We leiden de axioma's van de waarschijnlijkheidsrekening (Kolmogorov) af uit het ene axioma van het haakformalisme. Voor elk axioma doen we dat in twee stappen. In een eerste stap gaan we over van een welgevormde haakuitdrukking (relatie van simultaneïteit, “indien... dan..., zoniet...” relatie) naar een relatie tussen haakuitdrukkingen met een toegekende ervaringswaarde (relatie van relevantie). Die laatste haakuitdrukkingen modelleren dan een niveau in de tralie van relevantie. Het is die tralie, die in bitstring enkel de symbolen “x” en “.” kent, die gebruikt wordt om de waarschijnlijkheidsgetallen te definiëren, waarbij we zullen aantonen dat ze metrische getallen zijn.
We ervaren altijd iets is het enige axioma van het haakformalisme. In waarschijnlijkheidsjargon betekent dit dat de waarschijnlijkheid dat we iets ervaren 1 is. We schrijven P(<>)=1.
Dit is axioma 1: P(Ω)=1.
Het verschil tussen <> en Ω is dat Ω verwijst naar een relevante resultatenruimte. We realiseren iets, we voeren een test uit, we observeren iets met de verwachting dat we altijd hiermee een relevant resultaat zullen bereiken, wel relevant maar niet altijd op voorhand gekend. Met een voorbeeld: het aantal ogen dat ik gooi met een dobbelsteen is relevant in sommige spellen. Ik weet op voorhand dat ik een aantal ogen zal gooien als ik ervoor zorg dat er altijd een zijde bovenaan ligt. Ik weet op voorhand dat ik maar zes mogelijke resultaten zal waarnemen, maar het exacte aantal dat ik zal gooien is niet op voorhand gekend en kan enkel maar gebeuren in het ervaren van het gooien van een dobbelsteen, het exacte aantal kan niet gekozen worden.
Deze Ω is dus niets anders dan een bepaalde ongekende welgevormde haakuitdrukking, onbekend maar die we beschouwen als supremum in de relatie van relevantie en die we kunnen voorstellen, bijvoorbeeld in een vier onderscheidingen universum, door H of (................), notering die we ontwikkelden voor de relatie van relevantie en voor de orthogonale involutie. Om de aandacht te richten met een voorbeeld: de ongekende welgevormde haakuitdrukking is een van de zes unieke mogelijke beschrijvingen van de toestand van een kubus na werpen. Dit is een zeer complexe logische conjunctie van onderscheidingen waarbij de onderscheidende (of relevante) onderscheiding het aantal ogen is.
Alle AND-atomen sluiten elkaar uit. Dit betekent dat het onmogelijk is dat men een conjunctie van twee AND-atomen kan ervaren of kan kiezen. In waarschijnlijkheidsjargon betekent dit dat de waarschijnlijkheid dat we iets onmogelijk ervaren 0 is. We schrijven P(<<>>)=0. Het unieke van het inzicht van het haakformalisme is nu dat dit betekent dat, als we iets kiezen te ervaren, dat er iets anders gebeurt dat we niet kunnen kiezen. Immers, volledig duaal hadden we kunnen we zeggen: er gebeurt altijd iets anders en in waarschijnlijkheidsjargon zou dit dan betekenen dat de waarschijnlijkheid dat er iets anders gebeurt 1 is en we zouden schrijven P(<<>>)=1. De positie in waarschijnlijkheidsjargon van P(<>) ten opzichte van P(<<>>) is dus relatief maar dit wordt in de waarschijnlijkheidsleer niet beklemtoond, men spreekt enkel van “gebeurtenissen”. In de waarschijnlijkheidsrekening kiest men dan voor een van beide als “de leegte” en men kiest hiervoor P(∅)=0. In het haakformalisme wordt de lege verzameling door de al-nul vector voorgesteld, bijvoorbeeld in een vier onderscheidingen universum, door (xxxxxxxx), notering die we ontwikkelden voor de relatie van relevantie en voor de orthogonale involutie. De relatie van relevantie is gedefinieerd met de extrema H en X.
We hebben bewezen dat een metriek in een tralie kan gedefinieerd worden uitgaande van de niveauverschillen, dit geldt uiteraard ook voor een tralie die geconstrueerd wordt op basis van de relatie van relevantie. Dit is exact de metriek van een genormaliseerde waarschijnlijkheid P(E), een getal dus tussen 0 en 1, waarbij geldt dat 0 ≤ P(E) ≤ 1. In een tralie is duidelijk dat er vanaf elk minst relevante element relevanter dan de al-nul vector een monotone rij punten te construeren is naar een meest relevante element minder relevant dan H en omgekeerd, waarbij elke stap één niveau verder gaat. Datzelfde geldt tussen elk infimum en elk supremum. In een tralie is het ook duidelijk dat de afstandsmaat die gedefinieerd werd additief is over een monotone rij. Merk daarenboven op dat de gebeurtenissen E die het meest frequent voorkomen en dus deel uitmaken van de meeste monotone paden, voorgesteld worden door de punten van het centraal niveau in de tralie.
Dit is axioma 2: 0 ≤ P(E) ≤ 1.
Het toekennen van een getal is het toekennen van een waarde. De waarschijnlijkheidsrekening kent aan elk punt een waarde toe. In het haakformalisme hebben we aangetoond dat een waarde toekennen aan een punt (en dus geen verschil maken met <> of met <<>>) betekent dat er don't cares ontstaan in de bitvoorstelling van het punt.
Laten we nu eens kijken naar een gebeurtenis E. Wat is de waardering die genoteerd wordt in de waarschijnlijkheidsrekening als P(E)?
In elk geval geldt dat Ω, de relevante resultatenruimte, relevanter is dan E. Dit interpreteren we als P(E/Ω). P(E/Ω) is de uitdrukking die gebruikt wordt voor de waarschijnlijkheid van E, gegeven Ω (of onder voorwaarde Ω), en dit is dus juist P(E) in zijn resultatenruimte. Men noemt dit ook een voorwaardelijke waarschijnlijkheid. Dit verbindt het onderliggend axioma met de Bayesiaanse waarschijnlijkheidsrekening, de enige variant van de waarschijnlijkheidsrekening die ontwikkeld is om een aanpasbare resultatenruimte toe te laten. In elk geval geldt daarenboven dat in het haakformalisme <<E><<>>> niet kan onderscheiden worden E. We interpreteren <<E><<>>> als de conjunctie van E en <>. We hebben dan ook de relatie van relevantie geïntroduceerd als relatie tussen gecollapste tralies, en <<E><<>>> wordt hierin vertaald als [E]×[] en dit is gelijk aan [E] de vorm in de relatie van relevantie waarnaar E collapst in de meting, wat E ook moge zijn als potentiële bitstring (dus een bitstring opgebouwd met + en -). Dus P(<<E><<>>>) is niet te onderscheiden van P(E/Ω).
Hieruit volgt dat ook geldt dat P(E)=P(<<E><<>>>)+P(<<E><>>) met + de klassieke getalsom aangezien <<E><<>>> en <<E><>> elkaar uitsluiten en dus OR niet te onderscheiden is van XOR. Merk op dat <<E><>> niet te onderscheiden is van <<>> en dus dat geldt P(<<E><>>)=0. Dit is allemaal eenduidig in de relatie van relevantie uit te drukken. Uit het ene axioma van het haakformalisme volgt dat er duidelijk gedefinieerde gevallen zijn waarin een OR van punten niet kan onderscheiden worden van een XOR, waarbij de OR/XOR samenstelling de karakteristieken krijgt van een klassieke som. In de waarschijnlijkheidsrekening moet dat echter als een axioma geponeerd worden waarbij het axioma de volgende vorm krijgt:
Dit is axioma 3: P(E1∪E2)=P(E1)+P(E2) dan en slechts dan wanneer E1∩E2=∅
De somregel P(E1∪E2)=P(E1)+P(E2) volgt rechtstreeks uit axioma 3: de gebeurtenissen moeten elkaar uitsluiten, het mag niet zo zijn dat ze simultaan realiseerbaar zijn, dus E1∩E2=∅.
De productregel geldt als de gebeurtenissen simultaan mogelijk zijn. P(E1∩E2)=P(E1)*P(E2) als E1 en E2 onafhankelijk van elkaar kunnen voorkomen, dus als elk voorkomen van E1 simultaan mogelijk is met het voorkomen van E2 en beide voorkomen, dus als E1∩E2≠∅. Dus E1∩E2 is een mogelijke uitkomst. Bijvoorbeeld: de waarschijnlijkheid van het gooien met een dobbelsteen van een bepaald aantal ogen is 1/6, de waarschijnlijkheid van het gooien met twee dobbelstenen van een bepaald aantal ogen is 1/6*1/6, de waarschijnlijkheid van het gooien met een dobbelsteen van een reeks van twee resultaten met een bepaald aantal ogen is 1/6*1/6 (de eerste worp en de tweede worp sluiten elkaar wel uit, maar de resultaten kunnen samen voorkomen omdat we naar de reeks van twee als resultaat beschouwen).
Het p-punt van een stochastische variabele S is een mogelijke waarneming van S die niet realiseerbaar hoeft te zijn maar die kan voorkomen en geven we aan met s(p) waarbij we conventioneel spreken van de waarschijnlijkheid P(S ≤ s(p)) = p. Met dat getal tussen 0 en 1 geven we aan waar s(p) (het p punt) zich in de structuur van de werkelijkheid van het waarnemen van S bevindt. Merk op dat er hier telkens van een interval sprake is. Immers, er geldt dat bijvoorbeeld de waarschijnlijkheid dat s(p) zich in het interval tussen s(p1) en s(p2) bevindt zeker groter is dan de waarschijnlijkheid dat s(p) gelijk is aan s(p1), en groter is dan de waarschijnlijkheid dat s(p) zich in een kleiner interval bevindt. Wanneer dit het geval is noemen we de kansverdeling continu.
De waarschijnlijkheid is een getal tussen 0 en 1. Uitgedrukt als P(S≤ s(p)) = p geldt dan:
P(S≤ s(p)) = p = P(S < s(p)) aangezien P(S = s(p)) = 0 (we kunnen met andere woorden niet voor kiezen voor een vooraf bepaalde waarde van s(p)).
P(S > s(1-p)) = p
P(S < -s(1-p)) = p
Dus s(p) = -s(1-p)