transformatie met de klassieke snelheid.

We gaan daarom een meer abstracte versie van de Lorentz transformatie modelleren in het haakformalisme enkel door gebruik te maken van operaties met positieve getallen en dat zijn dus sporen van metingen zoals ze uitgevoerd worden in de veronderstelling dat een evenwicht gemodelleerd wordt dat dus waargenomen en gemeten wordt in één toestand (lokaal) als verschil van een vorige of volgende toestand (dit is dus consequent met de ordening die we vaststellen). In de klassieke hypothese moeten verhoudingen kunnen gemodelleerd worden en we zullen daarom de inzichten van de eigenschappen van een verhouding van intervallen gebruiken. We zullen dan heel helder de bijkomende veronderstellingen kunnen modelleren in het haakformalisme om de klassieke welbekende Lorentz transformatie terug te vinden. We gebruiken zoveel mogelijk symbolen die ook in de speciale relativiteitstheorie gebruikt worden, juist om heel helder de meer abstracte benadering te kunnen herinterpreteren als de klassieke speciale relativiteitstheorie waarin de Lorentz transformatie een centrale rol speelt. Dit onderstreept het belang van het begrip “processnelheid” dat abstracter is dan het begrip “snelheid” als verhouding van een ruimteverschil tot een tijdsverschil.

Uitgaande van rijen getallen kunnen we zinvolle ratio's berekenen van iets dat als stabiel kan herkend worden in toestand T₀: bijvoorbeeld x₀/t₀ geeft het getal van een verschil (kan toenemen of afnemen, heeft een richting) ten opzichte van een som (kan enkel toenemen en is daardoor de referentie voor toename of afname). Dit hebben we al kunnen interpreteren als een “puntsnelheid” of een situatie van lokaal evenwicht, als het feit dat een (rekenkundig) gemiddelde snelheid te definiëren is, als het feit dat er een getal n, verschillend van nul, moet bestaan en dat de snelheid dan gegeven wordt door (1-n)/(1+n). Dat is dan de gemeenschappelijke hypothese die we in beide manieren zullen introduceren en “snelheid” is slechts een mogelijk voorbeeld van een schaalfactor. Dus de symbolen die we gebruiken zijn enkel de gehele en rationale getallen, met het symbool v dat kan staan voor zowel “Verhouding”, “Verschil”, “Veelvuldigheid” (frequentie), “Velocity” (snelheid), “Vaart”, “Vlugheid”, “Versnelling” of “Vermogen” en in het algemeen “energiedensiteit” of “energie per parameter T”. Al deze interpretaties kunnen we onderbouwen als we de intervallen als processnelheid benoemen. De getallen kunnen maar moeten niet verwijzen naar coördinaten in referentieframes.

Met deze getallen zullen we een 1-splitsing construeren met intervallen als termen: ((1-n)⊗(1+n))_ℵ en in het algemeen geval ((n_i-n_j)⊗(n_i+n_j))_ℵ. Aangezien alle ℵ dezelfde waarde hebben heeft deze 1-splitsing een invers.

We gaan dat doen op twee verschillende manieren, die elk een andere karakteristiek van het haakformalisme benutten.

In een eerste modellering zullen we de afgeleide naar ℵ onderzoeken, namelijk de verhouding (1-n)/(1+n) of (1+n)/(1-n) of meer algemeen (n_i-n_j)/(n_i+n_j) of (n_i+n_j)/(n_i-n_j). Een verhouding van getallen (1-n)/(1+n) is altijd te schrijven als een product (1-k)(1+k) door een gepaste transformatie. Er is dus geen wezenlijk verschil tussen een breuk en een product, beide zijn voorbeelden van hetzelfde patroon, het enige verschil is er een van commensurabiliteit in interpretatie van intensiteit en eenheid.

In een tweede modellering blijven we zo lang mogelijk met het creatief product zelf werken als “bitstring” met een a priori onbekende “lengte” als intensiteit gerelateerd met de eenheid ℵ.

Modellering vanuit de hypothese van dezelfde eenheid voor som en verschil

Het maken van sommen of verschillen van verhoudingen is onvermijdelijk verbonden met de vraag welke de eenheid is voor die sommen. We hebben daar al voorbeelden van bestudeerd met enkel verhoudingen, maar dit geldt natuurlijk ook voor een som van verhoudingen van verschillende eenheden waarbij een van eenheden gelijk is aan 1. We zullen zien dat leidt tot een meer abstracte variant van de Lorentz tranformatie.

We vertrekken terug van één rij positieve gehele getallen: n₀, n₁, n₂, … die sporen zijn van metingen met toestanden T₀, T₁, .…

Definitie van γ₁₂

We berekenen x₀₁+v₁₂t₀₁

(n₀-n₁)+(n₁-n₂)(n₀+n₁)/(n₁+n₂)

{(n₀-n₁)(n₁+n₂)+(n₁-n₂)(n₀+n₁)}/(n₁+n₂)

2n₁(n₀-n₂)/(n₁+n₂)

We merken op dat (n₀-n₂) gelijk is aan x₀₂, dus er geldt:

x₀₁+v₁₂t₀₁=(2n₁/(n₁+n₂))x₀₂

We merken nu op dat 1+v₁₂=1+(n₁-n₂)/(n₁+n₂)={(n₁+n₂)+(n₁-n₂)}/(n₁+n₂)=2n₁/(n₁+n₂). Wanneer we nu stellen dat dit getal gelijk is aan 1/γ₁₂ dan veronderstellen we dus dat 1/(1+v₁₂)=γ₁₂=(n₁+n₂)/2n₁.

Dus er geldt dat:

x₀₂=γ₁₂(x₀₁+v₁₂t₀₁).

We berekenen t₀₁+v₁₂x₀₁

(n₀+n₁)+(n₁-n₂)(n₀-n₁)/(n₁+n₂)

{(n₀+n₁)(n₁+n₂)+(n₁-n₂)(n₀-n₁)}/(n₁+n₂)

2n₁(n₀+n₂)/(n₁+n₂).

We merken op dat (n₀+n₂) gelijk is aan t₀₂

Dus: (t₀₁+v₁₂x₀₁)=(2n₁/(n₁+n₂))t₀₂

Dus er geldt dat:

t₀₂=γ₁₂(t₀₁+v₁₂x₀₁).

Gevolgen

Uit beide berekeningen kunnen we afleiden:

x₀₂-v₁₂t₀₂=γ₁₂(x₀₁+v₁₂t₀₁)-v₁₂γ₁₂(t₀₁+v₁₂x₀₁)

x₀₂-v₁₂t₀₂=γ₁₂(x₀₁+v₁₂t₀₁-v₁₂t₀₁-v₁₂v₁₂x₀₁)

x₀₂-v₁₂t₀₂=γ₁₂x₀₁(1-v₁₂²)

x₀₁=(x₀₂-v₁₂t₀₂)/γ₁₂(1-v₁₂²) en dit is niet verschillend van x₀₁=(x₀₂+v₂₁t₀₂)/γ₁₂(1-v₁₂²)

en

x₀₁=(x₀₂-v₁₂t₀₂)/γ₁₂(γ₁₂γ₂₁)^-1=(x₀₂-v₁₂t₀₂)/γ₂₁

en volledig gelijkaardig:

t₀₂-v₁₂x₀₂=γ₁₂(t₀₁+v₁₂x₀₁)-v₁₂γ₁₂(x₀₁+v₁₂t₀₁)

t₀₁=(t₀₂-v₁₂x₀₂)/γ₁₂(1-v₁₂²) en dit is niet verschillend van t₀₁=(t₀₂+v₂₁x₀₂)/γ₁₂(1-v₁₂²)

en

t₀₁=(t₀₂-v₁₂x₀₂)/γ₁₂(γ₁₂γ₂₁)^-1=(t₀₂-v₁₂x₀₂)/γ₂₁

Hieruit volgt dat

v₀₁=x_01/t₀₁=(x₀₂+v₂₁t₀₂)/(t₀₂+v₂₁x₀₂)

Teller en noemer delen door t₀₂ geeft de uitdrukking die we herkennen als een Lorentz boost: v₀₁=(v₀₂+v₂₁)/(1+v₀₂v₂₁).

Volledig gelijkaardige berekeningen kunnen uitgevoerd worden voor de intervallen die in een andere richting doorlopen worden, inderdaad uit x₀₂=γ₁₂(x₀₁+v₁₂t₀₁) volgt x₂₀=-γ₁₂(x₀₁+v₁₂t₀₁)=-γ₁₂(-x₁₀-v₂₁t₀₁)=-γ₁₂(-x₁₀-v₂₁t₁₀)=γ₁₂(x₁₀+v₂₁t₁₀).

Dus:

x₂₀=γ₁₂(x₁₀+v₂₁t₁₀)

t₂₀=γ₁₂(t₁₀+v₂₁x₁₀)

Definitie van γ₂₁

We berekenen x₂₀+v₁₂t₂₀

(n₂-n₀)+(n₁-n₂)(n₂+n₀)/(n₁+n₂)

{(n₂-n₀)(n₁+n₂)+(n₁-n₂)(n₂+n₀)}/(n₁+n₂)

2n₂(n₁-n₀)/(n₁+n₂)

We merken op dat (n₁-n₀) gelijk is aan x₁₀

Hier vinden we een factor γ₂₁=(n₁+n₂)/2n₂.

Er geldt: γ₂₁=1/(1+v₂₁)=1/(1-v₁₂), inderdaad 1+v₂₁=1+(n₂-n₁)/(n₁+n₂)={(n₁+n₂)+(n₂-n₁)}/(n₁+n₂)=2n₂/(n₁+n₂).

Dus er geldt dat:

x₁₀=γ₂₁(x₂₀+v₁₂t₂₀).

We berekenen t₂₀+v₁₂x₂₀

(n₂+n₀)+(n₁-n₂)(n₂-n₀)/(n₁+n₂)

{(n₂+n₀)(n₁+n₂)+(n₁-n₂)(n₂-n₀)}/(n₁+n₂)

2n₂(n₁+n₀)/(n₁+n₂)

We merken op dat (n₁+n₀) gelijk is aan t₁₀

Hier vinden we de factor γ₂₁=(n₁+n₂)/2n₂.

Dus er geldt dat:

t₁₀=γ₂₁(t₂₀+v₁₂x₂₀).

Gevolgen

Uit beide berekeningen kunnen we afleiden:

x₁₀-v₁₂t₁₀=γ₂₁(x₂₀+v₁₂t₂₀)-v₁₂γ₂₁₍t₂₀₊v₁₂x₂₀₎

x₁₀-v₁₂t₁₀=γ₂₁(x₂₀+v₁₂t₂₀-v₁₂t₂₀-v₁₂²x₂₀₎

x₁₀-v₁₂t₁₀=γ₂₁x₂₀(1-v₁₂²)

x₂₀=(x₁₀-v₁₂t₁₀)/γ₂₁(1-v₁₂²)

x₀₂=(x₀₁-v₂₁t₀₁)/γ₂₁(1-v₁₂²)

en

t₁₀-v₁₂x₁₀=γ₂₁(t₂₀+v₁₂x₂₀)-v₁₂γ₂₁₍x₂₀₊v₁₂t₂₀₎

t₁₀-v₁₂x₁₀=γ₂₁(t₂₀+v₁₂x₂₀-v₁₂x₂₀-v₁₂²t₂₀₎

t₁₀-v₁₂x₁₀=γ₂₁t₂₀(1-v₁₂²)

t₂₀=(t₁₀-v₁₂x₁₀)/γ₂₁(1-v₁₂²)

t₀₂=(t₀₁-v₂₁x₀₁)/γ₂₁(1-v₁₂²)

Volledig gelijkaardige berekeningen kunnen uitgevoerd worden voor de intervallen die in een andere richting doorlopen worden.

We berekenen nu x₁₂ en t₁₂

uit x₁₀-v₁₂t₁₀=γ₂₁x₂₀(1-v₁₂²) volgt

x₁₀-x₁₂t₁₀/t₁₂=γ₂₁x₂₀(1-v₁₂²)

x₁₀-γ₂₁x₂₀(1-v₁₂²)=x₁₂t₁₀/t₁₂

met γ₁₂γ₂₁=1/(1-v²₁₂)

x₁₀-γ₂₁x₂₀/_γ12γ21=x₁₂t₁₀/t₁₂

en

uit t₁₀-v₁₂x₁₀=γ₂₁t₂₀(1-v₁₂²) volgt

t₁₀-x₁₂x₁₀/t₁₂=γ₂₁t₂₀(1-v₁₂²)

t₁₀-γ₂₁t₂₀(1-v₁₂²)=x₁₂x₁₀/t₁₂

met γ₁₂γ₂₁=1/(1-v²₁₂)

t₁₀-γ₂₁t₂₀/_γ12γ21=x₁₂x₁₀/t₁₂

Overzicht

Er geldt γ₁₂/γ₂₁=n₂/n₁.

Er geldt 1/γ₁₂γ₂₁=(1+v₁₂)(1+v₂₁)=(2n₁/(n₁+n₂))(2n₂/(n₁+n₂))=4n₁n₂/(n₁+n₂)²=(1-v²₁₂)=(1-v²₂₁)=(1+v₁₂)(1-v₁₂)

Bespreking

In de berekeningen is duidelijk dat we iets bekomen dat gelijkaardig is met een Lorentz transformatie zoals ze bekend is in de speciale relativiteitstheorie. Er zijn echter belangrijke verschillen. Die kunnen nu we duidelijk maken doordat we symbolen gebruikt hebben die gelijkaardig zijn als de symbolen die in die theorie gebruikt worden en ons dus in staat stellen om de verschillen te bespreken.

Eerst merken we op dat de afleiding in het haakformalisme algemener is op een heldere, transparante manier. De hele afleiding vertrekt van drie getallen met een gekozen volgorde: n₀, n₁ en n₂. Een van de getallen hebben we als referentiepunt gekozen (in het uitgewerkte voorbeeld is dat n₀), maar elk getal kan die rol innemen zolang de volgorde gerespecteerd wordt. Dit bewijst zowel de relativiteit van drie standpunten als het belang van volgorde.

Een ander belangrijk verschil is dat we niet anders gedaan hebben dan het berekenen van sommen en verschillen van getallen, op geen enkele manier hebben we geometrische intuïties nodig. Die getallen zijn intensiteiten van dezelfde eenheid. Die eenheid moeten we nog expliciteren. Dus we berekenen: t₀₁ is n₀+n₁, t₀₂ is n₀+n₂, x₀₁ is n₀-n₁, x₀₁ is n₀-n₂, gemeenschappelijk is het getal n₀. In de speciale relativiteitstheorie wordt n₀ geïnterpreteerd als het “nulpunt” van een referentieframe, en het verschil wordt berekend met een n₁ enerzijds en een n₂ anderzijds die dan als een coördinaat geïnterpreteerd worden in een eigen referentieframe, het frame met index 1 en het frame met index 2. Zo brengt men wel geometrie binnen maar het maakt een meer abstract inzicht onmogelijk. We kunnen dit als volgt duiden. In de geometrie zijn afstanden verschillen tussen coördinaten in hetzelfde referentieframe en dat is zeer zinvol voor eenheden die zowel kunnen toenemen als afnemen (zoals x en de verhouding v) maar dat is “geometriserend” voor een parameter die alleen maar kan toenemen, of alleen maar kan afnemen. We zien dat snel in met een voorbeeld:

We berekenen x₁₂-x₁₀=(n₁-n₂)-(n₁-n₀)=(n₀-n₂)=x₀₂

We berekenen t₁₂-t₁₀=(n₁₊n₂)-(n₁₊n₀)=(n₂-n₀)=x₂₀ en dat maakt duidelijk dat met enkel verschillen van positieve getallen n_i geen “tijden” als monotoon toenemende of monotoon afnemende processtappen gemodelleerd worden. Dus wanneer we de geometrische benadering gebruiken (en dus een Minkowski diagram), leidt dit tot een statisch beeld tussen referentieframes en geen dynamiek. De weg die we volgen in het haakformalisme is gebouwd op het dynamisch (lokaal) evenwicht van drie processnelheden die dan onbeperkt kunnen evolueren met processtappen (die een abstractie zijn van de klassieke “absolute tijd”). Op veel verschillende manieren hebben we kunnen onderbouwen dat de fundamentele getallen in het haakformalisme verhoudingen zijn (schaalfactoren) v_i waarbij dan een vrije keuze bestaat om eenheden en intensiteiten hieruit te berekenen die dan als coördinaten kunnen geïnterpreteerd worden, die daardoor geen fundamentele betekenis hebben. Coördinaten zijn afhankelijk van de gekozen schaal. Het zijn deze schaalfactoren v_i die we hier voorstellen als n_i waaruit we dan nieuwe schaalfactoren v_ij berekenen met sommen en verschillen (vandaar trouwens de speciale index notatie).

Dank zij γ₁₂ en γ₂₁ kunnen we nu al een van de veronderstellingen van de klassieke relativiteitstheorie helder formuleren.

Er geldt γ₁₂/γ₂₁=n₂/n₁.

Er geldt 1/γ₁₂γ₂₁=(1+v₁₂)(1+v₂₁)=(2n₁/(n₁+n₂))(2n₂/(n₁+n₂))=4n₁n₂/(n₁+n₂)²=(1-v²₁₂)=(1-v²₂₁)=(1+v₁₂)(1-v₁₂)

dus γ₁₂γ₂₁=1/(1-v²₁₂)=(n₁+n₂)²/4n₁n₂ en dit is het kwadraat van het harmonisch gemiddelde (HG) van n₁ en n₂, namelijk (2/(1/n₁+1/n₂))². Voor twee termen geldt dat het product van het harmonisch gemiddelde (HG) en het rekenkundig gemiddelde (RG), in dit geval dus (2/(1/n₁+1/n₂))((n₁+n₂)/2), gelijk is aan het kwadraat van het geometrisch gemiddelde (GG), in dit geval dus n₁n₂.

Klassiek neemt men van de vierkantswortel van γ₁₂γ₂₁ en men vergeet alle consequenties voor commensurabiliteit. Men stelt de verhouding (γ₁₂γ₂₁)^-1/2=(1/(1-v²₁₂))^-1/2=(1/(1-v²₂₁))^-1/2=(1-(n₁-n₂)²/(n₁+n₂)²)^-1/2 voor als γ. Dus: γ∼γ₁₂γ₂₁^1/2=((n₁+n₂)/2)/(n₁n₂₎^1/2, dit is de verhouding van het rekenkundig gemiddelde tot het geometrisch gemiddelde van n₁ en n₂.

De klassieke veronderstelling

Het is gemakkelijk te construeren hoe deze veronderstelling kan gemaakt worden en wat daar de gevolgen van zijn. We hebben immers drie getallen nodig: n₀, n₁ en n₂. We kiezen nu een van hen als eenheid. We hebben hierin een vrije keuze, wat relativiteit uitdrukt. Veronderstel nu n₁=1 en de andere veronderstellen we als kwadraten, wat onderbouwd wordt door de inwendige discriminatie onderzoeken, bijvoorbeeld n₂=m². Onder die veronderstelling wordt n₂/n₁=γ₁₂/γ₂₁=m² en (n₁+n₂)²/4n₁n₂=γ₁₂γ₂₁=(1+m²)²/4m² en dit is ((1+m²)/2m)² of dus een kwadraat, de verhouding van het rekenkundig gemiddelde van 1 en m² tot het geometrisch gemiddelde ervan.

In dit geval gelden:

γ₁₂/γ₂₁=n₂/n₁=m²

γ₁₂=(n₁+n₂)/2n₁=(1+m²)/2

γ₂₁=(n₁+n₂)/2n₂=(1+m²)/2m²

Dus als twee rekenkundige gemiddelden genoteerd:

γ₁₂=(1+m²)/2

γ₂₁=(1+m^-2)/2

En dan enkel met de gamma uitdrukkingen:

γ₁₂=(1+(γ₁₂/γ₂₁)²)/2

γ₂₁=(1+(γ₂₁/γ₁₂)²)/2

In het algemeen geldt ook dat 4γ₁₂γ₂₁=4/(1-v²₁₂)=(n₁+n₂)²/n₁n₂=(1+n₂/n₁)+(1+n₁/n₂) en dit is een som van dubbelgetallen.

In de veronderstelling dat γ₁₂/γ₂₁=n₂/n₁=m² geldt dan:

4γ₁₂γ₂₁=(1+m²)+(1+m^-2) als som van dubbelgetallen.

Een soort “eigen tijd”

Het kwadraat van het harmonisch gemiddelde (HG) van n₁ en n₂ is een eigenschap van getallen en staat los van de interpretatie ervan. We zullen nu een interpretatie voorstellen om het verschil met de klassieke Lorentz transformatie helder aan te tonen.

1/γ₁₂γ₂₁=4n₁n₂/(n₁+n₂)² kan ook genoteerd worden als τ²₁₂/t²₁₂ wanneer we τ²₁₂ definiëren als 4n₁n₂ en t₁₂ nemen als de gekende (n₁+n₂). Dus de verhouding t²₁₂/τ²₁₂ =γ₁₂γ₂₁=1/(1-v²₁₂). Zoals in de speciale relativiteitstheorie kunnen we de factor τ₁₂ een soort “eigen tijd” noemen van het simultaneïteitsinterval tussen de toestanden T₁ en T₂. τ²₁₂ is niet anders dan (n₁+n₂)²-(n₁-n₂)² en het is deze factor die de bekende invariant is van de theorie. De naamgeving komt van het feit dat τ²₁₂ niet anders is dan t²₁₂ op voorwaarde dat n₁=n₂ en dus er dus een lokaal evenwicht gemodelleerd wordt. Conventioneel zegt men in de speciale relativiteitstheorie dat het ruimte-interval (“de x-coördinaat”) dan gelijk is aan 0. Inderdaad geldt in dat geval: τ²₁₂=(n₁+n₂)²-(n₁-n₂)²=(n₁+n₂)²=4n₁²=4n₂².

τ²₁₂=4n₁n₂ is het product van de getallen die we relateren aan de toestanden T₁ en T₂ respectievelijk, getallen die voor elke agens verschillend zijn. Omdat de constructie van dit getal in het haakformalisme een veralgemening is van de klassieke “eigen tijd” zullen we dat de “eigen ij-tijd” (uit te spreken als “eigen ie-jee tijd”) noemen verwijzend naar de twee getallen n_i en n_j die een lokale verhouding van een verschil met het tijdsdomein meetbaar maken. De eigen ij-tijd is een kwadraat op voorwaarde dat n₁=n₂ en één toestand gemodelleerd wordt.

Modellering vanuit de laatst toegevoegde onderscheiding

Bij deze modellering zullen we vertrekken van twee rijen positieve gehele getallen waarvan één als de sporen van een klok herkend wordt, een “klok” heeft als enige vereiste dat het lokaal, hier en nu, gemeten getal enkel kan toenemen. We hebben dan de hypothese van twee soorten meetcontexten nodig en enkel getallen als sporen.

Hoe dit alles gerelateerd is met een laatst toegevoegde onderscheiding kunnen we te weten komen door een nieuwe berekening uit te voeren met de getallen uit de rijen x₀; x₁; x₂; x₃; x₄; x₅; x₆... en t₀; t₁; t₂; t₃; t₄; t₅; t₆…. Met deze getallen maken we nu als volgt een nieuwe rij door berekeningen (we maken dus een potentiële structuur) en niet door waarnemingen (de potentiële structuur is misschien niet waarneembaar): we sommeren overeenkomstige getallen en we trekken ze ook van elkaar af. Op die manier construeren we een nieuwe relatie: orthogonaliteit. We doen dit om met eenvoudige sporen de orthogonaliteit van de toestanden <ℵ<p>> en <<ℵ><q>> in een ervaren context te modelleren. De eerste operatie vormt de ordening t₀+x₀; t₁+x₁; t₂+x₂; ... De tweede operatie vormt de ordening t₀-x₀; t₁-x₁; t₂-x₂; ... Merk op dat we “appels en peren” met elkaar sommeren (getallen met een andere dimensie, een andere manier om waar te nemen), dus het bekomen getal is een representant van een (ongekende) potentiële structuur en geen scalair, vergelijkbaar met een complex getal dat ook een structuur is, of met een klassieke vector. Het sommeren levert een som van tralies op, aangezien de klassieke hypothese het onmogelijk maakt om door te dringen in een tralie opgebouwd met onderscheidingen. Welke structuur is dit dan? We kunnen het als volgt interpreteren in het haakformalisme: het abstract geconstrueerde AND-atoom (t+x)_i (beschouwd als een realisatie in verband met het niet meetbare maar wel berekenbare patroon (t+x)) en AND-atoom (t-x)_i (beschouwd als een realisatie in verband met het niet meetbare maar wel berekenbare patroon (t-x)) van een abstract geconstrueerd hoogste universum ("ℵ"-universum) zijn slechts op één moment ervaren. Het zijn AND-atomen omdat de t elkaar onderling uitsluiten en ook de x elkaar onderling uitsluiten. Het zijn dus toestanden. Dit veronderstellen we nu compatibel met het resultaat van ons onderzoek aan tralies. We hebben immers gezien dat een ervaren punt in het hoogste "ℵ"- universum altijd als de string «(p+q),(p-q)» voorgesteld kan worden. Inderdaad de sommatie zorgt voor don't cares, dus naast de haakvectorbits +1 en -1 die de potentialiteit voorstellen zijn er ook een of meer x of nulbits te vinden). Dus de parameters t en x kunnen als zodanig functioneren. We bewezen dat we de string «(p+q),(p-q)» ook kunnen schrijven als de parametervergelijking p+ℵq of ook als ℵ(1+i)r met i de imaginaire operator in het geval dat «p,q» gelijk is aan «r». Dus de parameter string die door de atomen van dit nieuw abstracte hoogste potentiële universum gerealiseerd wordt is: «(t+x),(t-x)» die staat voor een ervaren punt in het verder onbekende universum «r» gelijk aan de 1-splitsing «t,x». Stel dat de relatie die er bestaat tussen t en x een constante v is met x=vt dan bekomen we een veel eenvoudiger geval. We hebben niet meer twee variabelen, maar slechts een variabele: t, dus de string wordt «(t+vt),(t-vt)» dus «t(1+v),t(1-v)».

We zullen nu bewijzen dat deze string door t(1+vℵ) voorgesteld wordt, waarbij ℵ de string is van een laatst toegevoegde onderscheiding en het product t(1+vℵ) voor een scalaire vermenigvuldiging staat. Bewijs: ℵ is gegeven door de string «+1,-1». Dus is de naamstring vℵ gegeven door v«+1,-1» aangezien v een constante is, een naam, geen structuur, zelfs geen parameter, kan deze uitdrukking ook geschreven worden als de string «+v,-v». Bij deze string kunnen we nu 1 tellen (dit is de string «+1,+1») om dus «+1+v,+1-v» te bekomen, die dan met de parameter t kan vermenigvuldigd worden om t«+1+v,+1-v» te krijgen. QED

De parameter t is een variabele die als t«+1,+1» kan genoteerd worden en die de hele string "infecteert". Dit kunnen we interpreteren als de grootte van het universum, de intensiteit van de tralie met de twee punten «+1,+1» en «-1,-1» en de laatst toegevoegde onderscheiding als «+1,-1» versus «-1,+1». De bits worden dus door +t en -t voorgesteld in plaats van door +1 en -1. Alle bits worden t maal herhaald, t is een schaal en dezelfde intensiteit van elke verschillende bit. De parameter v is geen variabele maar een constante die als v«+1,+1» kan genoteerd worden en die hier als coëfficiënt optreedt enkel van een laatst toegevoegde onderscheiding. De functie t(1+vℵ) is een berekening die coherent is met de klassieke hypothese en die het mogelijk maakt hypothesen (niet waar te nemen constructies) te onderzoeken van potentiële universa die met ongekende onderscheidingen opgebouwd worden, die we dus zouden kunnen representeren met behulp van het haakformalisme.

Deze constructie is volledig coherent met de expliciete afleiding van haakvectoren, scalair product en klassieke vectoren (projectoren) uit het ene axioma. Geen van deze begrippen moet a priori aangenomen worden en hiervoor zijn geen “intuïties” (geometrische of andere) nodig, enkel een onderzoek aan operationeel goed gedefinieerde tabellen met “ja” en “neen”.

We hebben een ongekende parameterstring «(t+x),(t-x)» geconstrueerd in een ongekend groot universum. De string kan opgebouwd worden door gerelateerde intensiteiten van waarnemingen. We hebben bewezen dat deze berekende string deels potentieel is, deels ervaren is. Een laatst toegevoegde maar vluchtige onderscheiding levert ons getallen in een meetcontext. In de meetcontext t staan die getallen voor de intensiteit van t. In de meetcontext x staan die getallen voor de intensiteit van x. Als t en x gepaste contradualerende haakvector atomen zijn, dan staan die getallen in verhouding tot elkaar omdat ze eigenlijk contraduale aspecten van dezelfde entiteit of eigenschap meten die enkel simultaan te verwezenlijken zijn als de gemeten entiteit. De entiteit of eigenschap is het stabiel patroon dat in de twee waarnemingssettings waarneembaar is, dat in de berekening potentieel is en in de waarneming collapst naar een ervaren waarde.

De tralie die we zo opbouwen is dus eveneens de tralie van een nieuw geconstrueerd “momentaan” ℵ universum, of een 1-splitsing universum. Het vectorproduct van de twee geconstrueerde potentiële atomen moet dus -1 zijn (kan niet onderscheiden worden van het punt dat het ervaren zelf uitdrukt). Dit product zal niet veranderen door een scalaire vermenigvuldiging van het ene atoom met het getal k en van het andere atoom met het getal k^-1. «+k,-k»•«-k^-1,+k^-1»=«-1,-1». De scalaire vermenigvuldiging hebben we ook gegrond in het haakformalisme met behulp van de naamstrings.

Om de nieuwe abstracte tralie, die de beide dimensies t en x integreert, te construeren gaan we er van uit dat ook hier moet gelden dat het vectorproduct (t+x)•(t-x) het andersduaal punt geeft in een één-lager universum dat uniek bepaald wordt door t+x en t-x en in het ervaren zelf niet kan onderscheiden worden van <>. Als product van ongekende potentiële parameterstrings die iets stabiel opleveren hebben we verondersteld dat dit punt, als parameter beschouwd, een variabel getal als coëfficiënt zal hebben als een (momentele) "intensiteit" van dit punt. We hebben in eerste benadering dit getal constant verondersteld, inderdaad staat een scalaire vermenigvuldiging voor een disjunctie en dus invariant (minstens momenteel) in een tralie en dit konden we het duidelijkst illustreren met een binair model. We merken nu op dat elke getal-transformatie van de bits in het één-hogere universum dat dit scalair product in het één-lager universum invariant laat, eveneens hetzelfde getal van het punt (t+x)•(t-x) zal opleveren. Zo'n getaltransformatie kan enkel het gevolg zijn van een andere waarnemingscontext om hetzelfde (wat invariant is, onafhankelijk van de waarnemingscontext) te kunnen waarnemen. Dit drukt uit dat we volop in termen van relativiteit ons onderzoek uitvoeren. We zoeken dus twee getallen die als product 1 geven, dus een getal k (en zijn reciproque k^-1) zodanig dat k.k^-1=1. Zo'n getal k is als volgt te vinden: Neem als k = (n+m)(n²-m²)^-1/2 Dan is k^-1= (n-m)(n²-m²)^-1/2. Dit voldoet aan: {(n+m)(n²-m²)^-1/2}•{(n-m)(n²-m²)^-1/2=1 en {(n+m)(n²-m²)^-1/2}+{(n-m)(n²-m²)^-1/2=2n(n²-m²)^-1/2. De vermenigvuldiging geeft dus 1, dus wanneer de bits van de t+x string de coëfficiënt (n-m)(n²- m²)^-1/2 krijgen en de bits van de t-x string de coëfficiënt (n+m)(n²-m²)^-1/2 krijgen, dan hebben we een scalaire transformatie (vermenigvuldiging, disjunctie) uitgevoerd die het vectorproduct (t+x)•(t-x) invariant zal laten.

Door het feit dat we twee getallen hebben k^-1 en k en we een methode gevonden hebben om ze met ongekende strings te combineren, kunnen we deze transformatie ook als een string voorstellen met die getallen als componenten. Laten we de string expliciet opbouwen en er vervolgens een scalaire transformatie mee uitvoeren. «k^-1,k»=«(n-m)(n²-m²)^-1/2,(n+m)(n²-m²)^-1/2». We kunnen teller en noemer delen door hetzelfde getal n dat we verschillend van nul nemen. «+k^-1,k»=«((n-m)/n)((n²-m²)/n²)^-1/2,((n+m)/n)((n²-m²)/n²)^-1/2». Zodanig dat «k^-1,k»=«(1-m/n)(1-(m/n)²)^-1/2,(1+m/n)(1-(m/n)²)^-1/2». Wanneer m en n de verhouding v hebben tot elkaar, stel m.n^-1=v, dan wordt dit «k^-1,k»=«(1-v)(1-v²)^-1/2,(1+v)(1-v²)^-1/2». Dus «k^-1,k» stellen we ook voor als de naamstring (1-ℵv)(1-v²)^-1/2. Deze string staat dus voor een punt in een ℵ-universum dat de twee delen van een willekeurige string in dat universum op een gecoördineerde manier kan infecteren zodanig dat een gekozen maar onbekend punt, dat de relatie tussen beide uitdrukt, invariant blijft.

Laten we nu de scalaire transformatie naar die andere waarnemingscontext uitvoeren zoals we naamstrings met elkaar kunnen combineren. We moeten dus de string (1-ℵv)(1-v²)^-1/2 en de string t+ℵx met elkaar vermenigvuldigen:

(t+ℵx)(1-ℵv)(1-v²)^-1/2

((t-xv)+ ℵ(x-vt))(1-v²)^-1/2 aangezien ℵ.ℵ=1

(t-xv)(1-v²)^-1/2 + ℵ(x-tv)(1-v²)^-1/2.

Dit is terug een string van het type t'+ℵx'. We herkennen de Lorentz transformatie wanneer we stellen dat (t-xv)(1-v²)^-1/2=t' en (x-tv)(1-v²)^-1/2=x' waarbij t' en x' overeenkomstige parameters zijn. Ze zijn gemeten in een andere waarnemingscontext die een momentane densiteit v heeft ten opzichte van de eerste. Inderdaad: in beide contexten is dezelfde m.n^-1=v gedefinieerd maar met tegengesteld teken. De ene string is «t+vt,t-vt» of dus t(1+ℵv). De tweede string is (t-xv)(1-v²)^-1/2 + ℵ(x-tv)(1-v²)^-1/2. Dit hebben we dus geconstrueerd als een onvermijdelijk gevolg van een 1-splitsing met intervallen als coëfficiënten ((n_i-n_j)⊗(n_i+n_j))_ℵ.

De opbouw van de klassieke Lorentz transformatie

We zullen de Lorentz transformatie nu opbouwen met de veronderstellingen die klassiek gemaakt worden. De getallen die hier gemanipuleerd worden zijn coördinaten in frames die ten opzichte van elkaar bewegen. Men stelt zich dat visueel voor door een frame te verbinden aan een laboratorium en een frame te verbinden aan een raket die zich in een lijnrechte baan van het laboratorium verwijdert (dit is niet een voorbijvliegende raket). Er is slechts één richting van verandering en men kiest die als de x-as van het laboratorium en van de raket. Men kan dan het nulpunt van het frame vast kiezen voor het laboratorium en bewegend voor het raket frame. De snelheid waarin beide frames zich verwijderen noemen we v_rel. Dit is hetzelfde gezien vanuit beide frames, enkel de zin verandert. Dit komt overeen met de betekenis van een v_ij in het haakformalisme in de evenwicht situatie v₀₁+v₁₂+v₂₀=0.

De raket genereert een lichtflits naar alle richtingen, ook naar de richting van het laboratorium en men stelt zich de vraag hoe dat moet beschreven worden in beide frames met als enige veranderende coördinaten de ruimtecoördinaat x en de tijdcoördinaat t. Om beide uit elkaar te houden wordt voor het laboratorium (x, t) gebruikt en voor de raket (x’, t’). De Lorentz vergelijking zal dan moeten kunnen uitdrukken dat het ruimtetijd interval in beide frames hetzelfde is, dat wordt dan voorgesteld door de vergelijking: t²-x²=t’²-x’². Dit is uiteraard een getalvergelijking en de dimensie van de getallen is meter en dat wordt verantwoordt doordat alle informatie (getallen) tussen de gebeurtenissen uitgewisseld wordt met behulp van licht dat een vaste snelheid heeft in elk medium (in dit geval veronderstelt men het interstellaire vacuüm). Het haakformalisme modelleert dat door dezelfde waarnemingsresolutie te hanteren voor alle betrokken toestanden en standpunten.

De klassieke Lorentz transformatie is een lineaire transformatie van het type

t=Ax’+Bt’

x=Cx’+Dt’

De essentie van een lineaire transformatie is dat alle variabelen dezelfde exponent hebben (in dit geval is de exponent 1) zodanig dat ze elkaars functie kunnen innemen zonder vertekening van schaal.

Hiervan zullen we A, B, C en D kunnen afleiden van de klassieke veronderstellingen.

We begrijpen dat de “lichtflits gebeurtenis” gekarakteriseerd wordt door x’=0 en t’=t’. We proberen nu de karakterisering te vinden in het frame van het laboratorium, namelijk de gebeurtenis als functie van x en t. Voor de x is dat de positie van het nulpunt van het frame van de raket en dit is x=v_relt. Het haakformalisme maakt de v_rel zeer tastbaar door de keuze van de definitie van de verhouding van de geordende i en j in v_ij.

Uit t²-x²=t’²-x’² kunnen we dan afleiden:

t²-x²=t’² (want x’=0)

t²-v_rel²t ²=t’²

t²(1-v_rel²)=t’²

t=(1-v_rel²)^-1/2t’

Men stelt dan

t=γt’ voor de veronderstelling dat x’=0.

γ wordt de tijdrek genoemd: t is altijd groter dan t’. We zien dat t verschaald wordt met factor (1-v_rel²)^-1/2. Dat is de essentie van relativiteit want v_rel kunnen we interpreteren als gelijk welke v_ij.

Aangezien t=γt’ voor x’=0 kunnen we een tweede relatie tussen verschillende frames noteren: x=v_relγt’.

In de algemene vergelijkingen:

t=Ax’+Bt’

x=Cx’+Dt’

hebben we dus met x’=0

t=Bt’

x=Dt’

en dit maakt duidelijk dat we B en D gevonden hebben:

t=γt’

x=v_relγt’

En de lineaire vergelijkingen worden:

t=Ax’+γt’

x=Cx’+v_relγt’

Vallen nog te bepalen: A en C.

We gebruiken terug t²-x²=t’²-x’² die we nu kunnen schrijven als

(Ax’+γt’)²-(Cx’+v_relγt’)²=t’²-x’²

A²x’²+2Ax’γt’+γ²t’²-C²x’²-2Cx’v_relγt’-v_rel²γ²t’²=t’²-x’²

(A²-C²)x’²+2γ(A-Cv_rel)x’t’+γ²(1-v_rel²)t’²=t’²-x’²

Rechts van het gelijkheidsteken is er geen term in x’t’, dus die term in het linkerlid moet gelijk zijn aan nul.

2γ(A-Cv_rel)x’t’=0

Omdat γ altijd verschilt van nul volgt hieruit dat A=Cv_rel

Rechts van het gelijkheidsteken is de coëfficiënt van x’² gelijk aan -1, dus dat moet ook gelden voor de term in het linkerlid (als we dit als een verschaling willen interpreteren) dus hieruit volgt (A²-C²) en met A=Cv_rel vinden we dus C: C²v_rel²-C²=-1 of -C²v_rel²+C²=1 of C²=1/(1-v_rel²)

Dus C=1/(1-v_rel²)^1/2 of dus (1-v_rel²)^-1/2 en dus C=γ en hieruit volgt dat A=γv_rel

En de lineaire vergelijkingen worden:

t=γv_relx’+γt’

x=γx’+v_relγt’

Voor het berekenen van de inverse merken we op dat voor de raket de snelheid waarin het laboratium zich verwijdert gelijk is aan -v_rel (de tegengestelde zin, bijvoorbeeld v₁₀ versus v₀₁) dus als we die substitutie doorvoeren en tevens de variabelen met accent vervangen door deze zonder accent en vice versa, dan bekomen we de inverse vergelijkingen:

t’=-γv_relx+γt

x’=γx-v_relγt

Dit is de vorm van de Lorentz transformatie met als gemeenschappelijke eenheid voor de verhoudingen v_rel het getal 1, of zoals men de eenheid klassiek definieert: c=1 met c de lichtsnelheid en met de eenheid de kleinste fractie van c (dus 1/c). Dus v_rel is de intensiteit van 1.

De klassieke getallen x, x’, t, t’ worden afgeleid van de getallen n_i (met i=0, 1, 2) zoals we ze gebruikt hebben, we hebben al getoond dat we ze bijvoorbeeld kunnen construeren wanneer we één van de drie getallen als eenheid kiezen. Daarenboven “bewegen de frames”, dat betekent dat het frame gekarakteriseerd wordt als een gebeurtenis met t’=0=t bij de start in het laboratorium, maar elke bijkomende gebeurtenis in de raket wordt gekarakteriseerd door een t’: daar start die nieuwe gebeurtenis. De snelheid waarin frames zich rechtlijnig verwijderen of benaderen hebben we v_rel genoemd. Dat is niet anders dan een “gezamenlijk naam” voor de getallen v₀₁, v₀₂ en v₁₂ en hun omgekeerden waartussen we vrij kunnen kiezen. We kunnen dan nog andere veronderstellingen ontdekken die duidelijk zullen worden eens we een nieuw begrip zullen introduceren (een nieuwe Lorentz invariant en nulpunt). Om een volledige beschrijving te maken van de relatie van tijdsverschillen met de getallen n_i moeten we de meer abstracte Lorentz transformatie van het haakformalisme nog verder ontwikkeld hebben.

Lorentz transformaties met andere parameters

We moeten nu niet vergeten dat t en x en hun verhouding een voorbeeld waren. Ook andere verhoudingen tussen andere parameters (vrijheidsgraden) vertonen dezelfde afhankelijkheid van in elkaar transformeerbare waarnemingscontexten die begrensd worden door een maximale resolutie waarboven (of waaronder) altijd dezelfde intensiteit gerapporteerd moet worden, die uitdrukt dat er geen verschil meer waargenomen wordt dat een verschil maakt.

Een zeer gekende verhouding die verandert is de verhouding van twee ruimtelijke verschillen. Met een gewone toepassing van gekende wiskundige berekeningen die hier enkel geschetst wordt, wordt dit eenvoudig voorbeeld uitgebreid tot de drie orthogonale ruimtelijke dimensies en de betrokken rotatie matrices.

Vier dimensies kunnen dan geïnterpreteerd worden als de vier dimensies (t, x, y, z) waarbij t dan de tegengestelde signatuur krijgt van de drie ruimtelijke dimensies. Een “boost” van het nulpunt (iets wat niet uitgevoerd kan worden in werkelijkheid) is te schrijven als een v gelijk aan tanhφ en dus als sinhφ/coshφ, zodanig dat de Lorentz transformatie ook te schrijven is als

t'=t coshφ-x sinhφ

x'=-t sinhφ+x coshφ

en dus

t'=γ(t-x(v/n²))

x'=γ(x-vt)

met γ=(γ₁₂γ₂₁)^1/2=(1/(1-v²₁₂/n²))^1/2 waarbij n=c als de “lichtsnelheid” geïnterpreteerd wordt.

Besluit

Met enkel verhoudingen van intervallen, dimensieloze getallen die we coderen als v_ij, kunnen we een variant maken van de Lorentz transformatie. De Lorentz transformatie is een relatie tussen (sommen en verschillen van) de positieve gehele getallen van één rij: n₀, n₁, n₂, … die sporen zijn van metingen met toestanden T₀, T₁, .… Deze relatie is gelijk aan (n_i+n_j)²-(n_i-n_j)² en hierdoor is deze ook te interpreteren als een soort “eigen tijd” in de overgang van n_i naar n_j wat te interpreteren is als een eigenwaarde die aanleiding geeft tot een verdubbeling of halvering van een intensiteit.

Het patroon dat we in die transformatie dus kunnen herkennen blijkt universeler te zijn dan enkel in zijn klassieke interpretatie van een Lorentz transformatie met snelheid. De interpretaties die we ontwikkeld hebben in het haakformalisme voor v_ij mogen uitgebreider zijn: zowel “verhouding”, “verschil”, “velocity” (snelheid), “vaart”, “vlugheid”, “veelvuldigheid” (frequentie), “versnelling” of “vermogen” (energiedensiteit, energie per vrijheidsgraad T) zijn toepasselijke interpretaties. Hierdoor is de modellering in het haakformalisme abstracter en relevant voor verschillende soorten eenheden en hun intensiteiten.