Het fundamenteel idee van relativiteit is dat we zouden willen begrijpen en modelleren hoe het komt dat de werkelijkheid onafhankelijk kan verondersteld worden van de modellen die we gebruiken om deze te beschrijven, hoe de werkelijkheid op verschillende manieren te anticiperen is en hoe er toch mee kan geïnterageerd worden vanuit verschillende standpunten. Het is immers duidelijk dat we, hoewel we ons in verschillende toestanden kunnen bevinden, toch met elkaar kunnen communiceren.
Een typisch voorbeeld van een model wordt een referentieframe genoemd van waaruit een agens een lokale toestand beschrijft: welke waarderingen of zelfs intensiteiten (getallen) het agens ook zou moeten verbinden aan eigenschappen van objecten “daarbuiten” (bijvoorbeeld hun aanwezigheid, misschien zelfs posities), toch begrijpen we dat het gedrag van die objecten door die waarderingen niet veranderd wordt, enkel de manier van beschrijven moet aangepast worden aan elk gekozen referentieframe. Het referentieframe met zijn geometrische a priori’s zullen we nu kunnen vervangen door een onderscheidingen universum. Bijvoorbeeld in het domein van de geometrie: een eigenschap van verschillende geometrische posities is de afstand ertussen en we kunnen die afstand vanuit verschillende referentieframes beschrijven zodanig dat we die met elkaar kunnen communiceren en we dan begrijpen dat we “hetzelfde aspect” (de constructie “afstand”) bedoelen. Wat we dan bedoelen is een relatie die een symmetrie is. De verandering moet kunnen beschreven worden in dat referentieframe en dus kan dat referentieframe geen invariante zijn van de verandering: het onderscheidingen universum moet opgespannen worden door onderscheidingen die veranderen, maar ook door onderscheidingen die niet veranderen. Het referentieframe verwijst naar de onderscheidingen die veranderen, het is asymmetrisch voor de verandering, een ander referentieframe geeft andere getallen terwijl de afstand die hiermee beschreven wordt dezelfde is voor elk referentieframe. De manier waarop we daarover praten maakt gebruik van het begrip “snelheid” en dit is een begrip dat veel a priori veronderstelt (zowel “geometrische eigenschap” als “tijd” worden als evidenties aanvaard) en daardoor zeer weinig onderzocht werd. We zeggen dat “de snelheid van een voorwerp ten opzichte van ons” even groot is als “de snelheid die wij hebben ten opzichte van het voorwerp” en dit wordt zonder morren aanvaard omdat dit op spectaculaire manier door iedereen (die kan zien) kan ervaren worden die zich in een trein bevindt naast een andere trein die in het station vertrekt.
In het haakformalisme kunnen we beide evidenties op een operationele manier construeren uit de hypothese dat we getallen kunnen vinden (“geometrie-achtig”) als sporen van toestanden die elkaar uitsluiten (“tijd-achtig).
Het kan verbazend zijn maar om asymmetrie en symmetrie te onderzoeken hebben we niet meer nodig dan te veronderstellen dat we beschikken over een reeks getallen ni met i=0, 1, …, j van metingen van intensiteiten van een toestand waarmee we ons afvragen of deze reeks zou gegenereerd worden door één tralie, één werkelijkheid. Daartoe interpreteren we de reeks getallen (ni van metingen van intensiteiten van een toestand) op het meest abstracte niveau dat we aankunnen. Elk getal is dus de intensiteit van een eenheid waarbij de intensiteit gelijk kan zijn aan nul en de eenheid verschillend moet zijn van nul. Elk getal is dus een m/n waarbij n verschillend moet zijn van nul. Sommige getallen zijn te kiezen (de rationale getallen), sommige getallen kunnen enkel gebeuren (de reële getallen). Aangezien er altijd ook iets anders gebeurt dan datgene waarvoor we kiezen, zullen we ook in de getallenwereld twee reeksen getallen nodig hebben. Daarenboven willen we dat alle bekende wiskundige bewerkingen leiden tot een nieuw getal en dat betekent dat we ook moeten veronderstellen dat n verschillend moet zijn van 1, n is dus een dubbelgetal van het type n=1/(1±k) omdat dan m=(1±k)-x (met 0<k<1) een nieuw getal kan zijn voor gelijk welke keuze van x. De keuze voor x=2 is een bijzondere keuze omdat we daarmee alle mogelijke relaties in een tralie van getallen kunnen modelleren.
Voor n=1/(1+k) zijn de grenzen die niet bereikt worden -1 en oneindig.
Voor n=1/(1-k) zijn de grenzen die niet bereikt worden 1 en oneindig.
We kunnen dan met die getallen patronen zoeken, bijvoorbeeld door te vergelijken met een reeds bekende reeks, n’i met i=0….j. We vragen ons dan bijvoorbeeld af of er een patroon is in de verhouding ni/n’i of in een meer ingewikkeld wiskundig verband want we kunnen met de bestaande reeks ook een nieuwe reeks maken van verhoudingen (ni-ni+1)/(ni+ni+1) van opeenvolgende getallen en dan patronen zoeken in die nieuwe reeks enz… Het is daarbij belangrijk dat we onszelf niet blokkeren in een interpretatie en daarom hebben we het concept “processnelheid” zeer uitgebreid onderzocht als basis van de verhouding ni/n’i. De keuze voor processen weerspiegelt de keuze voor het specifieke van elkaar uitsluitende toestanden en dit is te meten aan de (elkaar uitsluitende, onmogelijk simultane) stappen in een proces. Wat we dan bestuderen is de relativiteit van processen: het proces dat een willekeurige agens meemaakt zal door een andere agens op een andere manier meegemaakt worden.
Bij het maken van een onderscheiding, noem deze a, is a relatief ten opzichte van <a> gedefinieerd. Dat betekent dus bijvoorbeeld in twee onderscheidingen dat het patroon van een AND-atoom op vier manieren kan uitgedrukt worden: <<a><b>>, <a<b>>, <<a>b> of <ab>. Dat betekent in de praktijk dat het standpunt dat elke agens inneemt gereflecteerd wordt in één van die AND-atomen, en niet in alle vier. Dit kunnen we uitdrukken door “het ervaren van een atoom vanuit een standpunt”. Deze “ja” kan een intensiteit hebben (de intensiteit van de laatst toegevoegde onderscheiding, a of <a>) en die intensiteit kan een evolutie tonen.
Bij het genereren van een bitstring is de hoogbit 1 en de laagbit 0. Hoog en laag zijn gedefinieerd ten opzichte van elkaar, zodanig dat twee bitstrings nodig zijn om dit te kunnen beschrijven: als ze zich positioneren ten opzichte van elkaar, zullen ze altijd een aantal bits gelijk hebben en een aantal bits verschillend (wat die bits ook zouden zijn). Dit kan men ook zo uitdrukken: aangezien we strings met elkaar kunnen vergelijken zullen ze hetzelfde aantal bits moeten hebben, en dan onderscheiden ze zich door het aantal bits dat ze gemeen hebben (en het complement ten opzichte van het totale aantal is daar dan het duale van, namelijk het aantal bits dat ze verschillend hebben). In bitstring is het ook heel gemakkelijk duidelijk te maken dat ook elk niveau door een patroon gekenmerkt wordt (elk niveau heeft zijn eigen verhouding van hoogbits tot laagbits), wat al veel moeilijker te duiden wordt in een ander model voor het haakformalisme.
Bij de constructie van een simultaneïteitsinterval is het verschil van twee welgevormde haakuitdrukkingen niet anders als van elke welgevormde haakuitdrukking een zelfde haakuitdrukking afgetrokken of opgeteld wordt, bijvoorbeeld (y⊕<x>)=(y⊕z)⊕<(x⊕z)>. Dit herkennen we als een eigenschap van “snelheid”, een referentiepunt (een aantal toestanden, een bepaald onderscheidingen universum) is willekeurig te kiezen en enkel een verandering hiervan is waarneembaar.
Bij de constructie van verhoudingen van twee welgevormde haakuitdrukkingen is die niet anders als elke welgevormde haakuitdrukking met dezelfde welgevormde haakuitdrukking vermenigvuldigd wordt. Dat is enkel zo voor welgevormde haakuitdrukkingen, immers neem m•h en n•h. De verhouding m•h•n•h is niet anders dan m•n•<<>>. Dit staat in contrast met m•(<>⊕h) en n•(<>⊕h). De verhouding m•(<>⊕h)•n•(<>⊕h) is niet anders dan m•n•(<>⊕h). Welgevormde haakuitdrukkingen gedragen zich dus als getallen en getallen hebben geen dimensie. Het ene getal kunnen we bijvoorbeeld vermenigvuldigen met k en het andere met k-1 en het product van beide zal niet veranderen, zo kunnen we nog voorbeelden vinden van het behoud van verhouding. Noteer echter dat we dan altijd spreken van een 1-splitsing universum. Een koppel (h1, h2) is de uitdrukking van een 1-splitsing en is een andere notatie voor (h1⊗h2)a, de coëfficiënten in een basis, basis die hier gevormd is uit de projectoren van de welgevormde haakuitdrukking a. Wanneer we a veronderstellen als de laatst toegevoegde onderscheiding die niet ingebouwd wordt (namelijk ℵ) dan is een referentie een standpunt h1•h2 in de basis “ℵ”, waarbij h1•h2 de afgeleide is naar ℵ. Pas onder die voorwaarden kan van een invers gesproken worden. Inderdaad, een invers is enkel gedefinieerd voor toevoeging van dezelfde onderscheiding en dan is (h1⊗h2)ℵ het invers van (h2⊗h1)ℵ ten opzichte van h1. Dit is dus een onvermijdelijk gevolg van de veronderstelling van ℵ. Een nadere precisering is in het geval de coëfficiënten getallen zijn, en een nadere precisering van het invers is dat er een verhouding tussen twee getallen moet verondersteld worden, en een volgende veronderstelling is dat die verhouding constant zou kunnen zijn.
De structuur van de werkelijkheid begrijpen we nu, sinds meer dan een eeuw al, als iets in vier dimensies dat we een ruimte-tijd noemen. Uiteraard kunnen we dit ook vanuit het haakformalisme modelleren. Inderdaad kan elke welgevormde haakuitdrukking als een som van vier welgevormde haakuitdrukking uitgedrukt worden die daarenboven een intensiteit kunnen hebben. Hetzelfde geldt voor elke projector van een welgevormde haakuitdrukking. Als de welgevormde haakuitdrukkingen atoomburen zijn kunnen we ze onderzoeken binnen de klassieke hypothese of een 1-splitsing. Dit is de manier waarop deze som van vier welgevormde haakuitdrukkingen in het haakformalisme onderzocht kan worden zonder a priori over ruimte, noch tijd, enkel door aan te nemen dat er onvermijdelijk een laatst toegevoegde onderscheiding moet zijn. Inderdaad hebben we aangetoond dat het altijd mogelijk is een welgevormde haakuitdrukking (ruimte-tijd interval) met drie projectoren uit te drukken waarbij de laatst toegevoegde onderscheiding (die dus tijd kan coderen) in de projector geen rol speelt. Maar daarmee drukken we natuurlijk uit dat dit afhankelijk is van ons standpunt. Een standpunt kunnen we altijd innemen en dan zullen we (lokaal) een Euclidische ruimte kunnen opspannen in drie dimensies. De structuur in deze vier dimensies die uit het haakformalisme duidelijk wordt is niet Euclidisch of, in standaard taal uitgedrukt, deze structuur is niet plat. De structuur van een tralie kunnen we afbeelden op een bol maar die geometrische constructie is optioneel en verwarrend als men zou denken dat “die bol zich in een driedimensionale ruimte bevindt”. De voorstelling is enkel relevant omwille van de hypothetische straal van de bol waarvan het invers een kromming kan kwantificeren. Een platte structuur is maar een van de vele modellen die hun voordelen bewezen hebben in concrete toepassingen. Inderdaad kunnen we een lokaal inertiaalstelsel als referentieframe vinden waarin spontaan evoluerende observatoren (de beruchte observatoren in vrije val) de speciale relativiteitstheorie terugvinden. De speciale relativiteitstheorie functioneert in een platte ruimte-tijd en hierin wordt beschreven dat er een vaste coëfficiënt te vinden is die als verhouding moet begrepen worden met de dimensie van een snelheid (meter/seconde), namelijk c (die we de lichtsnelheid noemen), zodanig dat een ruimte-tijd interval (een eigenschap van de werkelijkheid) in vier dimensies kan beschreven worden. Dit zette het klassiek idee op de helling dat er zoiets zou bestaan als een absolute tijd, en maakt het onvermijdelijk dat het begrip simultaneïteit evenzeer afhankelijk is van het ingenomen standpunt, of “de waarnemer in zijn context”. We tonen aan dat een vaste begrensde verhouding voor gelijk welke andere eenheid geldt. Door gebruik te maken van de verschillende modellen die uit het ene axioma op een operationeel te verifiëren manier kunnen afgeleid worden zullen we dus de speciale relativiteitstheorie construeren uit het haakformalisme en we zullen ook het Einstein equivalentie principe kunnen construeren, het principe dat zegt dat het in “voldoende kleine regionen” van de ruimte-tijd (de vier dimensionale constructie) onmogelijk is om een zwaartekracht veld te detecteren. Zwaartekracht modelleren we als aantrekkingskracht, zwaartekracht kunnen we ook modelleren op de manier waarop dit met hedendaagse hypothesen onderzocht wordt. We zullen aantonen dat dit vanzelfsprekend is omdat er altijd kan verondersteld worden dat iets, dat een noodzakelijke voorwaarde is voor wat we nu ervaren, invariant is, welke keuze van tralie we ook zouden willen maken. Dat noemen we dan bijvoorbeeld massa of energie enz….