Dynamiek kan minimaal gemodelleerd worden door twee elkaar uitsluitende toestanden te beschouwen. Hiermee kan één simultaneïteitsinterval geconstrueerd worden en dus wordt er één dimensie gemodelleerd. Dat interval wordt gevormd door één verschil en daartoe hebben we één toestand als een referentie kunnen beschouwen. Maar daar is natuurlijk niets absoluuts aan, de referentie kan op zijn beurt ook aan verandering onderhevig zijn.
De eerste stap van het onderzoek voeren we dus uit in een één onderscheiding universum. Dit heeft twee elkaar uitsluitende toestanden en er is maar één verschil te maken.
Een verandering kunnen modelleren door een creatief product met een laatst toegevoegde onderscheiding en dus zal ook een invers gedefinieerd zijn en kunnen we een commutator berekenen.
Het simultaneïteitsinterval A in twee toestanden x en y is de uitdrukking (x⊗(<x>⊕y))ℵ en dus <y>⊕ℵ•x⊕ℵ•y.
<A> is in twee toestanden x en y niet anders dan (<x>⊗(x⊕<y>))ℵ en dus y⊕<ℵ•x>⊕<ℵ•y> of inderdaad de inbedding van A.
A-1 is in twee toestanden x en y niet anders dan ((<x>⊕y)⊗x)ℵ en dus <y>⊕<ℵ•x>⊕<ℵ•y>.
<A>-1 is in twee toestanden x en y niet anders dan ((x⊕<y>)⊗<x>)ℵ en dus y⊕ℵ•x⊕ℵ•y of inderdaad de inbedding van A-1. Dus <A>-1=<A-1>.
De commutator berekenen we door A⊕<A-1> en is dus <ℵ•x>⊕<ℵ•y>.
A=(x⊗(<x>⊕y))ℵ=<y>⊕ℵ•x⊕ℵ•y dus A⊕y=ℵ•x⊕ℵ•y=[(<x>⊕y), x]
A’=(x⊕y⊗(<x>⊕y))ℵ=<x>⊕<y>⊕x⊕<y>⊕<ℵ•x>⊕<ℵ•y>⊕<ℵ•x>⊕ℵ•y=y⊕ℵ•x. Dus A’⊕<y>=ℵ•x. Dit demonstreert nog eens dat de som distributief is voor het creatief product.
We merken nu op dat we exact hetzelfde bekomen als we veronderstellen in A dat y een referentiepunt is dat gelijk is aan de nulvector. In dat geval is A=ℵ•x. Dus A en A’ zijn aan elkaar gelijk voor y gelijk aan de nulvector.
Daarentegen: veronderstel in A dat x gelijk is aan de nulvector, dan geldt dat A=(X⊗y)ℵ=<y>⊕ℵ•y=(<>⊕ℵ)•y maar A’ wordt dan gelijk aan y.
Hieruit volgt dat de dynamiek voor x en y verschillend zijn. Geeft ℵ de grootte van een universum als getal voor een x met referentie y als de nulvector, dan is dat een dubbelgetal voor de referentie y wanneer x de nulvector is. Dus de dynamiek in één dimensie kan niet los gezien worden van twee referenties.
Dit maakt het relevant om te onderzoeken wat er gebeurt met drie referenties in een dynamiek die niet los staat van deze in twee referenties. We stellen:
A’=(x⊕y⊗(<x>⊕y))ℵ=y⊕ℵ•x
A’’=(y⊕z⊗(<y>⊕z))ℵ=z⊕ℵ•y
A’’’=(z⊕x⊗(<z>⊕x))ℵ=x⊕ℵ•z
Om de verschillen van x en y verder te onderzoeken kunnen we nu ook de creatieve producten van x met A en van y met A berekenen.
We berekenen nu (x⊗(x⊗(<x>⊕y))ℵ)ℵ of dus (x⊗A)ℵ.
(x⊗(x⊗(<x>⊕y))ℵ)ℵ=<x>⊕y⊕<ℵ•x>⊕<ℵ•y>⊕<ℵ•x>⊕<ℵ•y>⊕ℵ•ℵ•x⊕ℵ•ℵ•y=<y>⊕ℵ•x⊕ℵ•y=A.
We berekenen nu het invers ((x⊗(<x>⊕y))ℵ⊗x)ℵ of dus (A⊗x)ℵ
((x⊗(<x>⊕y))ℵ⊗x)ℵ=y⊕<ℵ•x>⊕<ℵ•y>⊕<x>⊕ℵ•y⊕<x>⊕<y>⊕ℵ•x=x
Het verschil van beide is de commutator van x met A, dus (x⊗A)ℵ⊕<(A⊗x)ℵ> of dus [x, A] is de uitdrukking <x>⊕<y>⊕ℵ•x⊕ℵ•y. Dit is niet anders dan het product (x⊕y)•(<>⊕ℵ), een haakuitdrukking waaraan een waarde werd toegekend.
We berekenen nu (y⊗(x⊗(<x>⊕y))ℵ)ℵ of dus (y⊗A)ℵ.
(y⊗(x⊗(<x>⊕y))ℵ)ℵ=<y>⊕y⊕<ℵ•x>⊕<ℵ•y>⊕<ℵ•y>⊕<ℵ•y>⊕ℵ•ℵ•x⊕ℵ•ℵ•y=x⊕y⊕<ℵ•x>
We berekenen nu het invers ((x⊗(<x>⊕y))ℵ⊗y)ℵ of dus (A⊗y)ℵ
((x⊗(<x>⊕y))ℵ⊗y)ℵ=y⊕<ℵ•x>⊕<ℵ•y>⊕<y>⊕ℵ•y⊕<x>⊕<y>⊕ℵ•y=<x>⊕<y>⊕<ℵ•x>⊕ℵ•y
Het verschil van beide, dus (y⊗A)ℵ⊕<(A⊗y)ℵ> of dus [y, A] is de uitdrukking <x>⊕<y>⊕<ℵ•y>.
[x, A] is de uitdrukking <x>⊕<y>⊕ℵ•x⊕ℵ•y.
[y, A] is de uitdrukking <x>⊕<y>⊕<ℵ•y>.
Er ontstaat blijkbaar een referentie voor beide, namelijk (<x>⊕<y>). In het eerste geval herkennen we de tweede term als de commutator [<x>, <x’>] van het creatief product (<x>⊗(x⊕<y>))ℵ of als de commutator [y, <x>] van het creatief product (<x>⊗y)ℵ, in het tweede geval speelt x geen rol meer in de commutator.
De referentie is niet anders dan de som van conjunctie en disjunctie van de toestanden <x> en <y>. We hebben bewezen dat dit ook niet verschillend is van (<<>>⊕x•y).
Ook dit resultaat maakt het interessant om te onderzoeken wat er gebeurt bij een referentie in drie toestanden. Voor drie toestanden hebben we minimaal een twee onderscheidingen universum nodig en we zouden dus meerdere referenties kunnen veronderstellen. Dit brengt onmiddellijk met zich mee dat we niet alleen een verschil van twee toestanden kunnen voorstellen, maar ook een verschil van twee “verschillen van toestanden”. We krijgen dan meerdere soorten verschillen en meerdere soorten referenties.
Maar dan moeten we eerst onderzoeken hoe we drie toestanden op een unieke manier kunnen coderen in het patroon dat we toe nu toe gebruikt hebben, namelijk “een verschil”.