Het axioma van het haakformalisme is dat het onmogelijk is “het ervaren” te scheiden van “het laten gebeuren”. Willen we iets ervaren dan moeten we ook iets anders laten gebeuren. Dit axioma deelt het met de waarschijnlijkheidsrekening, echter: in de waarschijnlijkheidsrekening wordt het onvoldoende geëxpliciteerd en verschuilt het zich achter weinig transparant woordgebruik.

We analyseren eerst enkele eenvoudige voorbeelden en leggen de nadruk op een aantal concepten die een directe relatie hebben met de inzichten van het haakformalisme.

Ik heb de keuzevrijheid een witte dobbelsteen te werpen, steeds zal de dobbelsteen met een zijde naar boven liggen en het aantal ogen dat op die zijde zichtbaar is zal een van de getallen van 1 tot en met 6 zijn. Dit is wat ik verwacht. Dit noem ik het (eind)resultaat van het spontaan proces dat “het werpen van een dobbelsteen” is. De waarneming van een van de zes mogelijke aantal ogen van de dobbelsteen is het stabiel spoor van het bereiken van een attractor van het spontaan proces. Elk resultaat is een spoor en sluit andere resultaten uit en daardoor kunnen we resultaten tellen. Wanneer de dobbelsteen ofwel eigenschap 1 ofwel eigenschap 2 ofwel eigenschap 3, enz... eigenschap 6 vertoont (witte dobbelsteen in evenwicht op het tafelblad met de zijde met de zes stippen bovenaan), dan onderscheid ik zes elkaar uitsluitende aspecten als mogelijke resultaten. Essentieel bij een dobbelsteen is dat ik op voorhand weet welke de mogelijke aspecten zijn. Er zijn aspecten die elkaar uitsluiten (het aantal ogen bijvoorbeeld) en aspecten die ik vrij kan kiezen (bijvoorbeeld de aspecten wit, grootte en afronding van de ribben van de kubus, symbolen voor het “aantal ogen”, ondergrond, manier van gooien,...). Het zijn enkel de elkaar uitsluitende aspecten die ik kan tellen. Ze kunnen enkel gebeuren, ik kan er niet voor kiezen. Het zijn dus sporen voor de entiteit “ik gooi een dobbelsteen en kijk naar het aantal ogen dat bovenaan ligt”.

Wanneer ik me voor een dobbelsteen beperk tot de bovenliggende zijde dan zijn er maar zes elkaar uitsluitende mogelijkheden die als resultaten beschouwd worden aangezien een kubus maar zes vlakken heeft en dat aspect is voldoende om als stabiel spoor te dienen. Bij de realisatie van een worp zal er maar één van die 6 gerealiseerd worden. Het aantal mogelijke gebeurtenissen bij een realisatie is veel groter: een mogelijke gebeurtenis is: zijde 1 of zijde 5 ligt bovenaan (deze gebeurtenis is simultaan met het realiseren van zijde 1 bovenaan zowel als met zijde 5 bovenaan, dus als zijde 1 gerealiseerd wordt dan wordt simultaan de gebeurtenis “zijde 1 of zijde 5 ligt bovenaan” gerealiseerd), of zijde 1 ligt bovenaan en een van de diagonalen van het bovenvlak ligt parallel aan de noord-zuid as. Anderzijds zijn er gebeurtenissen waarvoor ik niet kan kiezen (bijvoorbeeld 6 ogen gooien), sterker nog die onmogelijk zijn, die nooit kunnen ervaren worden. Bijvoorbeeld: zijde 1 en zijde 5 ligt bovenaan; zijde 1 bovenaan en zijde 5 bovenaan sluiten elkaar immers uit.

We merken op dat het aantal mogelijke toestanden die ik zal beschouwen bij het tellen afhangt van de onderscheidingen die ik meeneem in mijn mogelijkheid als waarnemend agens-in-context, en die in mijn keuze om ze mee te nemen daardoor relevantie krijgen en aanleiding geven tot een bepaalde verwachting. Neem ik meer onderscheidingen mee, dan zijn er meer mogelijke toestanden te verwachten. Een verwachting hangt dus af van een onderscheidingen universum (onder andere de grootte ervan).

We kunnen dit met nog een ander voorbeeld illustreren. Ik kan een beker nemen en daarmee water scheppen. Als eindresultaat doet er zich hierbij slechts één bepaalde toestand voor die zich voordoet als een blijvend spoor van het proces: ik heb een bepaald volume geschept. Het resultaat is immers dat ik een duidelijk bepaald volume water in de beker behoud en bij elke actie één volume, één resultaat. Wanneer ik nu schep zal ik misschien 523,984576 ml scheppen, niet meer en niet minder. Wanneer ik even later schep zal ik misschien 527,400001 ml scheppen, niet meer en niet minder. Ik kan echter niet voorspellen wat ik juist zal scheppen (en gedurende zijn hele geschiedenis zal er met deze beker bijvoorbeeld nooit 522,000000 ml geschept worden), maar ik kan wel weten dat het altijd een volume zal zijn tussen de 0 en de 550 ml. “Een volume tussen 0 en 550ml” blijkt een realiseerbare gebeurtenis (model) te zijn. Als mijn beker maar zo groot is weet ik zeker dat ik nooit een groter volume zal scheppen. Wat ik ook zeker weet is dat ik het volume niet zal verbinden met een negatief of imaginair getal, dat zou een ervaring zijn die nooit kan optreden. Het is hiermee duidelijk dat ik geen model voor een volume van 523,984576 ml kan realiseren, dit is niet ervaarbaar, maar wellicht “gebeurbaar”. Ik kan wel een model realiseren voor een volume tussen 0 en 550 ml. Ik kan dat interval proberen kleiner en kleiner te maken. Ik kan zeker geen model realiseren voor een volume van -52 ml of 87i ml. Er zijn dus enerzijds gebeurtenissen te bedenken die ik nooit kan ervaren en die nooit kunnen gebeuren. Er zijn anderzijds gebeurtenissen te bedenken die ik nooit kan ervaren maar die wel kunnen gebeuren. Er zijn een onbegrensd aantal mogelijkheden ruimer dan “het scheppen van een volume”. Wanneer ik één van die mogelijkheden ervaar, ervaar ik simultaan het scheppen van een volume. Ik kan bijvoorbeeld een volume scheppen tussen 525.0 en 536.5 ml. Een andere gebeurtenis kan zijn dat ik een volume schep tussen 0 en 550 ml, of tussen 0 en 8000 ml. Ook hier zijn er weer gebeurtenissen die ik niet kan. Ik kan in deze beker bijvoorbeeld geen volume scheppen tussen 600 en 8000 ml. Dit is een gebeurtenis die ik me nog wel kan voorstellen en die ik zou kunnen verwachten. Een volume tussen 0 en -500 ml (negatief dus) kan ik me zelfs niet meer voorstellen, laat staan verwachten. Maar ervaar of realiseer ik nu wat ik kan, dus schep ik, dan is er altijd een welbepaald volume in mijn beker dat ik niet had kunnen kiezen maar wel had kunnen verwachten. Elke realisatie heeft een resultaat dat waarneembaar is als het stabiel spoor na een spontaan proces en sluit een andere uit. Dit is een van de eigenschappen van deze keuzevrijheid. Schep ik een volume van 550 ml dan realiseer ik daarenboven simultaan de gebeurtenis “ik schep een volume tussen 540 en 560 ml”. En uiteraard realiseer ik tevens meerdere gebeurtenissen, bijvoorbeeld de gebeurtenis “ik schep een volume tussen 549 en 678 ml”. Zo kan ik me voorstellen dat er steeds gebeurtenissen te bedenken blijven die fijner zijn en dus meer keuzemogelijkheden hebben.

Ik kan hetzelfde ook doen met abstracte wiskundige symbolen die ik een (itererend) proces laat meemaken, of met machines die mij (itererend) een bepaald product afleveren met een waarneembare eigenschap.

Dank zij de voorbeelden is het duidelijk geworden dat we in de standaard taal “rond het fenomeen” kunnen vertellen maar dat we eigenlijk voortdurend op onze hoede moeten zijn voor wat er onderliggend bedoeld wordt. Sommige gebeurtenissen worden gerealiseerd die anders zijn dan degene die ik kan kiezen. Zij kunnen gebeuren en dus kan ik ze verwachten. Maar wat er gebeurd is kan ik slechts achteraf vaststellen dank zij het spoor dat achterlaten wordt, ik kan er niet op voorhand voor kiezen en wanneer er geen spoor achtergelaten wordt dan kan ik niet waarnemen dat iets gebeurd is. Deze gebeurtenissen noemt men in de standaard taal een willekeurige gebeurtenis, een eigenschap van de gebeurtenis neemt een concrete waarde aan “enkel beïnvloed door het toeval”. Zo’n eigenschap wordt in de waarschijnlijkheidsrekening een toevallige veranderlijke genoemd, en dank zij de inzichten die in het haakformalisme ontwikkeld zijn beseffen we nu hoe dit gerelateerd is aan de constructie van de entiteit die we beschouwen.

Er zijn realisaties van de entiteit E die we kunnen verwachten maar die we niet kunnen kiezen. Zij zijn realisaties van E en niet van <E> want een specifieke realisatie van E is niet relevant voor het herkennen van E, is toeval, zal E niet veranderen, zal niet plots <E> realiseren. Een specifieke realisatie van E (noem deze E'), zal wel anders zijn dan een specifieke andere realisatie (noem deze E''). Beide zullen elkaar uitsluiten, formeel zal dus <E'><E''> gelden. E zal te beschrijven zijn als een distributie van realisaties Ei die elkaar uitsluiten en die zouden kunnen gebeuren, en dus zelfs op voorhand of a priori, wat door het begrip “verwachting” uitgedrukt wordt. Het is duidelijk dat deze uitspraak alleen maar zin heeft als de geconstrueerde entiteit E voldoende stabiel is om er herhaaldelijk voor te kunnen kiezen. Een realisatie van E kunnen we ook als <E> beschouwen, maar enkel bij de waarneming zelf.

In het ervaren van E gebeurt ook iets anders dan E. Iets anders dat gebeurt is datgene waarvoorhet agens niet kan kiezen als hij kiest voor E, het is dus <E> en dat beschrijft de resultatenruimte van het ervaren van E, het ervaren van E waarvoor het agens wel kan kiezen. De resultatenruimte is een ruimte van sporen, dus emergente, toegevoegde eigenschappen aan E die een specifieke realisatie kunnen karakteriseren. Iets anders dan E is dan momentaan waarneembaar als een spoor dat ontstaat. Alle sporen <E>i sluiten elkaar uit en genereren allemaal E, er geldt dus E<<E>i> en dus voor een individuele <E>k geldt EEk. Dus EEk heeft waarde <>. Vanuit de hypothese van elkaar uitsluiten geldt ook <Ei> heeft waarde <<>>, dus Ei heeft waarde <>. Interpretatie: we ervaren altijd iets en dus het achterlaten van sporen is onvermijdelijk. Er geldt de relatie E<<E>i>, dus die welgevormde haakuitdrukking heeft altijd waarde <>. Dus <E>i is het supremum van E, het is een mogelijkheid maar geen van de individuele <E>k kan gekozen worden, het is dus een verwachting. Een individuele <E>k wordt wel herkend als E.

Een uniek moment in de tijd hebben we ook kunnen coderen door een conjunctie met een onderscheiding die enkel op dat moment relevant is en die niet te kiezen is. Noem deze bijgevoegde onderscheiding <F> dan geldt dat <E>k niet kan onderscheiden worden van <<E>F> dus Ek kan niet onderscheiden worden van <E>F en inderdaad EEk heeft waarde <>. Dus de sporen kunnen we bestuderen als de conjuncties <<E>F> die slechts op één moment beschikbaar zijn. Hierbij kan ik verschillende <F> verwachten maar ik kan er niet voor kiezen, ik heb de mogelijkheid Fi en dit is dus niet anders dan de veronderstelling Ei heeft waarde <> in de vorige paragraaf. Hiermee tonen we aan dat we sporen een andere naam kunnen geven, maar ook dat we ons enkel moeten concentreren op een tralie waarvan de punten die ruimer zijn dan E te verwachten zijn maar niet te kiezen zijn. Een E uit die tralie die wel te kiezen is doet zich altijd voor als een individueel resultaat Ei dat niet te kiezen is. Dus E is niet te onderscheiden van de verwachting van een individuele Ei maar dit mogen we niet verwarren met de ervaarbare keuzevrijheid Ei. Dus stellen we dit voor door <Ei>. Dit is het essentieel nieuwe dat aangeboden wordt in de waarschijnlijkheidsrekening.