Modulo zes

De modulo benadering maakt het ook gemakkelijk om te bewijzen dat elk priemgetal een zesvoud +1 ofwel een zesvoud -1 is.

Een priemgetal verschillend van 2 is oneven. Elk oneven getal is ofwel een zesvoud +1, een zesvoud +3, een zesvoud +5. Een zesvoud +3 is een drievoud en dus geen priemgetal. Blijven over: een zesvoud +1 en een zesvoud -1.

QED

Op 24 oktober 2024 publiceerde James Moore in een Youtube filmpje een nieuwe vondst die alle en enkel priemgetallen genereert. Hij claimt dat hij daarvoor slechts twee reeksen nodig heeft: 5+6n en 7+6n, met n een geheel getal.

We illustreren dat voor alle priemgetallen kleiner dan 200. We starten met een tabel van alle getallen uit die beide vergelijkingen en we geven hun modulo4 waarde ernaast (ofwel +1, ofwel -1). Een modulo6 waarde +1 komt overeen met een modulo4 waarde -1. Merk op dat de waarden alterneren en tweeling priemgetallen met elkaar verbinden.

n	5+6n	(5+6n)(Mod4)	7+6n	(7+6n)(Mod4)
0	5	+	7	-
1	11	-	13	+
2	17	+	19	-
3	23	-	25	+
4	29	+	31	-
5	35	-	37	+
6	41	+	43	-
7	47	-	49	+
8	53	+	55	-
9	59	-	61	+
10	65	+	67	-
11	71	-	73	+
12	77	+	79	-
13	83	-	85	+
14	89	+	91	-
15	95	-	97	+
16	101	+	103	-
17	107	-	109	+
18	113	+	115	-
19	119	-	121	+
20	125	+	127	-
21	131	-	133	+
22	137	+	139	-
23	143	-	145	+
24	149	+	151	-
25	155	-	157	+
26	161	+	163	-
27	167	-	169	+
28	173	+	175	-
29	179	-	181	+
30	185	+	187	-
31	191	-	193	+
32	197	+	199	-

Uiteraard zijn hier ook getallen gelijst die geen priemgetallen zijn, het zijn veelvouden van 5, veelvouden van 7, veelvouden van 11, veelvouden van 13. Dit zijn veelvouden van de vier priemgetallen na 3.

We kunnen ze elimineren door een eenvoudige constructie waarbij we het veelvoud van een priemgetal vervangen door een nul, een product van deze vier is dan voldoende om het getal te elimineren, wat overeenkomt met een product gelijk aan nul. De laatste kolom is dus het resultaat van een logische constructie; “indien het product nul is, dan noteer nul, indien niet, dan noteer 5+6n voor de eerste tabel en 7+6n voor de tweede tabel”.

5+6n

n	5+6n	0 indien 5-voud	0 indien 7-voud	0 indien 11-voud	0 indien 13-voud	Constructie
0	5	0	5	5	5	0
1	11	11	11	0	11	0
2	17	17	17	17	17	17
3	23	23	23	23	23	23
4	29	29	29	29	29	29
5	35	0	0	35	35	0
6	41	41	41	41	41	41
7	47	47	47	47	47	47
8	53	53	53	53	53	53
9	59	59	59	59	59	59
10	65	0	65	65	0	0
11	71	71	71	71	71	71
12	77	77	0	0	77	0
13	83	83	83	83	83	83
14	89	89	89	89	89	89
15	95	0	95	95	95	0
16	101	101	101	101	101	101
17	107	107	107	107	107	107
18	113	113	113	113	113	113
19	119	119	0	119	119	0
20	125	0	125	125	125	0
21	131	131	131	131	131	131
22	137	137	137	137	137	137
23	143	143	143	0	0	0
24	149	149	149	149	149	149
25	155	0	155	155	155	0
26	161	161	0	161	161	0
27	167	167	167	167	167	167
28	173	173	173	173	173	173
29	179	179	179	179	179	179
30	185	0	185	185	185	0
31	191	191	191	191	191	191
32	197	197	197	197	197	197

7+6n

n	7+6n	0 indien 5-voud	0 indien 7-voud	0 indien 11-voud	0 indien 13-voud	Constructie
0	7	7	0	7	7	0
1	13	13	13	13	0	0
2	19	19	19	19	19	19
3	25	0	25	25	25	0
4	31	31	31	31	31	31
5	37	37	37	37	37	37
6	43	43	43	43	43	43
7	49	49	0	49	49	0
8	55	0	55	0	55	0
9	61	61	61	61	61	61
10	67	67	67	67	67	67
11	73	73	73	73	73	73
12	79	79	79	79	79	79
13	85	0	85	85	85	0
14	91	91	0	91	0	0
15	97	97	97	97	97	97
16	103	103	103	103	103	103
17	109	109	109	109	109	109
18	115	0	115	115	115	0
19	121	121	121	0	121	0
20	127	127	127	127	127	127
21	133	133	0	133	133	0
22	139	139	139	139	139	139
23	145	0	145	145	145	0
24	151	151	151	151	151	151
25	157	157	157	157	157	157
26	163	163	163	163	163	163
27	169	169	169	169	0	0
28	175	0	0	175	175	0
29	181	181	181	181	181	181
30	187	187	187	0	187	0
31	193	193	193	193	193	193
32	199	199	199	199	199	199

Resultaat

De geconstrueerde kolommen voor (5+6n) en (7+6n) voegen we nu samen en vergelijken we met de bekende lijst van priemgetallen tot 200. Het is niet verbazend dat de overeenkomst pas begint met het priemgetal volgend op 13, namelijk 17.

Priemgetallen tot 200	Gecombineerde lijst van producten verschillend van nul
2
3
5
7
11
13
17	17
19	19
23	23
29	29
31	31
37	37
41	41
43	43
47	47
53	53
59	59
61	61
67	67
71	71
73	73
79	79
83	83
89	89
97	97
101	101
103	103
107	107
109	109
113	113
127	127
131	131
137	137
139	139
149	149
151	151
157	157
163	163
167	167
173	173
179	179
181	181
191	191
193	193
197	197
199	199

De repetitiviteit leent er zich uitstekend voor om de nulpunten te genereren met de nulpunten van een sinusoïde. We geven de lijst van de gehele getallen vanaf 5 tot het priemgetal 31 en het nulpunt van de sinusoïden die de priemgetallen genereren .

Getal n	sin(1/(6π(n-5))	sin(1/(6π(n-7))
5	0	-0,87
6	0,5	-0,5
7	0,87	0
8	1	0,5
9	0,87	0,87
10	0,5	1
11	0	0,87
12	-0,5	0,5
13	-0,87	0
14	-1	-0,5
15	-0,87	-0,87
16	-0,5	-1
17	0	-0,87
18	0,5	-0,5
19	0,87	0
20	1	0,5
21	0,87	0,87
22	0,5	1
23	0	0,87
24	-0,5	0,5
25	-0,87	0
26	-1	-0,5
27	-0,87	-0,87
28	-0,5	-1
29	0	-0,87
30	0,5	-0,5
31	0,87	0

Het opstellen van deze lijsten is natuurlijk geen bewijs dat hiermee alle priemgetallen en enkel priemgetallen gegenereerd worden. We vertrouwen er op dat het kon geleverd worden door James Moore in zijn boek (dat kan besteld worden), maar het patroon is overtuigend.