Relevantie en waarschijnlijkheid

Achter de technieken ontwikkeld in de waarschijnlijkheidsrekening ligt de structuur van de werkelijkheid. De bijkomende veronderstelling die men moet maken om de eigenschappen van de waarschijnlijkheidsgetallen terug te vinden is dat de beschouwde gebeurtenissen geen potentiële punten zijn maar punten waaraan een waarde toegekend werd, punten die zich dus niet onderscheiden van <>, of niet onderscheiden van <<>>, dit onderscheid is irrelevant. Niet potentiële punten hebben we ook gecollapste punten genoemd, omdat ze aanleiding geven tot de collaps van een tralie naar een deeltralie. Gecollapste tralies zijn ook door een partiële orderelatie met elkaar verbonden, deze relatie is de relatie van relevantie die te construeren is door de orthogonale involutie (een involutie die enkel werkzaam is op willekeurige signatuurbits (modulo3 bits) en don't cares (de modulo3 nul)). De relatie van relevantie kent een metriek. De axioma's van de waarschijnlijkheidsrekening (Kolmogorov) kunnen dus afgeleid worden uit het ene axioma van het haakformalisme. Dat is een toepassing van de inzichten van de relatie van relevantie die een relatie is tussen gecollapste tralies. De relatie van relevantie is goed voor te stellen door een soort bitstring die enkel twee symbolen onderscheidt: “x” en “.”. De waarschijnlijkheden (die getallen zijn tussen 0 en 1) worden dus perfect gemodelleerd door het genormaliseerde aantal van het symbool “.” in de bitstring. De benadering die in de Bayesiaanse waarschijnlijkheidsrekening gevolgd wordt ligt daarbij het dichtst bij de inzichten van het haakformalisme.

Hieronder geven we de vertaling van de structuur van de waarschijnlijkheidsrekening in de codering die in het haakformalisme ontwikkeld is om de relatie van relevantie weer te geven. De tabel maakt het isomorfisme tussen beide structuren duidelijk. Om de vertaling duidelijk te maken en de rol van de extrema hierin (de samenwerking van de verschillende soorten haken) is ook de overeenkomstige welgevormde haakuitdrukking weergegeven die naar zijn relevantie vorm in de meting collapst.

Indien een product van waarschijnlijkheden aangegeven is in de linker kolom komt dit overeen met de conjunctie van de overeenkomstige welgevormde haakuitdrukkingen in de tweede kolom. Indien een som van waarschijnlijkheden in de linker kolom aangegeven is komt dit overeen met de disjunctie van de overeenkomstige haakuitdrukkingen in de tweede kolom, op voorwaarde dat de disjunctie overeenkomt met het niet onderscheiden zijn van XOR en OR.

In bitvorm moeten we uiteraard voor een bepaald universum kiezen en dus voor een aantal bits in de relatie van relevantie. We volgen hiervoor de conventie om a met 1010 aan te duiden, b met 1100 en c met 11110000. Een gecollapste a (dus een a die niet meer te onderscheiden is van <>) wordt dan aangeduid door x0x0, of dus in de relatie van relevantie als x.x., wat overeenkomt met [a], op dezelfde manier komt <> overeen met [[]].

Waarschijnlijkheidsrekening	Onderliggende welgevormde haakuitdrukking	Relatie van relevantie in productvorm	Relatie van relevantie in somvorm	Relatie van relevantie in bitvorm, in product- en in somvorm
P(a)	a	[a]	[a]	x.x.
P(b)	b	[b]	[b]	xx..
P(Ω)=1	<>	[[]]	[[]]	....
P(∅)=0	<<>>	[]	[]	xxxx
P(a ∩ b)	<<a><b>>	[a]×[b]	[a+b]	xxx.
P(a/b)	a<b>	[a×[b]]	[a]+b	Product [(.x.x)×(xx..)]= [(xx.x)]= (..x.) Som (x.x.)+(..xx)= (..x.)
P(a/<<>>)=1 Merk op dat dit goed gedefinieerd is ondanks het feit dat <<>> niet kan ervaren worden, dus P(<<>>) gelijk is aan nul.	a<<<>>>↔<>	[a×[]]	[a]+[[]]	Product [(.x.x)×(xxxx)]= [(xxxx)]= (....) Som (x.x.)+(....)= (....)
P(<<>>/b)= P(<b>)	<<>><b>	[[]×[b]]	[[]]+b	Product [(xxxx)×(xx..)]= [(xxxx)]= (....) Som (....)+(..xx)= (....) Op het eerste zicht komt de relatie van relevantie niet overeen met de onderliggende welgevormde haakuitdrukking. Ook in de bestaande literatuur is het een heikel punt welke waarschijnlijkheid in dit geval moet toegewezen worden. Het inzicht is hier dat het resultaat altijd relevant is, wat ook de invulling van b. Het moet ons niet verbazen dat het programma van de waarschijnlijkheidsgetallen in de problemen komt wanneer men moet modelleren dat <<>>↔<>.
P(a/b)P(b)=P(a∩b)	<<a<b>><b>>↔<<a><b>>	[a×[b]]×[b]	[[[a]+b]+b]	Product (..x.)×(xx..)= (xxx.) Som [[(x.x.)+(..xx)]+(..xx)]= [[(..x.)]+(..xx)]= [(xx.x)+(..xx)]= [(...x)]= (xxx.)
P(a/<<a>b>)	a<a>b ↔ <>	[[a]×a×[b]]	a+[a]+b	Product [(x.x.)×(.x.x)×(xx..)]= (....) Som (.x.x)+(x.x.)+(..xx)= (....)
P(a/<<a>b>)P(<<a>b>)	<<<>><a>b> ↔ <<a>b>	[[]]×[a]×b	[[]]×[a+[b]]= [[]+a+[b]]	Product (....)×(x.x.)×(..xx)= (x.xx) Som [(xxxx)+(.x.x)+(xx..)]= [(.x..)]= (x.xx)
P(a/<<a><b>>)P(<<a><b>>)	<<<>><a><b>> ↔ <<a><b>>	[[]]×[a]×[b]	[[]]×[a+b]= [[]+a+b]	Product (....)×(x.x.)×(xx..)= (xxx.) Som [(xxxx)+(.x.x)+(..xx)]= [(...x)]= (xxx.)
Bayes P(a)=Σ_jP(a/<<A>_i>)P(<<A>_i>)	a↔<<a>b><<a><b>> Merk op OR is niet onderscheiden van XOR	[[[a]×b]×[[a]×[b]]]= [a]=([a]×b)+([a]×[b])	[a+[b]]+[a+b]= [a]=([a]×b)+([a]×[b])	Product [[[(.x.x)]×(..xx)]×[[(.x.x)]×[(..xx)]]]= [[(x.x.)×(..xx)]×[(x.x.)×(xx..)]]= [[(x.xx)]×[(xxx.)]]= [(.x..)×(...x)]= [(.x.x)]= (x.x.) Som [(.x.x)+[(..xx)]]+[(.x.x)+(..xx)]= [(.x.x)+(xx..)]+[(...x)]= [(.x..)]+[(...x)]= (x.xx)+(xxx.)= (x.x.) Product en som gecombineerd (x.xx)+(xxx.)= (x.x.)
Two-place probability Multiplication axiom (Johnson's product rule) P((b∩c)/a)=P(b/a)P(c/(b∩a))	<<b><c>><a>↔ <<b<a>><c<b><a>>>	[[[b]×[c]]×[a]]	[b+c]+a	Product [[[(..xx..xx)]×[(....xxxx)]]×[(.x.x.x.x)]]= [[(xx..xx..)×(xxxx....)]×(x.x.x.x.)]= [[(xxxxxx..)]×(x.x.x.x.)]= [(......xx)×(x.x.x.x.)]= [(x.x.x.xx)]= (.x.x.x..) Som [(..xx..xx)+(....xxxx)]+(.x.x.x.x)= [(......xx)]+(.x.x.x.x)= (xxxxxx..)+(.x.x.x.x)= (.x.x.x..)
Two-place probability Export-import law P((c/b)/a)=P(c/b∩a)	<b><a>c↔ <<<b><a>>>c	[b×a×[c]]	[b]+[a]+c	Product [(..xx..xx)×(.x.x.x.x)×[(....xxxx)]]= [(.xxx.xxx)×(xxxx....)]= [(xxxx.xxx)]= (....x...) Som [(..xx..xx)]+[(.x.x.x.x)]+(....xxxx)= (xx..xx..)+(x.x.x.x.)+(....xxxx)= (....x...)

De Finetti definieert: a is superior dan b iff P(a/(a+b))=1

a<<a><<a>b>>

a<<>>

a

Vertaling: stel <a><<a>b> is ervaren. Als nu P(a) onder die voorwaarde 1 is dan moet a ervaren zijn en dan moet dus b gebeuren. Dan geldt dus a<<a><<a>b>> en dit is a. Dus “a is superior dan b” is een andere uitdrukking om te zeggen dat a fijner is dan b, P(a) is groter dan P(b).