We kunnen spreken van dynamiek in één dimensie wanneer we slechts twee elkaar uitsluitende toestanden beschouwen: x en y, dus één som en dus één simultaneïteitsinterval waarin een ordening kan gevonden worden. De manier om dit te doen was om één van de toestanden als een referentie te beschouwen maar natuurlijk zijn ze beide even vluchtig in werkelijkheid en zijn ze een referentie voor elkaar. We moeten dus spreken van een dynamiek in twee dimensies.
We zullen nu drie toestanden beschouwen x1, x2, x3 en drie verschillen van toestanden x'1, x'2, x'3. Dit is onmiddellijk veel complexer omdat we de verschillen uniek moeten kunnen coderen en dus voor de verschillen een volgorde moeten afspreken. Hiervoor kunnen we de indexen gebruiken. We kunnen afspreken om een term in een som van drie termen in te bedden en de index van de ingebedde toestand te gebruiken in de notering van de som. Dus: x'1 definiëren we (voor drie toestanden) als <x1>⊕x2⊕x3 en hieruit volgt <x'1>=<<x1>⊕x2⊕x3>=x1⊕<x2>⊕<x3>. Dus er geldt ook dat x'1⊕x'1=<x'1> zoals in het haakformalisme vereist is. Volledig analoog kunnen we x'2 definiëren als x1⊕<x2>⊕x3 enz...
Met deze sommen kunnen we verder sommen en verschillen berekenen.
x'1⊕x'2=<x1>⊕x2⊕x3⊕x1⊕<x2>⊕x3=<x3>
<x'1>⊕<x'2>=x1⊕<x2>⊕<x3>⊕<x1>⊕x2⊕<x3>=x3
x'1⊕<x'2>=<x1>⊕x2⊕x3⊕<x1>⊕x2⊕<x3>=x1⊕<x2>. Dus een verschil van een verschil van twee is niet anders dan een verschil van twee.
<x'1>⊕x'2=x1⊕<x2>⊕<x3>⊕x1⊕<x2>⊕x3=<x1>⊕x2
x'1⊕x'2⊕x'3=<x1>⊕x2⊕x3⊕x1⊕<x2>⊕x3⊕x1⊕x2⊕<x3>=x1⊕x2⊕x3
x'1⊕x'2⊕<x'3>=<x1>⊕x2⊕x3⊕x1⊕<x2>⊕x3⊕<x1>⊕<x2>⊕x3=<x1>⊕<x2>
x'1⊕<x'2>⊕<x'3>=<x1>⊕x2⊕x3⊕<x1>⊕x2⊕<x3>⊕<x1>⊕<x2>⊕x3=x2⊕x3
x'1⊕x'2⊕x3=<x1>⊕x2⊕x3⊕x1⊕<x2>⊕x3⊕x3=X
enz...
Dit bewijst dat alle mogelijke sommen van drie termen waarvan een of meerdere ingebed zijn op een unieke manier voor verschillen kunnen gecodeerd worden door de afspraak om als codering de indexen te gebruiken. Dus aan alle mogelijke sommen van drie termen kan eveneens een simultaneïteitsinterval verbonden worden met een inherente intensiteit in het hoogst mogelijke universum. Dit interval is niet anders dan (x1⊗x'1)ℵ=(x1⊗(<x1>⊕x2⊕x3))ℵ=<x1>⊕<(<x1>⊕x2⊕x3)>⊕<ℵ•x1>⊕ℵ•(<x1>⊕x2⊕x3)=<x2⊕x3>⊕ℵ•(x1⊕x2⊕x3). En dit is uiteraard de uitbreiding van het patroon van een simultaneïteitsinterval opgebouwd met één verschil: (x⊗(<x>⊕y))ℵ=<y>⊕ℵ•x⊕ℵ•y. En dus construeren we hiermee drie geordende dimensies, (x1⊗x'1)ℵ, (x2⊗x'2)ℵ, (x3⊗x'3)ℵ.
Hetzelfde kunnen we nu doen voor de projectoren van de toestanden. We beschouwen nu <>⊕x1, <>⊕x2, <>⊕x3 en hun sommen. Stel dat we de som maken van deze drie dan is deze niet verschillend van de som van de toestanden zelf. Inderdaad: <>⊕x1⊕<>⊕x2⊕<>⊕x3=x1⊕x2⊕x3 maar als we een van de projectoren inbedden en dan sommeren (en dat noemen we de operatie O) dan krijgen we de volgende sommen:
O(<>⊕x1)=<<>>⊕<x1>⊕<>⊕x2⊕<>⊕x3=<>⊕<x1>⊕x2⊕x3=<>⊕x'1=<>⊕O(x1)
O(<>⊕x2)=<>⊕x1⊕<<>>⊕<x2>⊕<>⊕x3=<>⊕x1⊕<x2>⊕x3=<>⊕x'2=<>⊕O(x2)
O(<>⊕x3)=<>⊕x1⊕<>⊕x2⊕<<>>⊕<x3>=<>⊕x1⊕x2⊕<x3>=<>⊕x'3=<>⊕O(x3)
Dit betekent dat voor drie toestanden en drie projectoren van toestanden (en enkel voor een drievoud) geldt dat de operaties O (dus: één term inbedden) en P (dus: sommeren met <>) als volgt met elkaar gerelateerd zijn: O(P)=P(O).
We kunnen ook producten berekenen.
x1•x'2=x1•(x1⊕<x2>⊕x3)=<<>>⊕<x1•x2>⊕x1•x3
(<>⊕x1)•(<>⊕x2)=<<>>⊕<x1>⊕<x2>⊕x1•x2
(<>⊕x1)•(<>⊕x2)•(<>⊕x3)=(<<>>⊕<x1>⊕<x2>⊕x1•x2)•(<>⊕x3)=<>⊕x1⊕x2⊕<x1•x2>⊕x3⊕<x1•x3>⊕<x2•x3>⊕x1•x2•x3
(<>⊕x1)•(<>⊕x'2)=<<>>⊕<x1>⊕<x'2>⊕x1•x'2 en met de uitdrukking voor x1•x'2 is dit:
(<>⊕x1)•(<>⊕x'2)=<<>>⊕<x1>⊕<x1>⊕x2⊕<x3>⊕<<>>⊕<x1•x2>⊕x1•x3=<>⊕x1⊕x2⊕<x3>⊕<x1•x2>⊕x1•x3
Uit de producten van projectoren zijn dan orthogonaliteitsvoorwaarden af te leiden enz... Bijvoorbeeld wanneer x1 en x2 elkaar uitsluiten dan geldt <x1>⊕<x2>=<>⊕<x1•x2> en dus (<>⊕x1)•(<>⊕x2)=<<>>⊕<x1>⊕<x2>⊕x1•x2=<<>>⊕<>⊕<x1•x2>⊕x1•x2=X en (<>⊕x1)•(<>⊕x'2)=<>⊕x1⊕x2⊕<x3>⊕<x1•x2>⊕x1•x3=<>⊕<<>>⊕x1•x2⊕<x3>⊕<x1•x2>⊕x1•x3=<x3>⊕x1•x3=x3•(<>⊕x1) en (<>⊕x1)•(<>⊕x'2) is dus niet verschillend van nul wanneer x1=<<>> of wanneer x'2=<<>>.
Nu het duidelijk is dat we gemakkelijk kunnen werken met indexen kunnen we het onderzoek dat we uitgevoerd hebben in één dimensie hercoderen naar indexen. We vervangen bij de resultaten van het onderzoek in één dimensie daarom x door x1, y door x2 zodanig dat x’1∼<x>⊕y∼<x1>⊕x2 en A∼A1=<x2>⊕ℵ•x1⊕ℵ•x2
Dus:
A1=<x2>⊕ℵ•x1⊕ℵ•x2
[x1, A1]=(x1⊗A1)ℵ⊕<(A1⊗x1)ℵ>=<x1>⊕<x2>⊕ℵ•x1⊕ℵ•x2=<x1>⊕<x2>⊕[<x1>, <x’1>]
(x2⊗A1)ℵ=(x2⊗(<x2>⊕ℵ•x1⊕ℵ•x2))ℵ=x1⊕x2⊕<ℵ•x1>
(A1⊗x2)ℵ=((<x2>⊕ℵ•x1⊕ℵ•x2)⊗x2)ℵ=<x1>⊕<x2>⊕<ℵ•x1>⊕ℵ•x2
[x2, A1]=<x1>⊕<x2>⊕<ℵ•x2>
A2=<x1>⊕ℵ•x1⊕ℵ•x2
(x2⊗A2)ℵ=(x2⊗(<x1>⊕ℵ•x1⊕ℵ•x2))ℵ=<x1>⊕ℵ•x1⊕ℵ•x2
(A2⊗x2)ℵ=((<x1>⊕ℵ•x1⊕ℵ•x2)⊗x2)ℵ=x2
[x2, A2]=<x1>⊕<x2>⊕ℵ•x1⊕ℵ•x2
(x1⊗A2)ℵ=(x1⊗(<x1>⊕ℵ•x1⊕ℵ•x2))ℵ=x1⊕x2⊕<ℵ•x2>
(A2⊗x1)ℵ=((<x1>⊕ℵ•x1⊕ℵ•x2)⊗x1)ℵ=<x1>⊕<x2>⊕ℵ•x1⊕<ℵ•x2>
[x1, A2]=<x1>⊕<x2>⊕<ℵ•x1>
Overzicht
[x1, A1]=<x1>⊕<x2>⊕ℵ•x1⊕ℵ•x2
[x2, A1]=<x1>⊕<x2>⊕<ℵ•x2>
[x2, A2]=<x1>⊕<x2>⊕ℵ•x1⊕ℵ•x2
[x1, A2]=<x1>⊕<x2>⊕<ℵ•x1>
Er geldt [x1, A1]=[x2, A2]
Voor twee toestanden geldt dus, als ze tegengestelde waarde hebben, enkel de commutatoren met niet gelijke index verschillend zijn van nul. Als de toestanden gelijke waarde hebben dan verschillende de commutatoren niet van elkaar en zijn ze een projector van ℵ.
De uitbreiding naar drie toestanden kan nu als volgt.
A2=(x2⊗(x1⊕<x2>⊕x3))ℵ=<x1>⊕<x3>⊕ℵ•(x1⊕x2⊕x3)
(x2⊗A2)ℵ=<x2>⊕x1⊕x3⊕<ℵ>•(x1⊕x2⊕x3)⊕<ℵ•x2>⊕<ℵ•x1>⊕<ℵ•x3>⊕(x1⊕x2⊕x3)=<x1>⊕<x3>⊕ℵ•(x1⊕x2⊕x3)
(A2⊗x2)ℵ=x1⊕x3⊕<ℵ>•(x1⊕x2⊕x3)⊕<x2>⊕ℵ•x1⊕ℵ•x3⊕<>•(x1⊕x2⊕x3)⊕ℵ•x2=x2
[x2, A2]=(x2⊗A2)ℵ⊕<(A2⊗x2)ℵ>=<x1⊕x2⊕x3>⊕ℵ•(x1⊕x2⊕x3).
(x1⊗A2)ℵ=<x1>⊕x1⊕x3⊕<ℵ>•(x1⊕x2⊕x3)⊕<ℵ•x1>⊕<ℵ•x1>⊕<ℵ•x3>⊕(x1⊕x2⊕x3)=x1⊕x2⊕<x3>⊕<ℵ>•(x2⊕<x3>)
(A2⊗x1)ℵ=x1⊕x3⊕<ℵ>•(x1⊕x2⊕x3)⊕<x1>⊕ℵ•x1⊕ℵ•x3⊕<>•(x1⊕x2⊕x3)⊕ℵ•x1=<x1>⊕<x2>⊕<ℵ>•(<x1>⊕x2)
[x1, A2]=(x1⊗A2)ℵ⊕<(A2⊗x1)ℵ>=<x1>⊕<x2>⊕<x3>⊕<ℵ>•(x1⊕<x3>)
Het patroon is hiermee duidelijk, zowel voor gelijke als niet gelijke indexen
Overzicht
[x2, A2]=(x2⊗A2)ℵ⊕<(A2⊗x2)ℵ>=<x1⊕x2⊕x3>⊕ℵ•(x1⊕x2⊕x3)
[x1, A2]=(x1⊗A2)ℵ⊕<(A2⊗x1)ℵ>=<x1⊕x2⊕x3>⊕<ℵ>•(x1⊕<x3>)
En zo ook voor de andere toestanden.
Er geldt:
[xi, Ai]=[x1, A1]=[x2, A2]=[x3, A3]=<x1⊕x2⊕x3>⊕ℵ•(x1⊕x2⊕x3)=(x1⊕x2⊕x3)•(<>⊕ℵ).
[xi, Aj]=<x1⊕x2⊕x3>⊕<ℵ>•(xi⊕<xj>) voor i en j verschillend.
Dus als de drie toestanden dezelfde waarde hebben die verder niet bekend is, dan zijn alle commutatoren die we met de elementen van alle mogelijke simultaneïteitsintervallen kunnen bouwen, zowel met gelijke als verschillende indexen, gelijk aan nul. Dat betekent dat we hiermee een situatie beschrijven waarin de laatst toegevoegde onderscheiding geen rol speelt. Deze statische situatie kunnen we interpreteren als de structuur die blijvend ervaren wordt in die specifieke dynamiek. Deze statische situatie zullen we identificeren met een evenwicht. Deze structuur wordt gekenmerkt doordat de rotaties (xi⊗Aj)ℵ en de inversen (Aj⊗xi)ℵ niet verschillend zijn van elkaar en dat voor alle i en j. Wat hier dus staat zouden we kunnen noteren als Ri=Rj=(Ri⊗Rj)ℵ. Hierbij is Ri dus een willekeurige welgevormde haakuitdrukking onafhankelijk van ℵ, een element dus van een onbekend grote tralie die immuun is voor verandering. Inderdaad geldt dit trouwens niet alleen voor toestanden en dat is natuurlijk het rechtstreeks gevolg van het feit dat een welgevormde haakuitdrukking slechts twee waarden kan innemen: ofwel <<>> ofwel <> hoewel niet bekend moet zijn welke waarde dit wel is (wat we de potentiële situatie genoemd hebben).
Dynamiek kan dus enkel gemodelleerd worden in een situatie die daarvan afwijkt, met als eerste eenvoudig voorbeeld een verschil tussen twee toestanden en dus maar één simultaneïteitsinterval. Dit herkennen we als een karakteristiek van elke vectoriële grootheid in een drie dimensionale ruimte: een aspect heeft één richting van verandering (tussen onvermijdelijk twee extremen), snelheid is verandering in één richting, een kracht werkt in één richting enz… telkens tussen onvermijdelijk twee extremen.
Een gevolg hiervan is dat we in minimaal een twee onderscheidingen universum ook altijd een dynamiek zullen kunnen terugvinden die de onderzochte dynamiek “tegenwerkt”, die de gemodelleerde rotatie “inverteert” door samenspel van de dynamieken in drie dimensies die zich daardoor als ruimtelijke dimensies voordoen.
We lijsten nu alle simultaneïteitsintervallen op
A1=(x1⊗(<x1>⊕x2⊕x3))ℵ=<x2>⊕<x3>⊕ℵ•(x1⊕x2⊕x3)
A2=(x2⊗(x1⊕<x2>⊕x3))ℵ=<x1>⊕<x3>⊕ℵ•(x1⊕x2⊕x3)
A3=(x3⊗(x1⊕x2⊕<x3>))ℵ=<x1>⊕<x2>⊕ℵ•(x1⊕x2⊕x3)
De drie commutatoren onderscheiden zich niet van elkaar, ze zijn gelijk aan ℵ•(x1⊕x2⊕x3) en in het geval dat de drie toestanden dezelfde waarde hebben dan is die commutator gelijk aan X, niet omdat ℵ de nulvector zou zijn, maar omdat de eenheid (x1⊕x2⊕x3) de nulvector is.
Er geldt ook: A1⊕A2⊕A3=X
We gebruiken nu de distributiviteit van de som ten opzichte van het creatief product en vormen
A1⊕<x3>=(x1⊕<x3>⊗(<x1>⊕x2))ℵ=<x2>⊕x3⊕ℵ•(x1⊕x2⊕x3)
<x1>⊕A2=(<x1>⊕x2⊗(<x2>⊕x3))ℵ=x1⊕<x3>⊕ℵ•(x1⊕x2⊕x3)
<x2>⊕A3=(<x2>⊕x3⊗(x1⊕<x3>))ℵ=<x1>⊕x2⊕ℵ•(x1⊕x2⊕x3)
De drie commutatoren wijzigen niet en onderscheiden zich niet van elkaar, ze zijn ℵ•(x1⊕x2⊕x3).
In de termen van het creatief product staan enkel maar verschillen en de som van de verschillen is de nulvector, onafhankelijk van de waarde van de toestanden en de drie commutatoren.
Hieruit volgen de volgende gelijkheden, alle drie gelijk aan ℵ•(x1⊕x2⊕x3).
x2⊕<x3>⊕(x1⊕<x3>⊗(<x1>⊕x2))ℵ=<x1>⊕x3⊕(<x1>⊕x2⊗(<x2>⊕x3))ℵ=x1⊕<x2>⊕(<x2>⊕x3⊗(x1⊕<x3>))ℵ
En dus geldt ook:
((x1⊕x2⊕x3)⊗(<x1>⊕<x2>⊕<x3>))ℵ=ℵ•(x1⊕x2⊕x3). En dit is natuurlijk een algemeen geldende eigenschap van een creatief product.
Noteer dat er ook geldt:
A1⊕<x1>=(X⊗(x1⊕x2⊕x3))ℵ=<x1>⊕<x2>⊕<x3>⊕ℵ•(x1⊕x2⊕x3)
A2⊕<x2>=(X⊗(x1⊕x2⊕x3))ℵ=<x1>⊕<x2>⊕<x3>⊕ℵ•(x1⊕x2⊕x3)
A3⊕<x3>=(X⊗(x1⊕x2⊕x3))ℵ=<x1>⊕<x2>⊕<x3>⊕ℵ•(x1⊕x2⊕x3)
Hieruit volgt dat
(x1⊕x2⊕x3)⊕(X⊗(x1⊕x2⊕x3))ℵ=ℵ•(x1⊕x2⊕x3)
Dat patroon kennen we vanuit het onderzoek naar de dynamiek in een dimensie. We hebben dan afgeleid dat (X⊗y))ℵ=<y>⊕ℵ•y=(<>⊕ℵ)•y dus y⊕(X⊗y))ℵ=ℵ•y. Als we nu stellen (x1⊕x2⊕x3)=y dan krijgen we (x1⊕x2⊕x3)⊕(X⊗(x1⊕x2⊕x3))ℵ=ℵ•(x1⊕x2⊕x3).
De uitbreiding naar verschillen van meer dan drie toestanden ligt nu voor de hand. Het is altijd mogelijk om een interval te construeren waarbij één toestand ingebed wordt en dat uniek kan gekenmerkt worden. Dat betekent dus dat een dynamiek altijd kan beschreven worden als een simultaneïteitsinterval met supremum xk en infimum Σxk-1⊕<xk>⊕Σxk+1 met som over de k van 0 tot n, waarin xk (de intensiteit van) een van de toestanden is. Bijvoorbeeld Ak=(xk⊗(Σxk-1⊕<xk>⊕Σxk+1))ℵ. Hierin kunnen we de som Σxk-1⊕Σxk+1 interpreteren als een referentietoestand die alle toestanden omvat die verschillen van xk.
Een drievoud blijft hierbij een centrale rol spelen. Het aantal toestanden in een universum van n onderscheidingen is immers gelijk aan 2n. Voor n een even getal is dit niet anders dan 4n/2. Dit is niet anders dan (3+1)m en de expansie van deze veelterm levert allemaal drievouden op, behalve de term 1m. Voor n een oneven getal is het aantal toestanden niet anders dan 2.4(n-1)/2. Dit is niet anders dan 2.(3+1)m en de expansie van deze veelterm levert allemaal drievouden op, behalve de term 1m die dan met 2 vermenigvuldigd wordt. Dus de som van de toestanden (dus ook de som van het aantal bits) voor een oneven aantal onderscheidingen is gelijk aan nul. Bijvoorbeeld: in drie onderscheidingen: een atoom stellen we bijvoorbeeld voor als +++++++- of zijn inbedding. Hierin zijn maar twee bits met tegengesteld teken, de som hiervan is nul en er blijven zes (dus 2x3) bits over waarvan de som dus ook nul is.
We merken ook op dat iets gelijkaardigs geldt voor een aantal toestanden gelijk aan een priemgetal (bijvoorbeeld in een gecollapst universum). Immers: elk priemgetal p groter dan 3 is oneven en te schrijven is als een zesvoud +1 of als een zesvoud -1. Dus stel een aantal p toestanden, dan kunnen we veronderstellen dat p+1 of p+2 toestanden dezelfde waarde hebben en die maken een verschil dat geen verschil maakt. Enkel voor het geval dat er twee extra bits zijn zal gelden dat ze elkaar opheffen.
Dus is elk verschil tussen gelijk welke hoeveelheid toestanden te schrijven in het patroon Σxk-1⊕<xk>⊕Σxk+1 met de som van 0 tot n, en een evenwicht zal te modelleren zijn in sommige universa met een “oneven” karakteristiek.
In een universum met een even aantal onderscheidingen zal evenwicht te construeren zijn met behulp van 22p+1 termen wat we demonstreren met p=1 in een twee onderscheidingen universum: (0001)⊕(0010)⊕(0100)⊕(1000)⊕(0000)=X.