Het stappenmodel is de naam die we introduceerden om de creatieve uitbreiding van een universum te modelleren, universum dat we binair kunnen voorstellen. Dit universum heeft een a priori onbekend aantal mogelijke toestanden en we kunnen dat kwantificeren door een kwantitatieve betekenis te geven aan de nieuwe geïntroduceerde notatie <<1>>. We merken op dat het aantal toestanden exact het aantal bits is van het universum dat door die toestanden opgespannen wordt. Een toestand die we modelleren als 0<<1>> zal dus gekwantificeerd kunnen worden door een aantal bits. Maar het zijn de andersduale toestanden die de telbare entiteiten zijn die elkaar uitsluiten en die zullen dus het dubbel aantal bits tellen, er zijn immers altijd twee toestanden in het universum met één toegevoegde onderscheiding die die ene andersduale toestand kunnen realiseren.
We gebruiken als opstap naar de kwantificering in het stappenmodel eerst het model opgebouwd met onderscheidingen omdat we een essentieel inzicht kunnen bereiken door goed het verschil te zien tussen onderscheidingen en elkaar uitsluitende telbare entiteiten. We merken op dat 01111110 het bitmodel is voor de telbare entiteit <<<c•a>><<c•b>>> of nog <<abc><<a><b><c>>> of nog anders genoteerd <>⊕b•a⊕c•a⊕c•b en in woorden: 3 onderscheidingen (a, b en c) hebben dezelfde waarde (die verder niet gekend is). Merk op dat de alternatieven (bijvoorbeeld a, b en <c>) hetzelfde patroon vertonen (in woorden: a, b en <c> hebben dezelfde waarde die verder niet gekend is), wat de notatie <<pi><<p>i>> heeft mogelijk gemaakt. In deze notatie verwijst i naar het aantal onderscheidingen met dezelfde waarde, die verder niet gekend is maar slechts twee realisatie kan hebben: “ja” of “neen”. Het aantal hoogbits van <<abc><<a><b><c>>> wordt dus gegeven door 23-2=23-1: de verhouding van hoog- tot laag-bits is 22. Hiermee coderen we de intensiteit van onderscheidingen (in dit geval 3) met dezelfde waarde die verder niet gekend is en waarvan elke onderscheiding de laatst toegevoegde kan zijn. Het patroon vertoont een groot aantal symmetrieën, waaronder de fundamenteel belangrijke referentiesymmetrie. We kunnen dus twee willekeurige onderscheidingen als referentie (transformatiekoppel) gebruiken en bijvoorbeeld <<abc><<a><b><c>>> of <<pi><<p>i>> beschouwen als de intensiteit (in dit geval is de waarde van i gelijk aan 3) van een vrij te kiezen p1•p2. We kunnen dan 23 hoog-bits als een model nemen voor <<>>. Elke mogelijke 2-vector p1•p2 bevindt zich hier altijd op centraal niveau en is een mogelijk referentiekoppel.
Laten we dat nu op een nog andere manier bekijken: de bitstring van <<>> telt een aantal gelijke bits, stel n. Op abstract niveau is dat gelijk aan een aantal atomen, namelijk n, maar n kwantificeert ook een aantal onderscheidingen met dezelfde waarde, gegeven namelijk als het getal log2n, getal dat dan de intensiteit geeft van het onderscheidingen universum (1, 2, 3, enz… dus het aantal onderscheidingen). We zien dus in hetzelfde universum twee verschillende eenheden: de eenheid “atoom” en de eenheid “onderscheiding”. Er zijn 2n atomen en n onderscheidingen. De eenheid van de atomen bevindt zich op het niveau van de bits, de eenheid van de onderscheidingen bevindt zich op het niveau van de exponenten van bits. Het aantal onderscheidingen is dan niet anders dan het aantal (namelijk log2n) van een eenheid 1 in een model <<1>>. Dus als we die hoog-bits vervangen door één andere notering, stel A, dan is Alog2n de notering voor een aantal (log2n) van de eenheid A en dan kan A staan voor een entiteit of soort (minimaal dus een <p1•p2>) en het getal log2n dat we dan gebruiken geeft dan de intensiteit van die entiteit. Die entiteit gaven we de speciale naam “onderscheiding” als we A=1 kiezen. Die entiteit geven we de naam telbare entiteit als we A beschouwen als een willekeurige welgevormde haakuitdrukking (elke entiteit kan altijd beschouwd worden als een vectorproduct van minimaal twee andere en dus als een referentie eenheid).
Heeft de entiteit dan de intensiteit x dan zal het aantal identieke bits in “<<1>>” of “<<A>>” dat we nodig hebben om die ene notering terug te expanderen tot een nevenschikking hoog-bits, gegeven worden door 2x, en de bitstring die <p1•p2> modelleert vertoont een verhouding van hoog-bits tot laag-bits van 2x-1 en dat is dus de helft van het aantal bits. In de tabel met vier identieke onderscheidingen is duidelijk te zien dat voor de atoombuur de verhouding 24/21 is (dit staat voor 4 identieke onderscheidingen in een vier onderscheidingen universum), 24/22 staat voor 3 identieke onderscheidingen in een vier onderscheiding universum, dus een andere intensiteit enz… tot 24/23 bereikt wordt voor een punt op centraal niveau dat altijd bestaat uit de helft hoogbits en de helft laagbits. Als we nu de tabel zouden maken voor een andere andersduale atoombuur (bijvoorbeeld door, in plaats van <abcd><<a><b><c><d>>, de welgevormde haakuitdrukking <abc<d>><<a><b><c>d> voor te stellen) dan zouden we een analoog patroon zien verschijnen wat uiteraard de notatie <pi><<p>i> illustreert. Hierbij wordt de toename van onderscheidingen gemodelleerd door een conjunctie.
Wanneer we nu overgaan op het model met elkaar uitsluitende andersduale toestanden dan merken we op dat een soortgelijke situatie ontstaat zoals in het geval waarin soort <p1•p2> kan voorgesteld worden met een extremum <<A>> en waarin soort <q1•q2> kan voorgesteld worden met een extremum <<B>>. De atoombuur wordt nu gegeven door een 2-vector die niet verschillend is van een nevenschikking: <a1•a2>=<a1a2> met de ai AND-atomen (als we de operatie “tellen” modelleren door een conjunctie). De 2-vector a1•a2 zal zich enkel op centraal niveau bevinden in een 2-onderscheidingen universum want enkel in een 2-onderscheidingen universum is het centraal niveau het atoombuur niveau. De patroon notatie <ai> geeft dan een punt op een diepte i, niet noodzakelijk op centraal niveau, en ook voor de patroon notatie is er geen verschil tussen het vectorproduct <ai-1•ai> en de nevenschikking <ai-1ai> want alle atomen sluiten elkaar uit. Door de keuze die gemaakt moest worden om een toename te tellen met een conjunctie kan <a1•a2>=<a1a2>=<> voor AND-atomen enkel maar betekenen dat ze dezelfde waarde hebben, namelijk a1=a2=<<>>, aangezien AND-atomen elkaar wederzijds uitsluiten. Dat is dus een fundamenteel verschil met onderscheidingen. a1•a2 is een transformatiekoppel dat een referentie kan zijn voor <ai><<a>i> op exact dezelfde manier als voor onderscheidingen: <ai><<a>i> wordt nu gevormd door de disjunctie van atomen <ai> en <<a>i> en indien ak een AND atoom is, dan is <ak> een OR atoom en omgekeerd. Het aantal i geeft nu het aantal atomen met dezelfde waarde. Contradualen hebben hier geen betekenis omdat er geen onderscheidingen gedefinieerd zijn, maar het patroon is hetzelfde als men AND-atomen en OR-atomen wisselt. De formele uitdrukking van een aantal brengt dan impliciet zowel de AND atomen als de OR atomen in stelling en de waarde <<>> voor <ai><<a>i> wordt enkel bereikt als beide termen van de nevenschikking, namelijk ai en <a>i, de waarde <> hebben, in alle andere gevallen van waardetoekenning is <ai><<a>i> ervaren. Hierbij kan de nevenschikking die tussen haken staat (bijvoorbeeld a1a2) ook als vectorproduct geïnterpreteerd worden maar nu moeten we attent zijn en dit kunnen we het gemakkelijkst aangeven met een voorbeeld. De uitdrukking <ai><<a>i> voor 3 atomen is niet anders dan <a1•a2•a3><<a1>•<a2>•<a3>>. Dit is niet anders dan <a1a2a3><<a1><a2><a3>>. We merken op dat <a1•a2•a3><<a1>•<a2>•<a3>> de nevenschikking is van <a1•a2•a3> en <<a1>•<a2>•<a3>>, dat is het gevolg van de uitdrukking van equivalentie van transformatiekoppels en die nevenschikking is dus geen vectorproduct. <a1•a2•a3> en <<a1>•<a2>•<a3>> zijn dus invarianten voor elkaar.
Er geldt <<a1>•<a2>•<a3>>=<<a1•a2•a3>>=a1•a2•a3. Dus a1•a2•a3 kan als intensiteit van <a1>•<a2>•<a3> (dus <a1•a2•a3>) beschouwd worden, of <a1>•<a2>•<a3> kan als intensiteit voor a1•a2•a3 beschouwd worden. Aangezien zowel a1•a2•a3 als <a1>•<a2>•<a3> zich op een zelfde diepte in de tralie bevinden (in dit geval op diepte 3) is de onbekende de grootte van de tralie. De onbekende is de intensiteit van <<>>, de waarde van een andersduale toestand die willekeurig kan gekozen worden omdat elk atoom een referentierol kan vervullen in een tralie dat mede door andere atomen opgespannen wordt. Aangezien de tralie niet bekend is (want dit is de betekenis van het stappenmodel) dan zal, als ai bekend en verwacht is, <ai> onbekend zijn en geïnterpreteerd worden als de (momentane en mogelijks variërende) onverwachte intensiteit van ai. Ook intuïtief zeggen we dat de intensiteit van ai “iets anders dan ai” is.
We zien hier nu een nieuw fenomeen. <a1>•<a2>•<a3> is niet anders dan <a1•a2•a3> en dit geldt voor een willekeurig oneven aantal. <a1>•<a2> is niet anders dan a1•a2 en dit geldt voor een willekeurig even aantal. De referentie die een intensiteit vertoont is altijd gegeven door een a1•a2, dus twee atomen en is dus een even aantal. Dus gelden slechts twee mogelijkheden voor de disjunctie:
Eerste mogelijkheid: <<a1•a2><<a1>•<a2>>>=<<a1•a2><a1•a2>>=a1•a2 en een even intensiteit kan geschreven worden als <<>>(a1•a2), met <<>>=2, 3,... een aantal in disjunctie met (in scalair product met) de eenheid a1•a2. In het stappenmodel veronderstellen we dat het universum onbekend is en er altijd iets ervaren is, (a1⊗a2)r=a1 en voor r=<> is (a1⊗a2)<>=q. Dus a1•a2 (die niet anders is dan de disjunctie a1a2) heeft ervaringswaarde <>. Dus hier staat <<>>(<>).
Tweede mogelijkheid: <<a1•a2•a3><<a1>•<a2>•<a3>>>=<<a1•a2•a3><<a1•a2•a3>>>=<<>> en een oneven intensiteit kan een eenheid die van <<>> verschilt niet weergeven. Dit wordt dan een α(<<>>) of ook anders geschreven als α(<<1>>), met α=2, 3,...
Zelfs al is het universum onbekend, de a priori onbekende grootte van het universum zal gegeven worden door het vectorproduct van de betrokken atomen (niet verschillend van een disjunctie van die atomen) dat zich hier uit als de intensiteit van <<>>. De nevenschikking met een geheel getal is niet anders dan een scalair product.
In het stappenmodel kunnen we eenheden met verschillende namen introduceren, maar als we kunnen tellen hebben ze allemaal dezelfde waarde die, in het geval van een modellering als conjunctie, niet verschillend is van <<>> en die, in het geval van een modellering als disjunctie, niet verschillend is van <>. De eenheden kunnen we kwantificeren met de grootte van het extremum (in het geval van toename met een conjunctie is dit <<>>).
We hebben geleerd om intensiteit te onderscheiden van eenheid. We kunnen nu het onderzoek naar intensiteiten van soorten entiteiten uitbreiden met een operatie “som” en een operatie “product” op de eenheid <<>>.
De berekening van een som vereist dat we eerst expliciteren wat de voorwaarden zijn om getallen met elkaar te sommeren: deze worden gegeven door de notatie <<pi><<p>i>> in het geval van een disjunctie bij toename en de notatie <pi><<p>i> in het geval van een conjunctie bij toename. In deze notatie verwijst i naar het aantal onderscheidingen met dezelfde waarde. In het stappenmodel zijn dat dan het aantal toestanden en aangezien ze elkaar uitsluiten wordt de toename gegeven door een conjunctie. Het vectorproduct van beide eenheden is <p1•p2>•<q1•q2>, dit is niet anders dan p1•p2•q1•q2. Het vectorproduct is niet anders dan de nevenschikking in dit geval, dus de disjunctie p1p2q1q2 en deze is simultaan met elk van de oorspronkelijke eenheden, inderdaad er geldt bijvoorbeeld: pi<p1•p2> is niet anders dan pi<p1p2> en pi<p1p2>p1p2q1q2↔<>. Bijvoorbeeld: noemen we pi<p1•p2>+qj<q1•q2> een som van pi appels en qj peren (merk op dat we hier een gewoon somteken gebruiken), dan kunnen we p1•p2•q1•q2 of dus p1p2q1q2 fruit noemen (een appel is ook fruit, een appel is appelANDfruit en een peer is ook fruit, een peer is peerANDfruit; “appel”, “peer” en “fruit” zijn de namen van een soort en dus een niveau in een tralie). Fruit is de soort waarvan het aantal met het klassieke somteken kan aangeduid worden als pi<<F>>+qj<<F>>=(pi+qj)<<F>>, of pi<<1>>+qj<<1>>=(pi+qj)<<1>> enz....
Merk op dat we in het voorbeeld p1p2q1q2 fruit genoemd hebben, de naam doet er niet toe, het zou evenzeer “ding” kunnen zijn of “iets”. De soortnaam “fruit” is de naam van een soort ding of een soort iets, omgekeerd geldt dat niet, althans niet voor een bepaald agens-in-context. Toch zou het kunnen dat blijkt dat een agens communiceert dat “dat daar een ding is” terwijl het agens aan wie gecommuniceerd wordt eerder de naam appel zou gebruiken. Het agens die de naam “appel” gebruikt kan dat omdat het “dingen” kan onderscheiden van andere, onder andere “appels”. De naam voor de eenheid wordt dus bepaald door de sommen die we kunnen maken op basis van de onderscheidingen of aspecten die relevant geacht worden (er kunnen meer ietsen dan dingen liggen op de tafel, meer dingen dan fruit, meer fruit dan appels). Twee verschillende soorten zijn onvermijdelijk en impliciet concretiseringen van een derde soort waarvan de intensiteit door de som van de intensiteiten van de twee oorspronkelijk verschillende soorten gegeven wordt waarbij de som nog groter zou kunnen zijn.
Merk op dat dit op een subtiele manier verschillend is van de vectorsom van de eenheden die we kunnen berekenen door de disjunctie te nemen en daar de conjunctie bij te tellen. Inderdaad: (<<>>⊕<pi<p1•p2>>⊕<qj<q1•q2>>⊕<<pi<p1•p2>>•<qj<q1•q2>>>)⊕(<>⊕<pi<p1•p2>>⊕<qj<q1•q2>>⊕<pi<p1•p2>>•<qj<q1•q2>>)=pi<p1•p2>⊕qj<q1•q2>. De som pi<p1•p2>⊕qj<q1•q2> is niet verschillend van pi<p1•p2•q1•q2>⊕qj<p1•p2•q1•q2> en dit is niet verschillend van (pi⊕qj)(<p1•p2•q1•q2>) op voorwaarde dat p1•p2•q1•q2=p1p2q1q2↔<>, een van de elkaar uitsluitende toestanden is ervaren en dat geldt voor alle elkaar uitsluitende toestanden.
De berekening van het product van pi en qj vereist dat we eerst expliciteren wat de voorwaarden zijn om getallen met elkaar te vermenigvuldigen. De berekening van een product gaat impliciet uit van de veronderstelling dat er voor elke <p1•p2> een onafhankelijke <q1•q2> kan gevonden worden die zich onderscheidt. Onafhankelijkheid betekent dat de conjunctie en disjunctie van beide mogelijk is, disjunctie die verschilt van <>, conjunctie die verschilt van <<>>, conjunctie die dus verschilt van “gelijk wat” of dus het maximale momentaan universum dat niet ervaren kan worden (waarvoor niet gekozen kan worden).
We geven hiervan twee voorbeelden, een eerste voorbeeld met enkele nominale onderscheidingen, een tweede voorbeeld met ordinale onderscheidingen met een gedefinieerde eenheid.
Voorbeeld 1: neem het aspect kleur en onderscheid hierin <<groen>>, <<geel>> en <<rood>> en neem het aspect grootte en onderscheid hierin <<klein>> en <<groot>>. Dan kan een entiteit zich in 3*2=6 toestanden bevinden: <<groen en klein>>, <<groen en groot>>, <<geel en klein>>, <<geel en groot>>, <<rood en klein>>, <<rood en groot>> als men zich beperkt tot die twee aspecten. Dat zijn de 6 mogelijke conjuncties. Ze zijn mogelijk (ze hebben niet reeds een waarde) en die conjuncties sluiten elkaar wederzijds uit (de conjunctie van conjuncties heeft de waarde <<>>). Formeel is dit snel in te zien: de eerste toestand formaliseren we door <<groen><klein>>, de tweede toestand door <<groen><groot>>. Dus de conjunctie van de eerste toestand en de tweede toestand: <<groen><klein><groen><groot>>, dit is niet anders dan <<groen><klein><groot>>. We merken nu op dat <<klein><groot>> waarde <<>> heeft (ze sluiten elkaar uit, het is onmogelijk dat iets simultaan klein en groot is, tenzij dat men niet dezelfde referentie zou gebruiken) en dus <klein><groot> heeft waarde <> en dus de conjunctie van de eerste toestand en de tweede toestand wordt: <<groen><>> en dit is niet anders dan <<>>. Dit zal opgaan voor alle toestanden twee-aan-twee. We merken ook op dat de disjunctie zowel de soort zal geven als de keuzevrijheid tussen de valideringen. We illustreren dat met de soort <<grootte>>. Stel: klein=<<klein><grootte>> en groot=<<groot><grootte>>. De disjunctie is <<klein><grootte>><<groot><grootte>>, dus <<<<klein><grootte>><<groot><grootte>>>>, dus <<<<klein>><<groot>>><grootte>>, dus <<klein*groot><grootte>>: de conjunctie van <<grootte>> en de keuzevrijheid (nevenschikking aangeduid met *) van de elkaar uitsluitende aspecten die we aannemen als “grootte”.
Voorbeeld 2: neem twee aspecten met een telbare intensiteit, een afstand en een tijd. Elk heeft een infimum en een supremum. Het aantal stappen tussen infimum en supremum is afhankelijk van de onderscheidingen die kunnen gebruikt worden om de intensiteit van afstand en tijd te kwantificeren. Een entiteit heeft wat betreft een aspect een intensiteit die het supremum is van fijnere intensiteiten en een infimum van ruimere intensiteiten, en dat geldt voor gelijk welke intensiteit. De conjunctie van beide gewogen aspecten modelleert een toestand waarin de entiteit zich bevindt. Een entiteit kan zich in zoveel toestanden bevinden als kunnen geconstrueerd worden door een product van twee extrema. Het zijn de extrema die hier een rol spelen want telbaarheid veronderstelt simultaneïteit (de verschillende mogelijke intensiteiten sluiten elkaar niet uit). Klassiek spreken we van een snelheid als we tegengestelde extrema gebruiken (een supremum in het ene geval en een infimum in het andere geval). Een product genereert een aantal dat een som is op een bepaald niveau.
We merken nu op dat onafhankelijkheid niet het geval is: <p1•p2> en <q1•q2> sluiten elkaar uit in de veronderstelling van het stappenmodel, hun conjunctie is geen mogelijke conjunctie, maar de waarde <<>>. Om een zinvol product van aantallen te berekenen moeten we een model construeren waarin <p1•p2> en <q1•q2> geen (elkaar uitsluitende) toestanden zijn maar aspecten van een gemeenschappelijke eenheid (of soort) toestand. De enige mogelijkheid daartoe is dat beide in een groter en gezamenlijk universum uitgedrukt worden. De conjunctie moet dus in een groter onderscheidingen universum voorgesteld worden en dit kunnen we genereren door een creatief product. Om de intensiteit van het product en de eenheid ervan te modelleren gebruiken we nu een tabel uit het algemeen onderzoek over eenheid en intensiteit die ons toelaat het uitgangspunt van het stappenmodel te modelleren:
Uitgangspunt |
Disjunctie u∨v |
Conjunctie u∧v |
Creatief product (u⊗v)a |
|---|---|---|---|
u=(up∨p)∧(uq∨q) v=(vp∨p)∧(vq∨q) |
((up∨vp)∨p)∧((uq∨vq)∨q) |
((up∧vp)∨p)∧((uq∧vq)∨q) |
p∨(up⊗vp)a∧q∨(uq⊗vq)a |
Voorwaarde |
pq=<> |
/ |
/ |
u=(up∧p)∨(uq∧q) v=(vp∧p)∨(vq∧q) |
((up∨vp)∧p)∨((uq∨vq)∧q) |
((up∧vp)∧p)∨((uq∧vq)∧q) |
(p∧(up⊗vp)a)∨(q∧(uq⊗vq)a) |
Voorwaarde |
/ |
<<p><q>>=<<>> |
/ |
We modelleren het uitgangspunt van het huidig onderzoek door te veronderstellen dat uq waarde <> heeft en vp waarde <> heeft, waardoor we ook impliciet veronderstellen dat de samenstelling van de eenheden de conjunctie zal zijn. (Noteer dat de duale situatie, namelijk dat uq waarde <<>> heeft en vp waarde <<>> heeft, leidt tot de veronderstelling dat de samenstelling van de eenheden een disjunctie zal zijn.)
We stellen daardoor u gelijk aan pi<p1•p2>=u=(up∨p)∧(uq∨q)=(up∨p)∧(<>)=(up∨p)
We stellen daardoor v gelijk aan qj<q1•q2>=v=(vp∨p)∧(vq∨q)=(<>)∧(vq∨q)=(vq∨q)
We stellen ook dat de conjunctie van u en v de waarde <<>> heeft (het stappenmodel).
Uitgangspunt |
Disjunctie u∨v |
Conjunctie u∧v |
Creatief product (u⊗v)a |
|---|---|---|---|
u=(up∨p) v=(vq∨q) |
((up∨<>)∨p)∧((<>∨vq)∨q)=<<<>><<>>>=<>
|
((up∧<>)∨p)∧((<>∧vq)∨q)=(up∨p)∧(vq∨q)=<<>> |
p∨(up⊗<>)a∧q∨(<>⊗vq)a |
Voorwaarde |
pq=<> |
/ |
/ |
Voor de disjunctie (die niet anders is dan <>) is de voorwaarde dat minstens één van de eenheden ervaren moet zijn.
Het creatief product p∨(up⊗<>)a∧q∨(<>⊗vq)a kunnen we als volgt verder onderzoeken door eerst elke term van de conjunctie te expliciteren als welgevormde haakuitdrukking, en dan de conjunctie te nemen van beide haakuitdrukkingen.
p∨(up⊗<>)a is p<a<up>><<a><<>>> is pupa
q∨(<>⊗vq)a is q<a<<>>><<a><vq>> is qvq<a>
p∨(up⊗<>)a∧q∨(<>⊗vq)a is dus <<pupa><qvq<a>>> en dat is niet anders dan (pup⊗qvq)a en omdat u en v (u=upp en v=vqq) elkaar uitsluiten is dat niet anders dan het vectorproduct van de termen, namelijk pup•qvq. Hierin speelt a geen rol meer en we kunnen dus veronderstellen dat a de laatst toegevoegde onderscheiding is, zowel voor pup als voor qvq, die ons toelaat een invers voor het product te definiëren en dus in het hoogste universum functioneert, universum dat de eenheid p•q opspant. We zoeken nu de intensiteit en de eenheid van pup•qvq. Onze hypothese is dat de intensiteit up•vq is (en dus in de “entiteit notatie” pi•qj) en de eenheid p•q is (en dus in de “entiteit notatie” p1•p2•q1•q2). We zoeken dus de voorwaarden waaronder upp•vqq gelijk is aan de disjunctie <<up•vq>><<p•q>>. Merk op dat dit een minimale hypothese is doordat we het vectorproduct gebruiken en niet de disjunctie of conjunctie.
We expliciteren nu de twee termen als welgevormde haakuitdrukkingen.
Eerste deel van de gelijkheid is upp•vqq is <<up pvqq><<upp><vqq>>>
We veronderstelden reeds dat p en q elkaar uitsluiten, dus p•q (die in haakuitdrukking gelijk is aan <<pq><<p><q>>>) is niet anders dan pq.
Tweede deel van de gelijkheid is <<up•vq>><<p•q>> is dus <<upvq ><<up><vq>>>pq of dus <<upvq pq><<up><vq>pq>>. Deze laatste uitdrukking kunnen we herschikken zodanig dat blijkt dat <<up•vq>><<p•q>> niet verschillend is van <<uppvqq><<up>p<vq>q>>.
We moeten nu onderzoeken onder welke voorwaarde <<up pvqq><<upp><vqq>>>↔<<uppvqq><<up>p<vq>q>>. Een deel hiervan is de voorwaarde onder dewelke geldt dat <up pvqq>↔<>, of dus elk van de vier uitdrukkingen is niet verschillend van <<>> en een tweede deel is de voorwaarde onder dewelke geldt dat <upp><vqq>↔<up>p<vq>q.
We moeten dus de gelijkheid uitdrukken en dus moet het volgende patroon niet verschillend zijn van <>:
<<upp><vqq><up>p<vq>q><<<upp><vqq>><<up>p<vq>q>>
<<<>><<>><up>p<vq>q><<<upp><vqq>><<up>p<vq>q>>
<<up>p<vq>q><<<upp><vqq>><<up>p<vq>q>>
<<up>p<vq>q><<<upp><vqq>>>
<<up>p<vq>q><upp><vqq>
<<up><<p>><vq><<q>>><upp><vqq>
<<up<upp><vqq>><<p><upp><vqq>><vq<upp><vqq>><<q><upp><vqq>>>
<<up<p><vqq>><<p><vqq>><vq<upp><q>><<q><upp>>>
<<<<up<p><vqq>><<p><vqq>>>><vq<upp><q>><<q><upp>>>
<<<p><vqq><<up><>>><<upp><q><<vq><>>>>
<<<p><vqq>><<upp><q>>>
Dit moet gelijk zijn aan <>.
Stel nu dat er geldt dat up↔vq↔<<>>, dan wordt deze uitdrukking herleid tot <<<p><q>><<p><q>>> of dus <<<p><q>>> en dus <p><q>. In de veronderstelling dat de eenheden elkaar uitsluiten heeft <p><q> de waarde <>.
Dit geldt echter niet voor up↔vq↔<>, want dan wordt de uitdrukking <<<p><vqq>><<upp><q>>> herleid tot <<<p><<>q>><<<>p><q>>>, dus <<<p><<>>><<<>><q>>>, dus <<<p>><<q>>>, dus <pq> en wil deze uitdrukking de waarde <> hebben dan moeten beide eenheden waarde <<>> hebben en dit is een veel sterkere veronderstelling dan enkel maar elkaar uitsluiten.
Onze hypothese was dat de intensiteit up•vq is en de eenheid p•q is, en dus zochten we de voorwaarde waaronder upp•vqq gelijk is aan de disjunctie <<up•vq>><<p•q>>. Er blijkt hierbij dat de hypothese voor up•vq te zwak is en dat upvq↔<<>> een voldoende voorwaarde is en niet up•vq↔<<>> (die minder eisen stelt).
We kunnen daarom nog eens expliciet de nieuwe hypothese berekenen en zoeken dan de voorwaarde waaronder upp•vqq gelijk is aan de disjunctie upvq<<p•q>>. De nieuwe disjunctie is dus uppvqq aangezien p en q elkaar uitsluiten en p•q dus niet anders is dan pq.
We drukken dus het patroon <<up pvqq><<upp><vqq>>>↔ uppvqq uit en onderzoeken wanneer dit gelijk is aan <>.
<uppvqq<<uppvqq><<upp><vqq>>>><<uppvqq><<<uppvqq><<upp><vqq>>>>>
<uppvqq<<><<upp><vqq>>>><<uppvqq><<<<upp><vqq>>>>>
<uppvqq><<uppvqq><<<<upp><vqq>>>>>
<uppvqq><upp><vqq>
<upp><vqq>
Dit levert natuurlijk upvq↔<<>> op als voldoende voorwaarde om deze uitdrukking de waarde <> te geven.
QED
Een intensiteit kan als een bepaalde som van elkaar uitsluitende entiteiten of aspecten beschouwd worden, entiteiten of aspecten die verschillende namen kunnen krijgen. Die namen refereren dan naar mogelijke sommen die de intensiteit van mogelijke entiteiten zouden kunnen modelleren. Kleinere sommen zullen meer beperkingen introduceren als noodzakelijke onderscheidingen die moeten toegevoegd worden. Als de optelling met een conjunctie gebeurt dan zullen meer abstracte namen fijner en simultaan zijn met meer concrete namen. De concretere namen zullen kleinere sommen krijgen als intensiteit. De verschillende namen komen overeen met verschillende mogelijke disjuncties van de beschouwde elkaar uitsluitende entiteiten of aspecten.
Een intensiteit kan ook als het mogelijke aantal van elkaar uitsluitende conjuncties van aspecten beschouwd worden. Dat aantal is gegeven door het product van onafhankelijke (en dus niet elkaar uitsluitende) aspecten. De conjuncties van die aspecten zijn enkel elkaar uitsluitend in het grootste universum en het is dat grootste universum dat een invers mogelijk maakt voor het product. Die aspecten kunnen als de disjuncties van de conjuncties beschouwd worden met een intensiteit die gegeven wordt door het mogelijke repertorium van de conjuncties. De aspecten die enkel de conjuncties karakteriseren hebben allemaal waarde <<>>. De disjunctie van die conjuncties is niet anders dan de afgeleide naar de laatst toegevoegde onderscheiding.
Wanneer aantallen geconstrueerd worden door conjunctie, dan is de rol van de nieuwe eenheid essentieel en die wordt gespeeld door de disjunctie van de elkaar uitsluitende entiteiten of aspecten. Is een agens creatief genoeg, dan is het in staat om aan de disjuncties die nodig zijn om som en product te gebruiken een hanteerbare naam of functie te geven die verschillend is van “dat wat ik ervaar” (formeel dus <>). Voor zichzelf is dit wellicht voldoende, maar om deze te kunnen communiceren aan andere agentia zijn gemeenschappelijke ervaringen noodzakelijk. Het is noodzakelijk om samen “ja” te kunnen zeggen.
Het verschil tussen entiteiten, aspecten, soorten, types enz…, kortom een kwalitatief onderscheid, en hun kwantiteit is heel duidelijk te zien in het feit dat de kwantiteit vereist dat een bepaalde waarde gekozen wordt uit de enige twee mogelijke waarden, terwijl het kwalitatief onderscheid enkel vereist dat dezelfde waarde gekozen wordt, wat die ook zou mogen zijn.
Als aspecten elkaar uitsluiten, dan zijn hun intensiteiten te sommeren en de resulterende som is de intensiteit van de disjunctie van aspecten.
Als aspecten elkaar niet uitsluiten dan kunnen we ze beschouwen als (eerste) afgeleiden in het grootste universum dat opgespannen wordt door de elkaar uitsluitende conjuncties van die aspecten en het is de som van de intensiteiten van die conjuncties die het mogelijk maakt de elkaar niet uitsluitende aspecten te kwantificeren.
We geven een eenvoudig voorbeeld met toestanden (entiteiten zijn altijd van hieruit te construeren in een één-hoger universum): stel Ta voor door 0<<1>> met twee hoog-bits, dus de mogelijke toestanden zijn de volgende drie gecodeerd als 011, 101, 110 en stel Tb voor door 0<<1>> met één hoog-bit, dus de mogelijke toestanden zijn de volgende twee gecodeerd als 01 en 10. De conjunctie van een Ta en een Tb genereert een gemeenschappelijk universum dat groter is. We kunnen deze conjuncties als volgt construeren: elk bit van Ta vermenigvuldigen we met het aantal bits van Tb, in dit geval dus 2. Om het proces te volgen gebruiken we ronde haken, we bekomen dus (00)(11)(11), (11)(00)(11) en (11)(11)(00). Nu kunnen we de conjunctie berekenen met (01)(01)(01) en (10)(10)(10) en dat levert dus de volgende elkaar uitsluitende toestanden: (01)(11)(11), (10)(11)(11), (11)(01)(11), (11)(10)(11), (11)(11)(01) en (11)(11)(10) en in het stappenmodel noteren we het patroon als 0<<1>>, met 5=6-1 hoogbits.
Zoals elk creatief product bevindt elke toestand zich tussen de conjunctie van de termen en de disjunctie van de termen. Neem als de termen 011 en 01, dus in gemeenschappelijk universum zijn dat de punten 011011 en 010101, de conjunctie is 011111 en de disjunctie is 0100001, en 011111 bevindt zich daar tussen.
We hadden voor de constructie ook kunnen vertrekken van de bitstring van 01 waarbij we elke bit vermenigvuldigen met 3, wat dus (000)(111) oplevert, en in conjunctie met (011)(011) levert dat (011)(111) op, die zich natuurlijk niet onderscheidt van (01)(11)(11).
De entiteiten die met deze toestanden kunnen geconstrueerd worden zijn dan de andersdualen 011111111110, 101111111101, 110111111011, 111011110111, 111101101111 en 111110011111.
Stel twee atoomburen pi<p1•p2> en qj<q1•q2>. Het kleinste gemene veelvoud van pi en qj zal dan aangeven hoeveel maal de bitstrings voor elk van beide moet herhaald worden om in hetzelfde universum uitgedrukt te worden. Het creatief product (pi<p1•p2>⊗qj<q1•q2>)a bevindt zich tussen de conjunctie <<pi<p1•p2>><qj<q1•q2>>> en de disjunctie pi<p1•p2>qj<q1•q2>.
Het aantal mogelijke toestanden is exact het aantal bits van het universum dat door die toestanden opgespannen wordt. We hebben aangetoond dat elke bit als een afzonderlijke entiteit kan beschouwd worden. Elke bit kan dus een andere intensiteit krijgen.
We merken op dat, hoewel we weten dat er onderliggend een tralie te definiëren valt, de toename of afname van de intensiteit van een entiteit door een monotoon pad in de tralie gemodelleerd zal worden omdat de intensiteit geconstrueerd wordt door een conjunctie (de conjunctie met a levert punten op die verschillen van de conjunctie met <a>). We kunnen nu veronderstellen dat de paden van verschillende tralies geen gemeenschappelijk punt hebben en dus geen volledige “overkoepelende” tralie bouwen, enkel de extrema van een potentieel overkoepelende tralie zijn gemeenschappelijk (we ervaren altijd iets in het grootste universum). De tralie waarin soort <p1•p2> kan voorgesteld worden zal dan in bitstring door een extremum <<A>> voorgesteld kunnen worden en de tralie waarin soort <q1•q2> kan voorgesteld worden zal dan in bitstring door een extremum <<B>> voorgesteld kunnen worden. De intensiteit van het eerste extremum kan dan gegeven zijn door 2x en de intensiteit van het tweede extremum kan dan gegeven zijn door 2y. Op die manier kunnen we dus in het bitstring model twee entiteiten modelleren die geen relatie hebben tot elkaar: elk heeft zijn “eigen” tralie, in het ene geval opgebouwd met de hoog-bits A versus laag-bits <A>, in het tweede geval opgebouwd met de hoog-bits B versus laag-bits <B>. Maar dit is slechts een illusie. A en B kunnen niet als onafhankelijk van elkaar beschouwd worden want hun conjunctie is onmogelijk en hun disjunctie is onvermijdelijk. Dus als we voor elke entiteit of soort die we willen modelleren een ander symbool gebruiken dan zal het extremum dat onmogelijkheid weergeeft door het product 2x2y van identieke bits voorgesteld worden (bijvoorbeeld C, zolang de gekozen symbolen maar verschillen van A of B) omdat elke bit met aantal x met elke bit met aantal y kan gecombineerd worden. We zien dat dit inderdaad overeenkomt met het aantal onderscheidingen die gezamenlijk de nieuwe tralie van mogelijke interacties zouden kunnen opspannen, interacties die in de veronderstelling beperkt zijn tot één: de onmogelijkheid van de conjunctie. De twee entiteiten, <p1•p2> en <q1•q2>, zullen zich op centraal niveau in die tralie bevinden maar het punt dat hun intensiteit kan representeren zal op een ander en eventueel verschillend even niveau liggen. De representerende bitstring zal een aantal maal het patroon 0<<1>>0 herhalen. In beide gevallen zal de verhouding van het aantal laag-bits ten opzichte van het totaal aantal bits de intensiteit geven.
Wat we daaruit leren is dat een “bitstring” ABCDE (en onder andere een van zijn varianten A<B>CD<E>) perfect in het haakformalisme modelleert dat een universum van 5 entiteiten met elk een eigen intensiteit geen relatie hebben tot elkaar behalve dat hun conjunctie twee-aan-twee onmogelijk is en hun disjunctie twee-aan-twee onvermijdelijk is. Stel dat er wel relaties zouden bestaan dan zullen die relaties een gemeenschappelijke tralie genereren dat gegenereerd zou kunnen worden door het splitsing model. Elk symbool kan dan staan voor een aantal en die aantallen kunnen gemodelleerd worden door de inwendige discriminatie intensiteit.
Veronderstel nu twee entiteiten, atoomburen die elkaar uitsluiten, noem ze pi<p1•p2> en qj<q1•q2> elk met hun eigen intensiteit. Door de veronderstelling dat ze atoomburen zijn moeten ze wel een universum delen. Dat universum is te construeren door conjunctie <<pi<p1•p2>><qj<q1•q2>>>, disjunctie pi<p1•p2>qj<q1•q2> en vectorproduct pi<p1•p2>•qj<q1•q2> te berekenen, vectorproduct dat niet anders is dan de volgende disjunctie van conjuncties: <pi<p1•p2><qj<q1•q2>>><<pi<p1•p2>>qj<q1•q2>>. Elkaar uitsluiten in dat universum kan gemodelleerd worden door een conjunctie met een <w> versus w, dus <<pi<p1•p2>>w> versus <<qj<q1•q2>><w>> want dan is <<<<pi<p1•p2>>w>><<<qj<q1•q2>><w>>>> niet anders dan <<>>. We kunnen die w dan interpreteren als een laatst toegevoegde toestand.
Een kleiner aantal dan het maximaal mogelijke zal dan ook afhankelijkheid uitdrukken. Er worden toestanden gerealiseerd die een conjunctie zijn van de nieuwe punten. Met een voorbeeld in drie onderscheidingen: stel dat we alle mogelijkheden als even waarschijnlijk beschouwen dan zou het product van alle elkaar uitsluitende mogelijkheden 236 zijn (212223...28) in plaats van de effectief optredende 28. In een drie onderscheidingen universum worden de 28 punten door slechts 8 onafhankelijke aspecten opgespannen, namelijk a, b, c, a•b, a•c, b•c, a•b•c (of natuurlijk een andere onafhankelijke combinatie zoals <a>, b, c, <a•b>, <a•c>, b•c, <a•b•c>).