We gaan nu de karakteristieken van een proces onderzoeken waarin sommige gebeurtenissen (toestanden van het proces) frequenter voorkomen dan andere. Toestanden zijn welgevormde haakuitdrukkingen die elkaar uitsluiten. De exclusieve disjunctie van twee toestanden is niet verschillend van de gewone disjunctie en dat is eveneens een eigenschap van het creatief product met een toegevoegde onderscheiding die al dan niet ingebouwd wordt in de tralie. Dat creatief product is een disjunctie (niet verschillend van exclusieve disjunctie) van twee toestanden. Dank zij die laatst toegevoegde onderscheiding genereren toestanden elkaar uitsluitende sporen in een proces. Die sporen zullen we als resultaten van het proces interpreteren en we spreken van de resultatenruimte van het ervaren. Dus: als we geen idee hebben van de karakteristieken van het proces, toch kunnen we (dank zij die sporen) een hypothese zoeken voor het ongekend proces, want aangezien de sporen elkaar uitsluiten zijn ze een soort en dus een entiteit die te tellen is en is een som te berekenen. Als we een som kunnen berekenen kunnen we ook totalen berekenen in categorieën (of verschillende soorten) van sporen. De (contextgebonden) waarneming van die sporen geeft dan de mogelijkheid om de waarschijnlijkheid te berekenen (de verhouding van niet gekozen aantallen in een gekozen deel-soort als fractie van een gekozen totaal-soort). Wat we tellen zijn dus vooraf gekozen soort sporen die we zouden kunnen verbinden aan een vooraf gekozen soort gebeurtenissen die karakteristiek zouden zijn voor een onbekend soort proces. Dat zou dan op de eerste plaats een proces kunnen zijn waarvan de toegevoegde onderscheidingen niet ingebouwd worden in de bekende tralie. Indien de laatst toegevoegde onderscheiding wel ingebouwd wordt, dan onderscheiden we misschien nog meer soorten processen die bij elk spoor een andere tralie genereren, maar we moeten niet sneller willen lopen dan we kunnen.

Het is helemaal niet vanzelfsprekend om aantallen toestanden op te tellen of te vermenigvuldigen enz… aangezien dit enkel zinvol is voor entiteiten van dezelfde soort (bijvoorbeeld entiteiten die dezelfde waarde hebben, waarde die verder niet gekend moet zijn). Toestanden sluiten een referentietoestand uit, maar daarom nog niet elkaar, tenzij ze allemaal waarde <<>> hebben. Veronderstel immers twee aantallen toestanden Ω(a) en Ω(b) waarvan a een (referentie)toestand is en b een andere (referentie)toestand is. Dus a is de disjunctie van de toestanden met aantal Ω(a) en b is de disjunctie van de toestanden met aantal Ω(b). Dus a sluit een aantal toestanden van een bepaalde soort (noem deze Sa) uit, en b sluit een aantal toestanden van een bepaalde soort uit (noem deze Sb). Als a onafhankelijk is van b dan is er voor elke a (en dus voor elke toestand die a uitsluit) een b (en dus ook een toestand die b uitsluit). De referentietoestanden kunnen samen voorkomen, maar dat hoeft niet en één van de referentietoestanden kan gekozen worden zonder dat daardoor de andere gekozen wordt. Het totaal aantal toestanden zou dan het product Ω(a)Ω(b) zijn, maar dat klopt enkel als alle toestanden elkaar wederzijds uitsluiten. Veronderstel nu dat a een willekeurig referentiepunt is van soort Sa en ook dat b een willekeurig referentiepunt is van soort Sb, dan kan het niet anders dan dat al deze toestanden elkaar eveneens uitsluiten want dan kiezen we niet (er is geen criterium waarop gekozen kan worden, dat is de essentie van “willekeur”, de enige “soort” is “willekeurig”). Elke mogelijke conjunctie van een a van soort Sa en een b van soort Sb heeft dan waarde <<>> en het totaal aantal toestanden is dan het product Ω(a)Ω(b). Dit is dan een maximum aantal. Dit is niet anders dan het inzicht dat een soort geheel getal een priemgetal is en dat elk geheel getal een product is van priemgetallen.

In de kwantificering van het stappenmodel zou dan elke willekeurige soort als <<1>> kunnen voorgesteld worden en de soort <<1>> met het product aantal als een concatenatie. We divergeren dan het universum.

In plaats van alle toestanden onderling te vergelijken om afhankelijkheid te onderzoeken, kunnen we beter vergelijken per niveau. Immers: voor een bepaald niveau kunnen de punten niet simultaan zijn. Indien we een relatie van simultaneïteit gevonden hebben tussen toestanden van niveau i en niveau i+n of i-n, dan geldt dit ook voor hogere (lagere) niveaus. Elk punt kan immers maar 2n buren hebben. Voorbeeld: neem 00111111, dit punt heeft twee ruimere buren, namelijk 01111111 en 10111111, en zes fijnere buren, namelijk 00011111; 00101111; 00110111; 00111011; 00111101 en 00111110. Die sluiten elkaar dus niet uit. Een punt van hetzelfde niveau kan 00111111 ofwel uitsluiten (bijvoorbeeld 11100111) ofwel niet (bijvoorbeeld 01101111). Zoals we het uitsluiten kunnen berekenen met een conjunctie (die dan niet verschillend is van <<>>) kunnen we ook simultaneïteit berekenen met een conjunctie. We brengen daartoe de beschouwde toestanden van a (noem deze Ta) samen met de inbedding van de toestanden van b (noem deze Tb) in hetzelfde universum en berekenen de conjunctie, dus in welgevormde haakuitdrukking <<Ta>Tb>. Wanneer deze niet verschillend is van <<>> dan is Tb (de toestand ten opzichte van referentie b) fijner dan die van a (namelijk Ta). Uiteraard moeten we ook het omgekeerde onderzoeken en dus onderzoeken we in één beweging of <<Ta>Tb><Ta<Tb>> verschillend is van <<>>. Hieraan is voldaan als Ta en Tb dezelfde waarde hebben wat die ook moge zijn, dus ofwel beide gelijk aan <<>>, of beide gelijk aan <>.

Stel nu dat we beschikken over twee aspecten a en b die we naar willekeur en onafhankelijk van elkaar kunnen “aanzetten” en “uitzetten” (of die autonoom dat gedrag vertonen zonder dat we daar enige invloed op hebben maar gedrag dat we met “ja” of “neen” kunnen classificeren) en dat we (het spoor van) een relatie (soort) R observeren die door die dynamiek verandert (aanwezig is of afwezig is). “Aanzetten” is er voor kiezen dat het aspect ervaren wordt. “Uitzetten” is er voor kiezen dat iets anders dan het aspect ervaren wordt. Dit is het proces dat we gedurende een tijdje laten lopen en waarvan we de sporen verzamelen. Impliciet veronderstellen we nu dat deze herhaling mogelijk is, dus dat er tijdens het proces geen veranderingen gebeuren in de soorten die beïnvloed worden en die we observeren, enkel in de intensiteit ervan. We bestuderen dus een proces in een evenwicht situatie: er is nog wel verandering maar het is geen verandering van het aantal relevante onderscheidingen en van de patronen die ze vormen. In 50% van de situaties is a “aan” en onafhankelijk daarvan is ook in 50% van de situaties b “aan”. Dit herkennen we als pure willekeur. We kunnen nu observeren dat de relatie R (die we gekozen hebben te observeren) helemaal niet willekeurig is (en dus afwijkt van 50% afwezig en 50% aanwezig). Stel dat we observeren dat in 25% van de gevallen de relatie R “aan” is, dan zouden we de dynamiek (het verschil van de intensiteit van de waardetoekenning aan twee toestanden in het grootste universum) kunnen afbeelden op de mogelijke gebeurtenissen van een twee onderscheidingen universum. Inderdaad, wat we observeren zijn (elkaar uitsluitende) toestanden en in dat universum is de verdeling aan/uit (ja/neen) 50% voor zowel a als voor b, en is de verdeling voor een atoom 25% “aan” versus 75% “uit”. Dit is duidelijk vanuit de tabel van twee onderscheidingen. De relatie R blijkt dan een relatie te zijn enkel afhankelijk van a en b, want stel dat het percentage nog extremer zou zijn (stel 10% tegenover 90%) dan zouden twee onderscheidingen a en b niet voldoende zijn om de relatie te modelleren en zou het modelleren enkel in een groter universum kunnen waarvan we dus veronderstellen dat het telkens weer gerealiseerd wordt. Dus als we (elkaar uitsluitende) toestanden observeren dan kunnen we zoeken in welke universa ze als toestanden optreden, enkel op basis van hun frequentie van voorkomen (de frequentie van de sporen die één op één gerelateerd zijn met een toestand). Dus met het voorbeeld: in één universum 50%, in een ander universum 25% en dit blijkt voldoende te zijn, dan is het grootste universum een twee onderscheidingen universum. De basis hiervoor moet in het ideale geval de volledige willekeur zijn van onafhankelijke aspecten, ze bevinden zich in het gevonden universum op centraal niveau. Merk op dat de waarschijnlijkheden rechtstreeks uit het bitstring model af te leiden zijn (in twee onderscheidingen heeft een atoom 1 bit op 4 bits die afwijkend is van de andere, dus 25%). Dus voor dit onderzoek is het bitstring model perfect. Aangezien het aantal atomen gelijk is aan 2n, dat ook de lengte van de bitstring is, is er steeds een aantal onderscheidingen te vinden dat de verdeling kan modelleren. Bijvoorbeeld 210 is 1024 en het kleinste percentage is dan ongeveer 1 op 1000.

Merk op dat aan/uit (ja/neen) geen beperking is, dit werkt ook voor intensiteiten, we kunnen een intensiteit altijd karakteriseren door twee binaire beslissingen (bijvoorbeeld de eerste nemen we als “groter of gelijk aan x” voor “aan” en “kleiner dan x” voor “uit”, de tweede nemen we als “groter of gelijk aan x+y” voor “aan” en “kleiner dan x+y” voor “uit” en als alle punten elkaar uitsluiten kunnen we deels overlappende intervallen als relaties onderscheiden die dan in een Venn diagram voor te stellen zijn).

Een eerste stap in dit onderzoek is een catalogisering van toestanden zodanig dat we aantallen van een bepaalde soort kunnen herkennen en dus verzamelen. Toestanden zijn slechts toestanden ten opzichte van elkaar en dat is onafhankelijk van een bepaald universum. Bijvoorbeeld: <a<b>> sluit <ab> uit, of ze nu in vier bits, in acht, in zestien… bits uitgedrukt worden. In die zin bepaalt elke toestand een soort, namelijk de soort bepaald door de toestanden die hijzelf uitsluit en daarenboven kan die soort een intensiteit hebben: het aantal maal dat het bitpatroon herhaald wordt in het grootste universum dat de evenwichtssituatie voldoende beschrijft. Het patroon zal onveranderd zijn omdat de verhouding aan/uit niet verandert. Bijvoorbeeld: <a<b>> vertoont de verhouding 1/4 in twee onderscheidingen en (4 maal 1)/(4 maal 4) in vier onderscheidingen.

De catalogisering van toestanden kunnen we dus beginnen met de vaststelling dat twee toestanden in een lager universum ook toestanden zijn in een hoger universum maar dan op een dieper niveau of op een andere schaal. Dat betekent dat toestanden zich uiteindelijk op alle niveaus kunnen bevinden. Op welk niveau ze zich bevinden kunnen we kiezen door een andere grootte van onderscheidingen universum. Dank zij het inzicht in simultaneïteit zullen we een niveau interpreteren als een soort. Een atoom is een soort en is beschikbaar vanaf één onderscheiding, dat geldt ook voor een onderscheiding die dus ook een soort is. Een één onderscheiding universum is het enige universum waarop atoom en onderscheiding zich op hetzelfde niveau bevinden. Sommige soorten zijn pas beschikbaar bij een voldoende groot universum. Bijvoorbeeld potentiële atoomburen zijn slechts beschikbaar vanaf twee onderscheidingen. In twee onderscheidingen zijn 1110 (∼<<a><b>>) en 1101 (∼<a<b>>) atomen (sluiten elkaar uit) en hun representatie in drie onderscheidingen, namelijk 11101110 en 11011101, zijn atoomburen in dat drie onderscheidingen universum en sluiten elkaar ook uit. En ook: in drie onderscheidingen zijn 11111010 (∼<<a><c>>) en 11110101 (∼<a<c>>) atoomburen die elkaar uitsluiten, maar ze zijn opgespannen door maar twee onderscheidingen. Op alle niveaus zullen we dus elkaar uitsluitende punten vinden. Op centraal niveau zijn dat dan inbeddingen; dus elk punt op centraal niveau heeft maar één ander punt dat het uitsluit op centraal niveau. Op het hoogste (laagste) niveau is er maar 1 punt namelijk <<>> of <>. Maar kiezen we een toestand T dan zullen we ook op alle niveaus toestanden vinden die T uitsluiten en dat zijn soorten en ze zijn dus te tellen in de universa waarin ze als andersduaal gemodelleerd kunnen worden.

Verder kunnen we vaststellen dat toestanden (op hetzelfde niveau of op verschillende niveaus) noch simultaan zijn, noch onafhankelijk zijn van elkaar. Per niveau kan er telkens weer (bij elke herhaling van het proces in het ervaren) maar één toestand aanwezig zijn, immers: stel dat dit niet zo zou zijn dan zouden ze elkaar niet uitsluiten aangezien ze gerealiseerd zouden worden door een toestand op een hoger niveau (of zouden gebeuren simultaan met een ingebedde toestand op een lager niveau). Aangezien we een aantal welgevormde haakuitdrukkingen per niveau kunnen onderscheiden en sommige daarvan toestanden zijn voor elkaar, kunnen we ook voor het maximaal aantal toestanden in een tralie een verdeling verwachten van aantallen tussen het centraal niveau en het extreme niveau. Als we soorten toestanden zouden kunnen onderscheiden dan zal de soort toestand dan gegeven worden door het niveau, en aangezien het niveau een metrische maat is en er per niveau telkens slechts één toestand geselecteerd wordt, dan zouden we ook de toestanden van verschillende niveaus bij elkaar kunnen optellen. Het kan dus onmogelijk a priori duidelijk zijn welke som in een concreet geval gemaakt werd, dit kan hooguit achteraf vastgesteld worden.

We beschikken dan goed gedefinieerde aantallen in soorten die opgeteld een totaal aantal toestanden van een “globale” soort vormen. Met die verdeling kunnen we dan een waarschijnlijkheid berekenen

We stippen daarbij ook aan dat potentiële (dus welgevormde) haakuitdrukkingen die elkaar uitsluiten daarom nog niet elkaar uitsluiten in een gecollapst universum of in een universum met onvoldoende onderscheidingen om uitsluiting te kunnen uitdrukken (wat we hierboven uitdrukten in de term “vooraf gekozen”). Toestanden sluiten elkaar uit ten opzichte van een infimum (disjunctie): het uitsluitingsniveau of repertorium. Gewoonlijk kiezen we <> als infimum. De hele redenering blijft opgaan voor een gecollapste haakuitdrukking waarbij don’t cares ontstaan en het infimum als bijvoorbeeld 000xxxxx aangegeven zal worden, enkel drie bits coderen hier potentiële structuur en het aantal punten dat elkaar uitsluit zal sterk gereduceerd zijn en enkel het gevolg zijn van de relaties tussen die drie bits.

Na dit eerste snelle inzicht bouwen we de catalogisering heel kwantitatief op met het bitstring model van het haakformalisme en dit vanaf een eenvoudig startpunt in drie onderscheidingen.

De verdeling van het aantal toestanden in een tralie

Toestanden zijn relatief, ze worden gedefinieerd met behulp van minstens een tweede punt dat ze uitsluiten. Als we één toestand kiezen kunnen we die positioneren ten opzichte van minstens één soort, namelijk al de punten die door de toestand uitgesloten worden in een bepaald universum zonder dat we daarom ook die toestanden moeten kunnen kiezen, ze zullen enkel maar gebeuren. Dat is te tellen omdat we nooit dubbel zullen tellen. Sommige van die niet gekozen punten (ze zijn natuurlijk niet simultaan met de gekozen toestand) kunnen simultaan zijn met elkaar en zijn dus zeker niet van hetzelfde niveau. Een soort kunnen we onderscheiden door de punten verder te karakteriseren, bijvoorbeeld “van hetzelfde niveau”, “enkel van de oneven niveaus” of “van gelijk welk niveau”. Bijvoorbeeld: neem <<>>, dit sluit slechts één punt uit van hetzelfde niveau, namelijk <<>>, maar sluit ook elk ander punt uit, hoe groot het onderscheidingen universum ook gekozen wordt en veel daarvan zijn simultaan. In drie onderscheidingen zijn dat dus in totaal 28 punten, in n onderscheidingen zijn er dat dus 2EXP2n. Voor <<>> kunnen we niet kiezen, dus de waarschijnlijkheid is 0 van het realiseren van een toestand in het geval “zelfde niveau” als in het tweede geval “gelijk welk niveau”.

Voor een AND-atoom kunnen we wel kiezen. Neem een AND-atoom in drie onderscheidingen, dit sluit niet elk ander punt meer uit, maar slechts 27 (dus 28-1) andere punten (“van gelijk welk niveau”). De waarschijnlijkheid dat een AND-atoom in drie onderscheidingen een willekeurig ander punt uitsluit is dus 27/28=50%. Vergelijk dat met de vaststelling dat een AND-atoom 2n-1 punten uitsluit van hetzelfde atomair niveau in n onderscheidingen (“van hetzelfde niveau”), punten die elkaar ook wederzijds (dus twee-aan-twee) uitsluiten en de waarschijnlijkheid daarvan is 2-n, en voor drie onderscheidingen is dit 1/23=12,5%. Het bitstring model geeft ook hier de berekeningswijze aan. Dit maakt onmiddellijk duidelijk dat de beide soorten toestanden (“van hetzelfde niveau” versus “van gelijk welk niveau”) door hun waarschijnlijkheid van optreden uit elkaar kunnen gehouden worden. De waarschijnlijkheid dat een AND-atoom een willekeurig ander punt uitsluit is altijd 22expn-1/22expn=50%, onafhankelijk van het opspannende universum. De waarschijnlijkheid dat een AND-atoom een ander AND-atoom uitsluit is altijd 2-n en dit getal is afhankelijk van het aantal onderscheidingen die hun universum opspannen. Het verschil tussen de twee manieren van tellen wordt goed geïllustreerd door het gooien van een dobbelsteen waarbij men tot de onvermijdelijke conclusie komt van zuivere willekeur (een waarschijnlijkheid van 50%) in het geval men de categorieën waarin de waarnemingen moeten ondergebracht worden niet kent, en een waarschijnlijkheid verschillend van ½ in het geval dat men het aantal categorieën kent (een waarschijnlijkheid van 1/n).

Een atoombuur in drie onderscheidingen sluit 26 punten uit in drie onderscheidingen (dit is 2(8-2)) maar 212 in vier onderscheidingen (dit is 2(16-4)), waar het uiteraard geen atoombuur meer is, en zo ook 224 in vijf onderscheidingen (dit is 2(32-8)). We kunnen dat veralgemenen als volgt: een willekeurig punt op niveau m sluit een aantal punten uit in een ongekend universum met n AND-atomen, aantal gelijk aan 2(n-m) waarbij m<n en n en m vrij te kiezen zijn en n de lengte geeft van het bitstring model (dat ook een deel van het universum kan representeren, namelijk het relevante deel, als n geen macht van 2 is).

We merken dat we minstens twee soorten soorten kunnen onderscheiden, (“van gelijk welk niveau”) versus (“van hetzelfde niveau”). Zij hebben een soort duale verhouding tot elkaar. We gaan nu de verdeling van toestanden in de “soort” van beide soorten expliciteren.

Een soort van gelijk welk niveau

Het gebruik van het begrip “waarschijnlijkheid” is enkel zinvol als een optelling leidt tot een maximum zodanig dat dit als 1 kan gekozen worden. Hieraan voldoet het totaal aantal punten in een gekozen onderscheidingen universum maar ook het aantal atomen en het aantal punten op hetzelfde niveau.

De waarschijnlijkheid dat <<>> een ander punt uitsluit is 1 (in drie onderscheidingen is dit dus 28/28 of 100%, in vier onderscheidingen is dit dus 216/216 of 100%). Dus de waarschijnlijkheid dat <<>> ervaren is, is 0.

Op het AND-atoom niveau in drie onderscheidingen zijn er 8 haakuitdrukkingen die elkaar uitsluiten. Er zijn immers 8 posities waar één 0-bit kan gevonden worden. Dit is het enige niveau waarop alle punten elkaar wederzijds uitsluiten. In totaal zijn er dan 27=128 toestanden die door één punt op atomair niveau uitgesloten worden. Die 128 toestanden hebben als gemeenschappelijk kenmerk dat ze slechts één 1-bit gemeenschappelijk hebben: de bit die in het AND-atoom dat ze uitsluiten een 0-bit is. Bijvoorbeeld: neem het atoom 01111111, dit sluit de volgende welgevormde haakuitdrukkingen uit die beginnen met een 1-bit: 11000111, 10010000, enz…. Uiteraard zijn er simultane punten te vinden in die 128 toestanden, bijvoorbeeld: 11100011 is simultaan met 11000000 en beide sluiten 01111111 uit. De waarschijnlijkheid dat een AND-atoom een ander punt uitsluit in drie onderscheidingen is 1/2 (dus 27/28 of 50% in drie onderscheidingen, 215/216 of 50% in vier onderscheidingen), ofwel de helft van de punten die door <<>> uitgesloten worden. Zuivere willekeur bevindt zich altijd op AND-atoom niveau en aangezien we altijd iets ervaren kunnen we niet ontsnappen aan zuivere willekeur.

We kunnen dus spreken van één toestand per niveau (die het niveau representeert) en dan tellen hoeveel punten door die toestand uitgesloten worden. Niveauverschillen zijn metrisch. We kunnen de verdeling van het totaal aantal toestanden voor een punt per niveau grafisch uitzetten voor drie onderscheidingen, het niveau op de abscis, het aantal op de ordinaat:


In het grootste onderscheidingen universum dat voor ons bereikbaar is heeft dit aantal dus een maximum. We kunnen altijd een kleiner relevant aantal kiezen en dus kunnen we ook een waarschijnlijkheid berekenen in verschillende keuzen. Wat we nu ook zouden kiezen als totaal aantal (noem dit N, het totaal aantal punten in een universum bijvoorbeeld), het relatieve aantal van punten die uitgesloten worden door een toestand op niveau m is 2m/N, het relatieve aantal voor een toestand op het aanpalend niveau m+1 is 2m+1/N. De verhouding is 2-1=50%. Dat geldt voor alle aanpalende niveaus. De interpretatie hiervan is duidelijk: entiteiten kunnen zich slechts op de even niveaus bevinden omdat enkel die soorten telbaar zijn, een oneven niveau bevindt zich daar vlak naast en modelleert gedrag. Het modelleren van willekeurig gedrag van een entiteit is dus onvermijdelijk, het modelleren van een bepaald soort gedrag zal een relatie zijn tussen aantallen op niet aanpalende niveaus.


De verdelingsfunctie (de verhouding van de aantallen in twee opeenvolgende niveaus) is dus constant. We herkennen de verdeling als de geometrische verdeling met p=1/2, zodanig dat P(n)=(1-p)n-1.p=(1/2)n. Dit betekent dat, als we de niveaus op een lijn uitzetten zoals in de bovenstaande grafiek (en alle niveaus op gelijke afstand van elkaar aangezien niveauverschillen metrisch zijn), dat er enkel een maximum (of minimum) te herkennen is in de uiterste niveaus (we nummeren de niveaus van 1 tot en met 9 en de totaliteit van de toestanden is dan 511). Veel belangrijker is het volgende inzicht: het maximum (of minimum) is vrij te kiezen, N is vrij te kiezen, het onderscheidingen universum is niet a priori bepaald, ook het totaal is niet op voorhand bepaald, het totaal aantal toestanden kan vrij gekozen worden we zijn ooit beginnen tellen en kunnen blijven tellen). Dit betekent concreet dat, als we het aantal sporen (toestanden) beoordelen naar het niveau waarop ze zich voordoen, dat we altijd een niveau kunnen kiezen waarop zich dat aantal voordoet. Er is dus een volledig vrije keuze van niveau omdat er een volledig vrije keuze is van universum (kies een niveau, stel m, en je vind een universum groter dan m waarbij de getelde toestanden zich op het niveau m bevinden). De sporen die in die toestand gegenereerd worden zijn dus relevant in alle universa en in een onderscheidingen universum zijn de aantallen overeenkomend met m en n een macht van twee. Een log2 transformatie van beide assen levert de volgende grafiek op:


Aangezien de toestanden elkaar uitsluiten en de niveauverschillen metrisch zijn kunnen we de aantallen op elk niveau optellen, zo bekomen we een geometrische reeks en aangezien de verhouding kleiner is dan 1 (in dit geval is de verhouding ½) convergeert de reeks en dit maakt de waarschijnlijkheid van een aantal toestanden een zinvol begrip. De verdeling van het totaal aantal toestanden dat door een punt op een bepaald niveau uitgesloten wordt is uiteraard enkel door het onderscheidingen universum beperkt. De reeks 2-1+2-2+2-3+...+2-n is (voor gelijk welke n) een benadering voor het getal 1 en leidt tot de volgende cumulatieve distributie, die we hier voorstellen voor een totaal aantal van 511.


Als we dus in staat zijn de intensiteit van een soort waar te nemen aan mogelijke sporen kunnen we dat relateren met een vrij te kiezen niveau in een tralie van waaruit dat aantal waargenomen wordt. Een paar voorbeelden van zo’n sporen: de sporen gerelateerd aan de toestanden a en <a> met disjunctie <> of aan de toestanden <xi> en<<x>i> met disjunctie <xi><<x>i>, of aan de toestanden <x<h1>> en <<x><h2>> met disjunctie <x<h1>><<x><h2>>, waarbij dat laatste dus een algemeen voorbeeld is voor gelijk welke 1-splitsing. Op die basis kunnen de toestanden nog verder gecatalogiseerd worden: andersduale en de rest. De andersduale kunnen, dank zij de inbeddingssymmetrie, geteld worden en coderen dus impliciet voor een aantal, de andere niet. De andersduale kunnen enkel op even niveaus voorkomen en het aantal andersdualen is exact het aantal punten op eenzelfde niveau in een universum met één onderscheiding minder.

Een soort van hetzelfde niveau

Op het uiterste niveau is er 1 welgevormde haakuitdrukkingen en het sluit zichzelf uit (als <<>>) of in (als <>), correcter maar abstracter: het is niet te onderscheiden van zichzelf.

We volgen de redenering met laagbits en hoogbits maar exact dezelfde redenering is mogelijk voor het geval de posities niet betekend of don’t care zouden zijn.

Op het AND-atoom niveau in drie onderscheidingen zijn er 8 haakuitdrukkingen die elkaar uitsluiten. Er zijn immers 8 posities waar één 0-bit kan gevonden worden. Het aantal is dus 8!/1!7!. Dit is het enige niveau waarop alle punten elkaar wederzijds uitsluiten. Elkaar wederzijds uitsluiten is onvermijdelijk, wat we formeel terugvinden als het infimum van deze 8 welgevormde haakuitdrukkingen: het infimum is <>.

Er zijn 28 atoomburen in drie onderscheidingen en dat zijn de bitstrings met 2 laagbits (0) en 6 hoogbits (1). Voor elke positie zijn er 7 (namelijk 7!/1!6!) varianten met een 0 op die positie. Een atoombuur die de variant met een 0 op een bepaalde positie uitsluit, moet dus een 1 hebben op die positie en dat is dus exact hetzelfde aantal. Er blijven nog 28-7=21 bitstrings over met op die positie een 1. Van die 21 zijn er 6 (6!/1!5!) met de 0 op een andere positie en die worden uitgesloten door een even groot aantal met 1 op die positie. Blijven over: 21-6=15 kandidaten en dit is 6!/2!4!. Dus dit is het aantal welgevormde haakuitdrukkingen op datzelfde niveau (twee 0-bits, zes 1-bits) die een willekeurig punt op dat niveau uitsluiten. Voorbeeld: neem 00111111, dit punt sluit de volgende 15 uit op hetzelfde niveau: 11001111; 11010111; 11011011; 11011101; 11011110; 11100111; 11101011; 11101101; 11101110; 11110011; 11110101; 11110110; 11111001; 11111010; 11111100. Aangezien dit een even niveau is zijn er andersduale punten te vinden. Er zijn er maar twee die ook 00111111 uitsluiten, zij zijn 11011011 en 11100111. We vinden die andersduale punten door een splitsing uit te voeren naar een universum met 1 onderscheiding minder.

De disjunctie van de 15 punten die 00111111 uitsluiten is 11000000. Beide punten sluiten elkaar uit. De disjunctie van de andersduale punten 11011011 en 11100111 is 11000011 en dit is een andersduaal punt op centraal niveau.

Elk van de punten op dit niveau wordt gerealiseerd door 2 ruimste (atomaire) toestanden. Aangezien atomaire toestanden elkaar wederzijds uitsluiten kunnen we het getal 2 gebruiken om het niveau te karakteriseren. Een toestand op het niveau onder het atomaire wordt ofwel door het ene atoom, ofwel door het andere atoom gerealiseerd. Elke atomaire toestand realiseert 5 van deze punten op dat niveau. Dat zijn er 5!/1!4!=5. Waarom? 6-1=5 (één toestand is gekozen) en er blijft nog één 0-bit over. Het andersduaal punt 11011011 staat voor <a<b>c><<a>b<c>> en dit drukt uit dat a en c dezelfde waarde hebben en b de tegengestelde waarde. Het andersduaal punt 11100111 staat voor <ab<c>><<a><b>c> en dit drukt uit dat a en b dezelfde waarde hebben en c de tegengestelde waarde. Het andersduaal punt 11000011 staat voor <b<c>><<b>c> of dus b•c, of b en c hebben tegengestelde waarde (en deze relatie is onafhankelijk van de waarde van a). Het is een punt op centraal niveau, waar zich ook zijn inbedding bevindt, namelijk <b•c>.

Noteer: In het eerste geval (een soort van gelijk welk niveau) hebben we het totaal aantal punten gezocht met een eenvoudige redenering. Dit is volledig compatibel met de redenering die enkel naar de niveaus kijkt. Het totaal aantal punten die 00111111 uitsluit is immers de som van de punten op de verschillende niveaus dus 6!/0!6!+6!/1!5!+6!/2!4!+6!/3!3!+6!/4!2!+6!/5!1!+6!/6!0!=1+6+15+20+15+6+1=64. Vier voorbeelden van zo’n punten zijn: 11111111; 11111101; 11010011; 11000000 en het is duidelijk dat sommige (zoals 11111101 en 11000000) simultaan zijn. Die punten worden door een verschillend aantal atomaire toestanden gerealiseerd, bijvoorbeeld 11010011 (die 00111111 uitsluit) wordt gerealiseerd door drie atomaire toestanden 11011111; 11110111; 11111011. In totaal zijn er dan 26=64 toestanden die door één punt op dat niveau uitgesloten worden en deze redenering hebben we gevolgd in het eerste geval.

We herhalen deze opbouw voor de 56 punten met drie nullen in drie onderscheidingen. Voor de 0 op de meest linkse positie zijn er 21 (7!/2!5!) die die 0 hebben. Er blijven nog 35 kandidaten over. Van die 35 zijn er 15 (6!/2!4!) met de 0 op de tweede positie. Er blijven 20 over. Daarvan zijn er nog 10 (5!/2!3!) met de 0 op de derde positie. Er blijven 10 over en dit is 5!/3!2! Bijvoorbeeld neem 00011111 en dit punt sluit uit: 11100011; 11100101; 11100110; 11101001; 11101010; 11101100; 11110001; 11110010; 11110100; 11111000. Op dit niveau zijn er dus 10 punten die een gekozen punt uitsluiten. Aangezien dit een oneven niveau is zijn er geen andersduale punten te vinden. Er zijn voor elke toestand drie atomaire toestanden die elkaar uitsluiten, wat betekent dat een punt op dat niveau ofwel door de eerste, ofwel door de tweede, ofwel door de derde atomaire toestand gerealiseerd wordt. Elke atomair toestand realiseert 6 van deze uitsluitende punten, dat zijn er 4 twee aan twee 4!/2!2!=6. Waarom? 5-1=4 (één toestand is gekozen) en er blijven nog twee 0-bits over.

In totaal zijn er dan 25=32 toestanden die door één punt op dat niveau uitgesloten worden, en uiteraard zullen ook bij die 32 toestanden toestanden vinden die onderling simultaan zijn (zoals bijvoorbeeld 11101001 en 11100001), en dit hebben we reeds in het eerste geval vastgesteld.

Op centraal niveau (met 70 punten) is er voor elk punt maar één uitsluitende toestand meer, een volledig gelijkaardige situatie als bij het uiterste niveau. Dit aantal is 4!/4!0!. Voor elk punt zijn er 4 atomaire toestanden en elke atomaire toestand realiseert dit enige punt. Waarom? 4-1=3 en er blijven nog 3 0-bits over dus 3!/3!0!=1. De andersduale punten op dit niveau zijn 00111100, 01011010, 01100110 en hun inbeddingen 11000011, 10100101, 10011001. Het zijn er zes omdat dit het aantal punten is in twee onderscheidingen op centraal niveau. In totaal zijn er dan 24=16 toestanden die door één punt op dat niveau uitgesloten worden, bijvoorbeeld: 11110000 sluit 11101111, 10001111 enz... uit.

Op het niveau onder het centraal niveau zijn er geen punten meer die toestanden van hetzelfde niveau kunnen zijn. Maar zo één punt op dat niveau zal wel 23=8 toestanden uitsluiten. Met een concreet voorbeeld: 00000111 sluit uit: 11111000, 11111001, 11111011, enz… tot de drie beschikbare bits allemaal in al hun combinaties gebruikt werden.

De volgende niveaus vertonen natuurlijk een gelijkaardige eigenschap dat er geen punten meer zijn die toestanden van hetzelfde niveau kunnen zijn, en het totaal aantal dat één punt uitsluit is dan 22 respectievelijk 21 en 20.

We kunnen de verdeling van het totaal aantal toestanden per niveau (toestanden enkel van een bepaald niveau of soort) voor drie onderscheidingen grafisch voorstellen als volgt:


Voor alle verdere soorten is het aantal gelijk aan nul.

Deze verdeling is geen constante zoals in het eerst bestudeerde geval, heeft een maximum op een bepaald niveau tussen het uiterste en het centraal niveau en is in maximum en minimum begrensd door de vrije keuze van een onderscheidingen universum.

Dit leidt tot de volgende cumulatieve distributie:


De verdeling die zo ontstaat is veeleer een logistische dan een normale (Gauss) verdeling wat we demonstreren door de beste passing te zoeken in een universum van zes onderscheidingen.

We geven eerst de best passende Gauss verdeling (vierkanten, gemiddelde waarde 17,60445613, spreiding 2,876262812, normalisatiefactor 1,34364.1014) ten opzichte van de verdeling van toestanden per niveau (ruiten).


De logistische verdeling met gemiddelde 17,619101, spreiding 1,513849 en normalisatiefactor 1,77.1013 (vierkanten) past beter bij de verdeling van toestanden per niveau (ruiten).


Bespreking

De logistische verdeling is de verdeling die ontstaat als positieve en negatieve feedback begrensd zijn door de verhouding van een maximum tot een minimum als eenheid waarvan de intensiteit een exponentieel verloop kent en op dat verloop genormaliseerd wordt.

De geometrische verdeling en de logistische verdeling zijn onvermijdelijk aan elkaar gerelateerd. Kiezen we het niveau (de soort) van een beperkt aantal afhankelijke uitgesloten aspecten of toestanden dan is er geen vrije keuze meer voor het niveau van het totaal aantal uitgesloten aspecten of toestanden omdat het onderscheidingen universum door die eerste keuze vastgelegd werd. En ook: kiezen we het niveau (de soort) van het totaal aantal uitgesloten aspecten of toestanden dan is er geen vrije keuze meer voor het beperkt aantal afhankelijke uitgesloten aspecten of toestanden per niveau omdat het onderscheidingen universum door die eerste keuze vastgelegd werd.

In elke tralie kunnen we drie soorten welgevormde haakuitdrukkingen onderscheiden: zelfduale, andersduale en logische relaties van beide. De zelfduale kunnen zich enkel op centraal niveau bevinden, en dat is zo, hoe groot het universum ook zou zijn. De andersduale kunnen zich enkel op de even niveaus bevinden, onder andere ook op centraal niveau, en de logische relaties kunnen zich op elk niveau bevinden, en voor beide laatste geldt: hoe groter het universum, hoe meer mogelijkheden.

Dus als het aantal toestanden op meerdere niveaus samengeteld wordt dan zal zich dat uiten in een verdeling die een combinatie van beide extremen zal zijn. Dit is niet a priori gegeven en het resultaat kan aanleiding geven tot een mogelijke kandidaat voor een universum en een zoektocht naar meer relevante onderscheidingen.