We verbinden nu vier verschillende begrippen met elkaar: de relaties “relevantie” en “simultaneïteit”, de operatie “orthogonalisering” en de evaluatie “metrische afstand” en we zullen aantonen dat elke welgevormde haakuitdrukking een unieke orthogonalisering heeft met de eigenschappen van een metriek.

Een welgevormde haakuitdrukking h kan opgesplitst worden in twee gecollapste haakuitdrukkingen waarbij in de bitstring de + en – componenten door middel van een directe som gescheiden worden. Bijvoorbeeld: h als de bitstring (--+--+++) wordt opgesplitst in (--x--xxx)⊕(xx+xx+++). Dit is dus de directe som van <<>>⊕<h> en <>⊕<h>. De signaturen zijn nu netjes gesplitst en hun onderscheidend karakter binnen de ruimte is voor elke van de twee ruimtes irrelevant geworden. Dus de “neutrale signatuur” van de orthogonalisering of de relatie van relevantie kunnen we zien als werkend op enkel de projectoren. We kunnen dus h als (........) opgesplitsen in (..x..xxx)⊕(xx.xx...). Dit kan gesimuleerd worden door bits te kwadrateren.

Er geldt dus met de operaties van relevantie:

(<<>>⊕<h>)+(<>⊕<h>)=[[]]

(<<>>⊕<h>)×(<>⊕<h>)=[]=X

Er geldt ook met de operaties van simultaneïteit:

(<<>>⊕<h>)⊕(<>⊕<h>)=h

(<<>>⊕<h>)•(<>⊕<h>)=X

X, of de al-nul vector is het enige symbool dat zowel bij de operatiekeuze (+, ×, []) als bij de operatiekeuze (⊕, •, <>) kan gebruikt worden.

Starten we met een welgevormd punt, een punt dat met een betekende bitstring kan voorgesteld worden, dan weten we dat als een + in een – veranderd wordt, dan een punt bekomen wordt dat fijner is dan van waar men vertrok. Analoog geldt, voor een niet betekend punt in een gecollapst universum, dat indien men een “.” in een “x” verandert, men een punt bekomt dat minder relevant is dan van waar men vertrok. Beide operaties zijn monotoon en genereren een metriek. Dus de unieke opsplitsing die de signaturen van de bits netjes splitst genereert een afstand in de ene tralie opgespannen door (..x..xxx) en een afstand in de andere tralie opgespannen door (xx.xx...).

Zoals we elders aantoonden dat een afstand tussen potentiële punten altijd in twee dimensies te karakteriseren zal zijn, gebaseerd op een opsplitsing volgens het vectorproduct, zo geldt dit ook gebaseerd op een specifieke opsplitsing volgens orthogonaliteit. Een punt zal immers eveneens een duidelijke afstand hebben tussen het al-min punt en X in de ene gecollapste tralie (namelijk <<>>⊕<h>) en het al-plus punt en X in de andere gecollapste tralie (namelijk <>⊕<h>).

In beide ruimtes kunnen er dus verschillende paden (of simultaneïteitsintervallen) geconstrueerd worden tussen de extrema.