Gravitatie is een van de mogelijke voorbeelden van een verandering met een constante eigenwaarde die daardoor ook aanleiding geeft tot een verandering van de verandering met een constante eigenwaarde als kwadraat van de eerste. Het is niet nodig om hiervoor de parameters te gebruiken van “afstanden in de ruimte-tijd”.

Gravitatie kan dus ook op andere manieren gemodelleerd worden. We geven hier het voorbeeld van een model van gravitatie als een entropische kracht waarbij de aantrekking het gevolg is van een warmtebad. Dit model voor gravitatie is geïnspireerd door wat Erik Verlinde deed in 2010, iets wat we onmiddellijk konden plaatsen in het haakformalisme. Het kan een nieuw licht werpen op het “holografisch scherm” dat hij wil invoeren, het blijkt niet anders te zijn dan het zeer abstracte boloppervlak dat de relaties kan representeren in een tralie opgespannen door onderscheidingen. Deze benadering van gravitatie zou even valide moeten zijn omdat we in het haakformalisme aantonen dat het product van de gemiddelde energie met een willekeurige parameter en het verschil van de vermogen-densiteit met die parameter (dit product hebben we als 2EA gemodelleerd), een intensiteit van 1 is (de intensiteit van een scalair), die onafhankelijk is van de keuze van die parameter. Deze scalair is gelijk aan een verschil van kwadraten. We kunnen voor deze parameter ook tijd kiezen, maar we kunnen ook 1/tijd kiezen (of met andere woorden: frequentie) of temperatuur, of afstand enz.… Deze keuze is onafhankelijk van de keuze die we gemaakt hebben om de vermogen-densiteit uit te drukken, de scalair heeft dus toch een eenheid en dat is de eenheid van de densiteit van vermogen en omdat we een vrije keuze hebben kunnen we ook dezelfde keuze maken. We kunnen dus spreken van het vermogen V als de densiteit van energie E met de eenheid “stap”, maar als we spreken over de densiteit van de densiteit van vermogen (dus A) dan spreken we van mogelijks twee verschillende eenheden, de “stap” van <<de densiteit van vermogen, symbool V>> en de “stap” van <<de densiteit van <<de densiteit van vermogen>>, symbool A>>. Als we dan voor beide dezelfde keuze maken dan drukken we daarmee uit dat we dezelfde onderscheidingen gebruiken om een universum op te spannen. Als we niet dezelfde keuze maken (en bijvoorbeeld als densiteit van energie tijd nemen en als densiteit van vermogen afstand) dan modelleren we krachten.

In plaats van de parameter “tijd” om vermogen (de densiteit van energie) te modelleren, kiezen we nu, geïnspireerd door wat Erik Verlinde veronderstelde, voor de parameter “temperatuur”. Temperatuur hebben we gedefinieerd als een potentiaal bij evenwicht, als een invariante disjunctie, als een gelijkwaardigheid van “lading”. Dus kunnen we spreken van een vermogen als een energie per temperatuurinterval. Vermogen als een energie per tijdsinterval is dan niet het uitgangspunt maar moet dan geconstrueerd kunnen worden als gevolg van het onderzoek wanneer temperatuur in functie van tijd verandert. Temperatuur is nu de schaalfactor in de processnelheid en temperatuur kiezen we los van tijd. De schaal “tijd” kiezen we onafhankelijk van de schaal “temperatuur” om de grenzen van die veronderstelde keuzevrijheid te onderzoeken. Onze focus is nu op het thermisch vermogen en dat is niet anders dan de entropie (want de thermische energie wordt gegeven door het product van de absolute temperatuur (Kelvin), het potentiaal, met de entropie). Zolang er een temperatuurverschil is, is er een entropiestroom en dus ook exergiestroom in de richting van evenwicht. De grens van het model is dan de situatie waarin er geen temperatuurverschillen meer kunnen waargenomen worden en “iets” en “iets anders” zich op zelfde temperatuur bevinden: het warmtebad. Dit is dus niets anders dan het evenwicht van thermische energiestromen.

Exergie (de beschikbare energie die we nu veronderstellen door de aantrekking van massa’s) verandert in de richting van (minstens) één vrijheidsgraad met een processnelheid en bij de verandering neemt de exergie af (de nog beschikbare energie is lager naarmate meer energie gebruikt werd of verloren gaat) en de entropie (de energie die gebruikt werd of verloren gaat doordat een temperatuur niet te vermijden is) neemt toe. Deze uitspraak geeft alle verwachtingen weer die we willen modelleren: als massa’s botsen komt er thermische energie vrij, hoeveel moeite we ook zouden willen doen om iets anders te kiezen in een materiële context, blijkbaar is noch aan gravitatie noch aan temperatuur te ontsnappen. Het zou dus kunnen dat beide afgeleid zijn van iets dat fundamenteler is: het enige axioma van het haakformalisme (of zoals Erik Verlinde veronderstelt: een “informatieprincipe”). Het is dat wat we nu willen doorgronden.

De toename van entropie is een spontaan gebeuren. Er is een hoeveelheid (een intensiteit) die spontaan toeneemt, hoeveelheid die gekwantificeerd kan worden als een getal dat de intensiteit van een eenheid geeft. We hebben aangetoond dat dit getal gegenereerd wordt door de eigenwaarde van de verandering en dat deze eigenwaarde een maximaal getal moet zijn van een positieve feedback die geen nieuwe entiteiten creëert. Positieve feedback is mogelijk in twee richtingen: steeds meer positief of steeds meer negatief. Voor een spontane verandering is de eigenwaarde het getal 1. Dit zorgt voor de maximale onzekerheid in welke toestand het proces (de verandering) zich bevindt (wat een andere formulering is van een spontaan proces: de onbepaaldheid of willekeurigheid, het “niet-te-kiezen” aspect van een proces).

Energie is een concept dat we construeren vanuit de waarneming van vermogen en om dat te doen hebben we klassiek gezien twee eenheden nodig, “een verschil” en “een verschil van een verschil”. Het is het vermogen dat de intensiteit van één parameter, één vrijheidsgraad, kan modelleren als een specifieke verhouding van beide eenheden. Vermogens die zo vastgesteld worden kunnen gesommeerd worden. Vermogen is de densiteit van energie voor een vrijheidsgraad die we vrij kunnen kiezen (bijvoorbeeld tijd of temperatuur of… en deze “of” is een disjunctie). In het binair model van het haakformalisme is dat de intensiteit van één bit. Energie modelleren we dan als som van het commutatief product van vermogen en de vrij gekozen parameter, een som die enkel kan verantwoord worden als alle termen elkaar uitsluiten. We moeten nu proberen om die disjunctie goed voor ogen te houden, dit is dus geen exclusieve disjunctie. Dus ook exergie en entropie zijn waarneembaar als een som van vermogens, een som van commutatieve producten, een som van de disjunctie <<intensiteit of eenheid>> niet verschillend van een product, producten die door een schaal met elkaar zijn gerelateerd. Daar is niets absoluut aan. Een verhouding (1-n)/(1+n) is altijd te schrijven als een product (1-k)(1+k) (inderdaad: neem k²=2n/(1+n)). Er is dus geen wezenlijk verschil tussen een breuk en een product, beide zijn voorbeelden van hetzelfde patroon. De kwantificering hangt af van de eenheden die gekwantificeerd worden, en een gegeven relatie F (een welgevormde haakuitdrukking) van eenheden kan eventueel omgezet worden in andere eenheden (in een andere welgevormde haakuitdrukking G), waarbij dus de kwantificering ook anders zal zijn maar wel overeenkomt met de empirische resultaten van de metingen in functie van die andere eenheden zodanig dat men kan besluiten dat F en G hetzelfde modelleren (dit is de essentie van relativiteit). In het binair model van een welgevormde haakuitdrukking kunnen we dan al die sommen modelleren door gekwantificeerde bits te concateneren, onafhankelijk van welke parameter we kiezen om vermogen te meten.

Het is dus niet verbazend dat een procedure om die gekwantificeerde modellen in elkaar te vertalen geen evidentie zal zijn. We hebben bewezen dat dit kan met matrices (operatoren) en structuren van matrices (tensoren), technieken die door de hedendaagse wiskundigen goed gekend zijn, en ook de infinitesimalen hebben we in het haakformalisme gemodelleerd omdat ze door de hedendaagse wiskundigen als niet te vermijden beschouwd worden.

Naar analogie met de doorbraak in inzicht bij de veronderstelling dat de verhouding van afstand tot tijd voor sommige entiteiten een constante kan zijn (de grens van de resolutie, een verschil dat een verschil maakt is niet meer waar te nemen), zullen we nu ook andere hypothetische verhoudingen modelleren en daarvan de gevolgen onderzoeken.

Als eerste eenheid nemen we nu v, het verschil van toestanden (de processnelheid bij een stap in de verandering die we vrij kunnen kiezen maar die we nu anders kiezen dan verandering van temperatuur, we behandelen v nu als een ander potentiaal, bijvoorbeeld de verandering van afstand), de intensiteit hiervan noemen we nu S, de entropie. De entropie hebben we afgeleid van uit de toename van onzekerheid in een spontaan proces. In een spontaan proces neemt de entropie toe met eigenwaarde k=1. Dus, met n de onderscheiden stappen in het proces, neemt de intensiteit van de eenheid van entropie toe met (1+k)ⁿ en dit is niet anders dan (1+1)ⁿ. De eenheid van entropie is nu anders dan “verandering van temperatuur”, het is de verandering van v. Dat is dus een niet lineaire relatie van de intensiteit van de eenheid, dus S=f(C)v met C een metrische parameter zoals een niveauverschil in een tralie en f(C) een exponentiële functie, in eerste benadering dus 2^C. Maar de vermogens die we dan bekomen kunnen we niet zomaar optellen omdat ze elkaar niet uitsluiten. Een exponentiële functie die wel voldoet aan de eis van telbaarheid is bijvoorbeeld de functie die het aantal elkaar uitsluitende punten per niveau geeft als gevolg van de beperking van het aantal onderscheidingen dat gebruikt wordt om een universum op te spannen. Dit wordt gemodelleerd door de onbegrensde toename van een verhouding: (1-k_n)k_n^-1 en is afhankelijk van welke toestand we kiezen als referentie om te bepalen welke andere elkaar uitsluiten. We hebben vastgesteld dat die exponentiële functie niet anders is dan de Fermi-Dirac verdeling voor toestanden op hetzelfde niveau. Een andere exponentiële functie die wel alle niveaus overspant is dan de Bose-Einstein verdeling, en we hebben op die manier ook de Maxwell-Bolzmann verdeling kunnen reconstrueren. We kunnen dus deze drie verdelingen gebruiken, afhankelijk van wat we willen modelleren.

De intensiteit van het verschil van toestanden (v) is evenredig met de toename van entropie en de evenredigheid is een functie van een aantal en dat aantal is het aantal elkaar uitsluitende punten (toestanden) (typisch is dat “per niveau”, niveaus die gekwantificeerd worden door de stappen in het proces, stappen die we kiezen als de constante toename of afname van “iets anders dan temperatuur”).

We hebben al begrepen dat we met behulp van verschillen altijd een evenwicht kunnen veronderstellen. Bij evenwicht hebben we aangetoond dat we een parameter (bijvoorbeeld massa of een andere structuur) als een constant aantal kunnen interpreteren en dat die constante moet te maken hebben met de mogelijkheden van transformatie van soorten energie in elkaar. Dus we kunnen altijd een m veronderstellen en veronderstellen dat S=f(C)mv. Hiermee geven we aan dat de verandering lineair afhankelijk is van massa (die dus als additief gemodelleerd wordt), lineair met processnelheid v, maar op een of andere niet lineaire manier afhankelijk van een andere parameter C.

Energie is niet anders dan het product van een gemiddeld vermogen (die de energiedensiteit is, de verhouding met een vrij te kiezen geordende parameter P) en het interval P. De parameter P is willekeurig te kiezen in het haakformalisme omdat we enkel “vermogen” (de wortel uit V²) als kwantificering van het getal 1 gebruiken en het vermogen kan de intensiteit zijn van een andere eenheid. De thermische energie is gedefinieerd en meetbaar als T°S. Dit is een product van twee getallen met elk hun eigen eenheid. We zullen nu stellen dat dit niet anders is dan T°f(C)mv in de hoop dat we dan iets meetbaars over de parameters kunnen vinden wanneer we de processnelheid v interpreteren als een ruimte-tijd parameter en dus een vermogen in de ruimte-tijd veronderstellen. We veronderstellen dus dat het thermisch vermogen T°S overeen komt met een vermogen Fv waarbij F een nog niet gespecificeerde kracht is in de ruimte-tijd en v een snelheid in de ruimte-tijd. Dus met ander woorden: we veronderstellen dat T°f(C)m=F. Die kracht F kan dan niet anders zijn dan de entropische kracht omdat er enkel een temperatuur (en een massa of andere invariante structuur of potentiaal) nodig is om een kracht te genereren. We veronderstellen nu dat deze kracht aantrekking is. Dit is meetbaar bijvoorbeeld bij een uitgerekte macro-molecule die in een medium van kleine molecules door invloed van temperatuur spontaan een kleiner omhullend volume bezet (omdat de delen van de macro-molecule zich nu naar elkaar toe kunnen bewegen) en dus een nieuw evenwicht bereikt dat eventueel terug kan verstoord worden.

In het ruimte-tijd repertorium koppelen we aan een kracht altijd een versnelling a zodanig dat F=ma. Hiermee gaan we dus ook een ruimte-tijd versnelling koppelen aan een entropische kracht. Hierbij heeft a de dimensie van een ruimte afstand tot het kwadraat van een tijd afstand. Voor velen is dat een a priori, maar hier is dat niet het geval: we formuleren F=ma omdat we hiermee het a-priori willen en kunnen afleiden vanuit een fundamenteler standpunt, zoals het ook gedaan wordt in de algemene relativiteit, of zoals ook Verlinde het afleidt uit een informatieprincipe. Dus in onze veronderstelling moeten we uit de veronderstelling F=ma afleiden dat voor de entropische kracht geldt dat T°f(C)=a. Als we veronderstellen dat T° een scalair is, moet f(C) dus een ruimtelijke dimensie hebben (een richting en een zin).

Vermogen is meetbaar, energie kan enkel berekend worden. Vermogen is een intensiteit omdat we moeten kunnen spreken van een “gemiddeld vermogen” ½(V₁+V₂) om de energie E=½(V₁+V₂)P te berekenen met de vrij te kiezen parameter P. We hebben aangetoond dat energie een twee dimensionale afstand is zoals de twee dimensionale afstand in een tralie, energie is dus in het ruimte repertorium een oppervlakte. Dit gegeven is het fundamentele inzicht dat de oorsprong is van alle andere afleidingen en een gevolg is van het enige axioma.

Elk punt in een tralie kan infimum of supremum zijn (er zijn geen singuliere punten) en kan dus toestanden modelleren die een intensiteit kunnen hebben. Of een punt een toestand is, is afhankelijk van het ingenomen standpunt, toestanden bevinden zich minimaal op afstand 1 van het standpunt, maar toestanden zijn daartoe niet beperkt. Dus alle punten in een tralie (en zo zijn er in n onderscheidingen N=2EXP2ⁿ) kunnen een eigen intensiteit hebben en de tweedimensionale afstand op het boloppervlak in het universum met n onderscheidingen is dan de maat, de grootte van een oppervlakte. Een volledige tralie kunnen we dus voorstellen als de oppervlakte van een wiskundig gedefinieerde bol (zonder dat dit daarom moet overeenkomen met een fysische interpretatie ervan): 4πR². Een bol is immers ook fysisch te realiseren en helpt ons om ons iets voor te stellen zonder singulariteit. Dit modelleert dan een lokale “kromming” voor een gegeven universum dat als invariant beschouwd wordt. De kromming is de waarde van R en we kunnen ons dat voorstellen omdat de oppervlakte van een bol geen “begin of einde heeft”, alle standpunten op de bol zijn evenwaardig. De enige singulariteit is dat R gelijk zou zijn aan nul. Een onderscheidingen universum is een gesloten structuur en zo zijn er verschillende, een torus zou een andere gesloten structuur kunnen zijn en we kunnen bedenken dat er hyper-oppervlakken mogelijk zijn (zoals we een tralie in twee onderscheidingen kunnen afbeelden op een 4-hyper-cube) en al deze oppervlakken illustreren (in hun disjunctie) het bedoelde ontbreken van singulariteit.

Een alternatieve maat voor R (de afstand van alle punten op de bol tot een centraal punt, afstand die tot het begrip “kromming” geleid heeft) zou een “densiteit” kunnen zijn: het aantal te onderscheiden punten die met een minimaal verschil (dat we als eenheid nemen) afwijken van één punt (het aantal buren van een punt). Hoe meer punten, hoe kleiner de kromming, hoe minder punten, hoe groter de kromming. Enkel voor de buren van een punt geldt dat ze ofwel ruimer, ofwel fijner zijn, begrippen die gebruikt zouden kunnen worden om te definiëren welke buren “binnen” of “buiten” liggen, een heel duidelijke splitsing.

We kunnen nu veronderstellen dat de energie in dat universum (eventueel maar niet noodzakelijk gelijkmatig) verdeeld is over die punten bij evenwicht. We veronderstellen immers dat energie kan gesommeerd worden en niet toeneemt noch afneemt, het heeft geen singulariteit. De verdeling van die punten beschrijven we door de tralie van het universum en beelden we af op een boloppervlak. Daar komt dus een temperatuur mee overeen gegeven door het equipartitie beginsel E/N=½ k_BT°. Met dus N=2EXP2ⁿ en de maat (het oppervlak) 4πR² wordt de energie dus gegeven als E=2πR²k_BT°. Een mogelijke eenheid van die energie is dus de eenheid van temperatuur.

De impuls in het ruimte-tijd universum is de verhouding Ev/c². Hierin is c de bekende constante met dimensie een (proces)snelheid in de ruimte-tijd. De energie (en dus het gemiddeld vermogen in het eenheidsinterval met een vrij te kiezen parameter P) van een massa M is dus Mc². Die massa M is dus ook een constante die te maken moet hebben met de mogelijkheden van transformatie van soorten energie in elkaar zoals we veronderstelden voor m. Hiermee geldt dus E=2πR²k_BT°=Mc² en hieruit volgt: T°=MK/R² met K een constante. We interpreteren: aan elke massa kan ook een temperatuur verbonden worden, en dat zal dus ook gelden voor de massa m, de massa van de structuur die niet geïntegreerd is met de structuur met massa M. Massa en temperatuur zijn blijkbaar andere intensiteiten voor dezelfde willekeurig te kiezen eenheid P. Die eenheid is de eenheid van vermogen, vermogen die de abstracte energiedensiteit is, de verhouding met een vrij te kiezen geordende parameter P. We meten massa en temperatuur op een verschillende manier, maar de beide intensiteiten zijn met een schaalfactor K/R² met elkaar verbonden die enkel van de grootte van een onderscheidingen universum afhankelijk is: we kunnen de grootte van P vrij kiezen, het aantal onderscheidingen dat we gebruiken om de werkelijkheid te modelleren kan vrij gekozen worden en elke keuze zal in werkelijkheid leiden tot het waarnemen van andere intensiteiten van de eenheden die we hanteren voor massa en temperatuur.

Bereken nu de kracht F=ma=mT°f(C)=Kf(C)mM/R² en dit is, mits de keuze van de “lokale constante” G=Kf(C), de gravitatiekracht. Hierbij is R een maat van lokale kromming “veroorzaakt” door een massa M die groter verondersteld wordt dan m. Wanneer de massa’s samenklonteren (elkaar aantrekken) interpreteren we dat het onderscheidingen universum kleiner geworden is, er kunnen minder onderscheidingen gemaakt worden, de entropie is afgenomen omdat het aantal mogelijke soorten afgenomen is. De spontane samenklontering van massa is het verloren gaan van onderscheidingen die de massadeeltjes een individualiteit hadden kunnen geven.

De gravitatie potentiaal is een scalaire potentiaal zoals een temperatuur potentiaal en wordt dus gemodelleerd door de gekwantificeerde eenheden van het haakformalisme, eenheden P die vrij te kiezen zijn (het zijn de onderscheidingen).

De waarde <<>> is de tweede afgeleide naar de laatst toegevoegde onderscheiding, dus de fundamentele versnelling is M<<>>. De versnelling a van m is niet te vermijden, entropie neemt altijd toe tot evenwicht bereikt wordt. In de evenwichtssituatie is er geen ordening meer waarneembaar, iets is zeer klein (groot) geworden en onwaarneembaar kleiner (groter).