Andersduale toestanden kunnen niet atomair zijn, maar elke atomaire toestand kan in een groter universum afgebeeld worden op een andersduale toestand in dat universum. De eigenschap van uitsluiting van een toestand blijft behouden: andersduale toestanden zijn telbare entiteiten die elkaar uitsluiten. Andersduale atoomburen zijn entiteiten met het hoogste aantal karakteriserende eigenschappen omdat ze de uitdrukking zijn van een situatie waarin alle onderscheidingen behalve minstens één in een universum dezelfde waarde hebben.

Het aantal elkaar uitsluitende entiteiten (andersduale toestanden, toestanden op even niveau) en het aantal toestanden (gelinkt aan een niveau of niet), dat te tellen is in verschillende universa kunnen we dus berekenen en hun onderlinge relaties als som weergeven. Die som is de intensiteit van een aantal eenheden van dezelfde soort.

Zoals bij elke telling zijn er twee mogelijkheden: er is een conjunctie te construeren met andere onderscheidingen met dezelfde waarde en zo ontstaat een monotoon pad in de richting van <<>>, of er is een disjunctie te construeren met andere onderscheidingen met dezelfde waarde en zo ontstaat een monotoon pad in de richting van <>. Dus als we het concept “telbare entiteiten die elkaar uitsluiten” introduceren dan introduceren we ook de operatie “tellen” die ofwel een conjunctie is, ofwel een disjunctie. We beschouwen dus ofwel het deel van de tralie tussen het centraal niveau en <<>>, of de inbedding daarvan: het deel van de tralie tussen het centraal niveau en <>. Omdat conjunctie voor het klassieke wereldbeeld een goed begrepen operatie is (in tegenstelling met de disjunctie die helaas niet begrepen wordt), hebben we gekozen voor de conjunctie als de operatie “tellen”. Som en verschil van getallen is met de conjunctie heel helder gedefinieerd.

We kiezen dus als representatie van een telbare haakuitdrukking de vorm <x_n><<x>_n>, de disjunctie van de contradualerende AND-atomen <x_n> en <<x>_n>. Dit is een welgevormde haakuitdrukking die verschillende symmetrieën vertoont. Hierin is n het getelde aantal en door aan de welgevormde haakuitdrukking <x_n><<x>_n> de waarde <> toe te kennen drukken we uit dat de n onderscheidingen dezelfde waarde hebben. We mogen dat aantal onderscheidingen n niet verwarren met het aantal AND-atomen waarvan er dus 2ⁿ zijn. Elk van deze AND-atomen is een variant van het patroon <x_n> (alternatief van het patroon <<x>_n>).

Tellen is een heel krachtig instrument omdat bijvoorbeeld het aantal posities in het bitstring model ook geteld kan worden en dus afgebeeld kan worden op de intensiteit van een welgevormde haakuitdrukking en het aantal posities in een bitstring hebben we dank zij het stappenmodel ook gekwantificeerd, model dat gebruikt kan worden voor onderscheidingen universa met een onbekend aantal onderscheidingen. En het besluit van dat onderzoek is in het kort dat we pas een relatie kunnen definiëren die zich gedraagt als een klassiek associatief product wanneer we een “laatst toegevoegde onderscheiding” veronderstellen en dus een “grootste onderscheidingen universum” dat van stap tot stap kan variëren.

Rekening houdend met al deze inzichten en veronderstellingen zullen we nu voor een telbare toestand ook de naam deeltje gebruiken aangezien toestanden elkaar uitsluiten en dat dit begrip impliciet verondersteld wordt bij het begrip “deeltje”. Als men over meerdere deeltjes spreekt impliceert dit dat men over een intensiteit van een deeltje spreekt, het deeltje is dan de bedoelde entiteit. Dit impliceert dus ook dat men veronderstelt dat die deeltjes “van dezelfde soort” zijn (er zijn dus meerdere deeltjes van dezelfde “soort deeltje”). Dat betekent dat ze geen andere entiteit of deeltje vormen door een bepaald gedrag (bijvoorbeeld door coördinatie). Als men dan toch van gedrag spreekt dan impliceert dit dat men de dynamiek (het gedrag) van de intensiteit van een deeltje bedoelt of dat men de relatie tussen de intensiteiten van verschillende soorten deeltjes bedoelt.

We gebruiken het begrip “deeltje” dus zoals het gekend is in de statistische mechanica en de kwantummechanica omdat in die kennisdomeinen “deeltjes” een soort individualiteit hebben die ofwel als evident beschouwd worden maar individueel ongrijpbaar (statistische mechanica) of die vaag geformuleerd wordt (een deeltje is waarschijnlijk in de kwantummechanica). In beide theorieën “onderscheiden deeltjes zich niet van elkaar hoewel ze toch een individualiteit hebben”. In de statistische mechanica en de kwantummechanica gebruikt men dan ook een ander woord voor “intensiteit”, men kiest voor “meervoudigheid” om een verschil te kunnen maken tussen “toestanden met of van een uniek deeltje” versus “toestanden met meerdere deeltjes, die door meerdere deeltjes kunnen ingenomen worden”. Dit impliceert dat men toestanden beschouwt als eenheid en deeltjes als intensiteit van die eenheid. Inderdaad, het aantal toestanden is fundamenteler, door het feit dat ze elkaar uitsluiten kunnen ze geteld worden en de verdeling ervan in de tralie hebben we bestudeerd.

In een zeer sterk verdund gas (bestudeerd in de statistische mechanica) kan men spreken van deeltjes die stabiel verondersteld worden. Het gedrag dat ze vertonen is met elkaar botsen en energie uitwisselen en dat gebeurt ongecoördineerd. Dat gedrag is gerelateerd aan de hoeveelheid energie, hoe meer energie, hoe krachtiger en frequenter de botsingen. De deeltjes zijn er en blijven er. In de kwantummechanica moest men echter vaststellen dat veel deeltjes niet stabiel zijn en men moet meer en meer gesofisticeerde testopstellingen bedenken om te detecteren welke soorten deeltjes er onderscheiden kunnen worden en wanneer. Dan wordt ook de vraag belangrijk hoe ze ontstaan van zodra voldoende energie beschikbaar is. Dit heeft geleid tot het standaardmodel van de deeltjesfysica.

In de taal van het haakformalisme (waarbij we een, operationeel te duiden, verschil maken tussen entiteit en intensiteit) is meervoudigheid in een toestandsruimte heel helder doordat dit gemodelleerd wordt door “deeltjes” als welgevormde haakuitdrukkingen te interpreteren waarvan een aantal in het hoogste universum dezelfde waarde kunnen hebben die nog niet gekend is en er maar twee waarden mogelijk zijn. Het is dan ook gemakkelijk aan te tonen dat de meervoudigheid i+n de meervoudigheid i impliceert. Als we het begrip “deeltje” gebruiken voor “toestand” dan hoeven we ook nog geen beslissing genomen te hebben of dat nu elkaar uitsluitende toestanden zijn (allemaal met waarde <<>>) of elkaar insluitende toestanden (allemaal met waarde <>).

Ook de verdeling van deeltjes over verschillende soorten toestanden is helder. Aangezien andersduale welgevormde haakuitdrukkingen enkel op de even niveaus kunnen voorkomen, betekent dit dat de verdeling van het aantal andersduale toestanden als atoomburen in een n universum de verdeling zal zijn van het aantal toestanden in een n-1 universum. Elk van die toestanden kan dan een intensiteit hebben die kan geïnterpreteerd worden als het aantal deeltjes in die toestand. Een atomaire toestand in een bepaald universum kan daarom altijd in een groter universum geteld worden en dit geldt voor elke soort toestand en in uitbreiding dus ook voor elke welgevormde haakuitdrukking omdat die altijd in een één onderscheiding universum uit te drukken is. Dus elke soort toestand kan één (soort) deeltje zijn (zoals elke soort toestand ook een onderscheiding kan zijn) in een daarvoor geschikt groter universum en dus ook in het onvermijdelijke grootste universum. Wat we tellen is dan minimaal twee (omdat de deeltjes zich niet onderscheiden en dus minimaal met twee moeten zijn als transformatiekoppel) en we tellen een aantal deeltjes van dezelfde soort, en dit zijn onderscheidingen met dezelfde waarde, waarde die verder niet bekend is maar slechts 2 vormen kan aannemen: ofwel “ja” ofwel “neen”.

Rekenen

Rekenen kan alleen maar met aantallen of dus intensiteiten (van iets) of meervoudigheden (van iets). Het samenstellen van iets (een relatie) wordt soms ook rekenen genoemd, maar dan rekenen we met verschillende soorten eenheden of intensiteiten van verschillende soorten die onderling slechts met sommige operaties kunnen verbonden worden. Dit herkennen we bij de soorten getallen die dan gebruikt worden (complexe getallen met twee soorten getallen, quaternionen met vier soorten getallen, en hun meer technische uitbreidingen: matrices, tensoren enz… met meerdere soorten getallen en getallen die in andere getallen ingebed zijn).

Het haakformalisme geeft de mogelijkheid om de mogelijke relaties tussen soorten maximaal te exploreren omdat we een welgevormde haakuitdrukking altijd als een concatenatie van andere uit een lager universum kunnen beschouwen en we de grootte van het onderscheidingen universum dus als parameter kunnen zien. We gaan nu twee entiteiten beschouwen: enerzijds iets wat we deeltje noemen, een telbare entiteit, anderzijds iets wat we positie noemen, eveneens een telbare entiteit. Om dit duidelijk te maken nemen we twee aantallen: n en m. Per definitie zijn ze van een bepaalde soort. Minimaal kunnen we dus veronderstellen dat ze van twee verschillende soorten zijn (anders hadden we nooit van twee aantallen gesproken die een verschillend symbool toegewezen kregen, een tweede soort is immers nodig als we het model willen gronden in het ervaren zelf). Maar die twee verschillende soorten zijn onvermijdelijk en impliciet concretiseringen van een derde soort, ze kunnen zich enkel onderscheiden ten opzichte van een derde soort (die dan een soort is waarin ze zich niet onderscheiden). We kunnen twee soorten dan afbeelden op een welgevormde (1 en 0) of een gecollapste (. en x) bitstring. Hierin hebben we een vrije keuze. Bijvoorbeeld: er zijn n hoog-bits (eerste soort) en m laag-bits (tweede soort) dus er zijn m+n posities in de bitstring (de derde soort, de abstractie van zowel de hoog-bits als de laag-bits, de positie is concreet ofwel een hoog-bit ofwel een laag-bit, m+n is een concatenatie of nevenschikking van posities en die maximale concatenatie kent 2^(m+n) concrete realisaties), of: er zijn m hoog-bits (eerste soort) en nn posities (tweede soort, de abstractie van zowel de hoog-bits als de laag-bits) dus er zijn n-m laag-bits (derde soort), of: er zijn m+n bits (eerste soort) en m-n bits (tweede soort) dus er zijn 2m bits (of 2n bits (derde soort). Deze keuzen maken duidelijk dat we voor het gebruiken van aantallen veel correcter over “diepte in de tralie” spreken in plaats van positie omdat het aantal hoog-bits, het aantal laagbits en het aantal posities met elkaar gerelateerd zijn, en die aantallen zijn niet geordend. Een voorbeeld van het berekenen van aantallen maakt dit concreet.

Neem als voorbeeld van een soort de bitstrings met 2 laagbits (0) en 6 hoogbits (1) in drie onderscheidingen. Daar is dat dus een atoombuur. De soort kunnen we karakteriseren door twee getallen, in dit geval bijvoorbeeld 2 en 6 of 2 en 8 (aantal laagbits en totaal aantal) zodanig dat er drie getallen betrokken zijn die met elkaar gerelateerd zijn door een som (verschil). We hebben bewezen bij ons onderzoek naar aantallen toestanden dat er voor elk aspect op dat niveau 15 uitsluitende punten zijn op dat niveau. Sommige daarvan zijn andersduaal. Neem het andersduaal punt 11100111 dan zullen terug 15 punten op dat niveau uitgesloten worden waarvan er drie andersduaal zijn, namelijk 11011011, 10111101 en 01111110. Het totaal is dus 4 andersduale toestanden en dit komt overeen met het aantal toestanden (dus elkaar uitsluitende welgevormde haakuitdrukkingen) op één niveau lager in een twee onderscheidingen universum. Al de aantallen die mogelijk zijn, zijn op een fractaal manier met elkaar verbonden.

De keuze voor “soort bit” en “positie” maakt het ook gemakkelijk om de twee getallen m en n met elkaar te vergelijken en daar de gevolgen van te onderzoeken. De soort entiteit is in het eerste geval “deeltje” en we geven elk deeltje een zelfde symbool, er zijn dus m identieke symbolen. Deze kunnen we aanduiden als <<A>> of <<B>> of <<>> enz… zoals in het stappenmodel van het haakformalisme. In het tweede geval is de soort entiteit “positie” en de positie is op zich al een symbool, er zijn dus n posities voor de m identieke symbolen. Welke naam we ook zouden geven aan deze aantallen: ze staan los van elkaar. Als we dus één aantal kiezen dan staat het andere aantal daar los van, en indien we het enige axioma van het haakformalisme willen modelleren met aantallen dan kan dat. Dat betekent dat we één aantal kiezen en dan “achteraf” moeten vaststellen wat het andere aantal wel is. Deze hele problematiek herkennen we in het onderzoek naar “aantallen deeltjes van een bepaalde soort” of “meervoudigheid van deeltjes” zoals het begrip gekend is in de statistische mechanica en de kwantummechanica en we zullen hieronder die relatie expliciteren.

m<n

Stel dat m kleiner is dan n dan zijn er n-m vrije posities die dan ingenomen kunnen worden door een ander symbool, anders dan de soort van m. Voor het eerste symbool van m zijn er n mogelijkheden om het een positie te laten innemen, voor het volgende zijn er n-1 mogelijkheden, voor het volgende n-2 mogelijkheden enz… als n gelijk is aan m dan bereiken we in die reeks mogelijkheden n-m+1 en daar stopt het want dat betekent dat die positie ingenomen werd door het laatste symbool waarvan er maar m zijn (immers: het eerste heeft n-(1-1)=n mogelijkheden, het tweede heeft n-(2-1)=n-1 mogelijkheden, …, het m-de heeft n-(m-1) mogelijkheden en dit is n-m+1). Het totaal aantal mogelijkheden is dan n(n-1)(n-2)...(n-m+1). Als we nu veronderstellen dat de m symbolen zich niet onderscheiden (ze zijn van dezelfde soort), dan moeten we dit product nog delen door m!, zoals in de combinatoriek beschreven wordt. We merken nu op dat n(n-1)(n-2)...(n-m+1) kan geschreven worden als n!/(n-m)! Inderdaad: n!=n(n-1)(n-2)...(n-m+1)(n-m)(n-m-1)...1 en (n-m)!=(n-m)(n-m-1)...1. Het aantal mogelijkheden wordt dan gegeven door n!/m!(n-m)!. Dus als m kleiner is dan n dan zijn er voldoende onderscheidingen voorhanden om een afbeelding te vinden op een welgevormde of gecollapste haakuitdrukking. We kunnen vrij kiezen om de soort van m op 0, 1 of x af te beelden, de tweede soort die we nodig hebben voor een al dan niet welgevormde haakuitdrukking neemt dan n-m posities in. Het aantal mogelijkheden voor de eerste soort (de soort waarvan er m zijn) wordt dan gegeven door n!/m!(n-m)! en dat is dan ook exact het aantal mogelijkheden voor de tweede soort (de soort waarvan er n-m zijn).

Hierin herkennen we de meervoudigheid die de Fermi-Dirac verdeling voor fermionen beschrijft. Een grafiek is weergegeven bij de studie van het aantal toestanden. Inderdaad fermionen (bijvoorbeeld elektronen) zijn deeltjes van dezelfde soort (de soort met intensiteit m) en er kan maar één fermion zich in een bepaalde “micro-toestand” n_i bevinden (in het haakformalisme als bitstring model is dat een positie). We merken nu op dat n!/m!(n-m)! het aantal geeft van mogelijkheden op één niveau in een tralie waarbij n staat voor het aantal posities in het bitmodel (dus het aantal AND-atomen of het aantal OR-atomen) en m staat voor het aantal bits van dezelfde soort en dus ook staat voor de diepte in de tralie. Stel dus dat een fermion bijvoorbeeld afgebeeld wordt op een hoog-bit en veronderstel dan m hoog-bits, dan wordt een welgevormde haakuitdrukking afgebeeld op een aantal fermionen die individueel een positie ingenomen hebben, waarbij er lege posities overblijven, namelijk de posities die we afbeelden op een laag-bit. Impliciet ligt het aantal posities dus vast omdat we kunnen veronderstellen dat dit groter is dan het aantal fermionen. Een individueel fermion wordt op een hoog-bit afgebeeld dat betekent impliciet dat elk van een andere soort is doordat ze elk een andere positie (“micro-toestand”) innemen hoewel ze zich niet onderscheiden. Dit is het Pauli uitsluitingsprincipe.

Het maximum aantal mogelijkheden wordt bereikt als de niveaus onafhankelijk zijn. Dat betekent dat het niveaus zijn van verschillende tralies in een overkoepelend onderscheidingen universum en dat daarin de aantallen van dezelfde bits (hoogbits of laagbits) geteld worden. Die tralies worden dan geconcateneerd in het model zoals aangetoond in het stappenmodel en de modellering van een aantal kan dan als product in een grootste universum. Het maximum aantal mogelijkheden is dan het product van de aantallen op elk niveau en dus gelijk aan Π_m(n!/m!(n-m)!). De Fermi-Dirac verdeling is inderdaad begrensd door het maximaal aantal posities en het maximum aantal tralies of dus het grootste onderscheidingen universum dat nodig is om “alle deeltjes een unieke plaats te geven” (het Pauli uitsluitingsprincipe).

Dit zou ook de hypothese kunnen voeden dat een soort fermion (bijvoorbeeld een elektron, een proton, een neutron, ….) een spoor is van een welgevormde haakuitdrukking (als toestand, infimum van gelijkwaardige toestanden die het infimum realiseren) die een waarde toegewezen kreeg in een gekozen groter universum (dus operationeel gekozen om het spoor van een neutron bijvoorbeeld mogelijk te maken) maar zich door die keuze daar op een welbepaald niveau bevindt. De soort fermion is dan afhankelijk van zijn context die het noodzakelijk gevolg is van een maximaal universum.

Het is dus de a priori keuze van een onderscheidingen universum die alle welgevormde haakuitdrukkingen het karakter geeft van een fermion. We ervaren altijd in een gekozen structuur, dus een gekozen tralie en in die structuur bevinden zich onderscheidbare soorten op verschillend niveau in de tralie.

m>n

Stel dat m groter is dan n dan zijn er niet genoeg posities om de m symbolen een plaats te geven. Om dit op te lossen zijn er veel mogelijkheden die een disjunctie zijn van (1) toename van het aantal onderscheidingen en dus het aantal atomaire toestanden (die overeenkomen met het aantal posities) of (2) dat er sommige posities door meerdere identieke symbolen kunnen bezet worden, de positie krijgt dus een intensiteit die verschilt van 1, wat geïnterpreteerd kan worden dat die positie in de tralie dieper ligt dan het niveau van de atomaire toestanden en door meerdere atomaire toestanden gerealiseerd kan worden. Concreet betekent dit dus dat we het aantal posities vrij kunnen kiezen en altijd een afbeelding van een welgevormde haakuitdrukking kunnen vinden op gelijk welk gekozen niveau.

In de praktijk kunnen we de tweede mogelijkheid eens helemaal uitschrijven omdat hiermee het verband met de kwantummechanica duidelijk wordt. Stel dus dat we alle posities met een of meer symbolen van dezelfde soort vullen, dan merken we op dat de bitstring die we zo construeerden zich niet onderscheidt van een waarde (<> of <<>>). Maar dat is een brug te ver omdat we minstens twee soorten nodig hebben om een onderscheiding te modelleren die in het ervaren kan gegrond worden, die ons dus in staat stelt ofwel “ja” ofwel “neen” te zeggen en die dus niet a priori al een waarde heeft. We stoppen het vullen van posities dus op m-1 om nog minstens één ander symbool toe te laten en het totaal aantal posities dat we dan nodig hebben is m-1+p met p een willekeurig aantal (een aantal dat we vrij kunnen kiezen). Dat is niet anders dan m+n’ met n’=p-1. Dus n<m<m+p-1. Dat modelleert dan een waarde in dat willekeurig groter universum als p=1, een atomaire toestand in dat grotere universum als p=2 en een willekeurige welgevormde of gecollapste haakuitdrukking als p groter is dan 2. Dat betekent dus dat de keuze van p de diepte bepaalt in een vrij te kiezen tralie met meer atomen dan n. Het aantal mogelijkheden waarop dit totaal aantal posities dan ingenomen kan worden is dan (m-1+p)! Aangezien de m symbolen zich niet onderscheiden moeten we nog delen door m!, en aangezien de p-1 symbolen zich evenmin onderscheiden moeten we ook nog delen door (p-1)!. Het aantal mogelijkheden op een niveau dat vrij kan gekozen worden door p te variëren wordt dan gegeven door (m-1+p)!/m!(p-1)!. Het maximum aantal mogelijkheden wordt bereikt als de niveaus onafhankelijk zijn (en dus niveaus zijn van verschillende tralies die geconcateneerd worden zoals in het eerste geval). Het maximum aantal is dan het product van de aantallen op elk niveau en dus gelijk aan Π_m(m-1+p)!/m!(p-1)!.

Hierin herkennen we de meervoudigheid die de Bose-Einstein verdeling van bosonen beschrijft. Een grafiek is weergegeven bij de studie van het aantal toestanden. Inderdaad bosonen (bijvoorbeeld fotonen) zijn deeltjes van dezelfde soort en er kunnen meerdere bosonen zich in een bepaalde “micro-toestand” (een bepaalde positie, een bepaalde diepte in de tralie) bevinden. De Bose-Einstein verdeling is niet begrensd omdat het onderscheidingen universum niet vastligt en vrij kan gekozen worden (dit is gemodelleerd door het aantal p). Dat betekent dus dat ook het aantal niveaus vrij kan gekozen worden en dus ook het aantal elkaar uitsluitende punten per niveau en dus ook de verdeling ervan over de niveaus. Dit verklaart waarom men zegt dat voor bosonen “elke mogelijke distributie even waarschijnlijk is” er ligt immers a priori niets vast, het onderscheidingen universum is vrij te kiezen. Dit zou de hypothese kunnen voeden dat de keuze van bosonen het onderscheidingen universum vastlegt en daardoor ook het mogelijk aantal relaties dat welgevormde haakuitdrukkingen (fermionen binnen dat universum) met elkaar kunnen hebben. Bosonen worden inderdaad begrepen als de interactie tussen fermionen. Als we een begrenzing willen vinden voor bosonen dan kan dat enkel maar energetisch (en dus materieel) zijn als uitdrukking van een grootste onderscheidingen universum dat ons onvermijdelijk gebeurt. Dit is inderdaad compatibel met hoe we energie in het haakformalisme modelleren.

Het is dus de a posteriori keuze van een onderscheidingen universum die alle welgevormde haakuitdrukkingen het karakter geeft van een boson. Wat er gebeurt, gebeurt ook altijd in een structuur die we niet gekozen hebben. We starten altijd met een fermionen structuur in een voldoende groot universum om dat mogelijk te maken, structuur die achteraf bosonen blijkt te genereren.

n=m

In het geval m<n hebben we gevonden dat het aantal toestanden gegeven wordt door n!/m!(n-m)!. Dus als n=m is dit aantal n!/n!0!=1. Dit kunnen we afbeelden op een unieke waarde (ofwel <<>> ofwel <>). In het geval m>n hebben we gevonden dat het aantal toestanden gegeven wordt door (m-1+p)!/m!(p-1)!. Dus als n=m+m’ met m’=p-1 gelijk is aan n=m dan is m’=0 en is het aantal toestanden n!/n!0!=1. We hebben opgemerkt dat p=1 betekent dat een waarde gemodelleerd wordt.

Die waarde kunnen we voorstellen als <<>>. <<>> sluit elke andere welgevormde haakuitdrukking uit en deze laatste uitspraak legt gewoon een extremum van de tralie vast. De enige telbare entiteit die nu overblijft is de grootte van het onderscheidingen universum log₂n, of gelijkwaardig de lengte 2ⁿ van de bitstring van gelijke symbolen die <<>> afbeeldt, en dat is een intensiteit. Dit unieke geval kan dus een intensiteit hebben: een aantal deeltjes in een toestand, of een aantal deeltjes van een soort die zich onderscheidt maar toch door hetzelfde symbool voorgesteld wordt (bijvoorbeeld <<>>, en hoewel we hetzelfde symbool gebruiken sluit elke bit een andere uit, we tellen de intensiteit van één soort bit). We kunnen natuurlijk in plaats van de hoogbit ook de laagbit of de don’t care bit gebruiken, waarbij dan in het laatste geval de afgebeelde waarde de lengte geeft van de alnul vector.

In het algemeen geldt: als N entiteiten van een bepaalde soort zijn of als er zich N entiteiten in een bepaalde toestand bevinden (die dan een bepaalde soort entiteit is), dan sluiten de meervoudigheden elkaar niet uit (als ik voor N entiteiten kies dan kies ik simultaan voor N-1 entiteiten). In het algemeen zijn “N entiteiten” dus geen som van N toestanden. In het algemeen hebben N entiteiten dezelfde waarde die verder niet gekend is en zijn ze de intensiteit van iets. In het geval n=m is de waarde wel gekend, namelijk <<>>, en een entiteit met waarde <<>> sluit elke andere entiteit uit. Wat we dus modelleren met N entiteiten is de grootte van de bitstring die <<>> afbeeldt (of <>, of X, maar we moeten een keuze maken). We verlaten hier de keuze om een entiteit (deeltje, onderscheiding) als een soort te beschouwen, anders gezegd: elk deeltje is een soort op zich en elke soort is een deeltje en het enige verschil dat we zouden kunnen maken is dat we meer of minder soorten, meer of minder deeltjes veronderstellen. Het centraal axioma van het haakformalisme kan zich hier dan maar op één manier uiten: kiezen we voor soorten dan zullen we meer deeltjes vinden, kiezen we voor deeltjes dan zullen we meer soorten vinden. Er zijn dus nog steeds twee aantallen, maar het zijn aantallen met dezelfde waarde, voorgesteld door hetzelfde symbool. De deeltje/soort kunnen we dan voorstellen als één hoog-bit (<<>> geïnterpreteerd als slechts één hoog-bit) en die hoog-bit heeft een bepaalde intensiteit: het aantal deeltjes “in die toestand” (“van die soort”). Laten we nu kiezen om de grootte van het universum gelijk te stellen aan het aantal toestanden (de grootte van de bitstring waarin <<>> uitgedrukt wordt) en dan deeltjes te meten. We gaan er van uit dat we dan dezelfde grootte zouden moeten vinden als we het aantal deeltjes zouden kiezen (de grootte van de bitstring waarin <<>> uitgedrukt wordt) en dan het aantal toestanden zouden meten. Als het zinvol zou zijn zouden we een toestand kunnen karakteriseren als een energieniveau (een aantal energie pakketjes, een aantal mogelijkheden), waarbij we enkel maar een andere naam zouden verzinnen.

We kiezen nu het aantal toestanden (de grootte van de bitstring waarin <<>> uitgedrukt wordt). Dat aantal is begrensd maar we kunnen het aantal toestanden vrij kiezen, het zijn de relevante, meetbare mogelijkheden en met het telbare paradigma zouden dit dus een aantal energie pakketjes kunnen zijn. We kunnen het aantal deeltjes dan niet meer vrij kiezen, het zijn de relevante, meetbare deeltjes (gegeven de context, gegeven de meetprocedure enz...). Stel dat we n<N toestanden onderscheiden, allemaal gemodelleerd als een telbare waarde, voorgesteld door een identiek symbool, de hoog-bit (als we willen en als eenheid 2 nemen, en elke bit dus voorstellen als twee hoogbits, dan kunnen we ons voorstellen dat elke toestand het supremum is van een onderliggende, ongekende tralie van één onderscheiding in een één onderscheiding universum, of als we als eenheid k nemen, dat elke toestand dat het supremum is van een onderliggende, ongekende tralie van één onderscheiding in een log₂k onderscheiding universum). We kunnen nu niet anders dan te veronderstellen dat we over een vast aantal deeltjes N>n beschikken (die we niet gekozen hebben). Maar dat betekent dus dat ze zich in gelijk welke toestand bevinden van de n mogelijke toestanden die we onderscheiden. Ze zouden zich allemaal in dezelfde toestand kunnen bevinden, of ze zouden over een aantal toestanden verdeeld kunnen zijn. De waarschijnlijkheid van elke toestand is even groot: 1/n. Dit heeft enkel zin als n verschilt van 1. Het eerste deeltje heeft n mogelijkheden, het tweede eveneens, enz… tot het Nde deeltje. Het totaal aantal mogelijkheden is dus n.n.n...n of n^N en dus de waarschijnlijkheid dat het deeltje zich in een toestand bevindt is n^-N. De onbekende in dat getal is N. De intensiteit bevindt zich in de exponent.

We kunnen nu de waarschijnlijkheid berekenen van een bepaalde verdeling. Stel dat er zich N₁ deeltjes bevinden in de eerste toestand, N₂ deeltjes bevinden in de tweede toestand, enz…. Stel N₁ deeltjes in de eerste toestand, dat kan op N!/N₁!(N-N₁)! manieren. Er zijn dan nog N-N₁ deeltjes over voor de tweede toestand. Stel N₂ deeltjes in de tweede toestand, dat kan dan op (N-N₁)!/N₂!(N-N₁-N₂)! manieren. Er zijn dan nog (N-N₁-N₂) deeltjes over voor de derde toestand. Stel N₃ deeltjes in de derde toestand, dat kan dan op (N-N₁-N₂)!/N₃!(N-N₁-N₂-N₃)! manieren. Er zijn dan nog (N-N₁-N₂-N₃) deeltjes over voor de vierde toestand. Het totaal aantal mogelijkheden tot aan de derde toestand is dus het product van deze combinaties, namelijk (N!/N₁!(N-N₁)!)((N-N₁)!/N₂!(N-N₁-N₂)!)((N-N₁-N₂)!/N₃!(N-N₁-N₂-N₃)!). Factoren in teller en noemer heffen elkaar op zodanig dat er overblijft: (N!/N₁!)(/N₂!)(/N₃!(N-N₁-N₂-N₃)!). Stel dat na drie toestanden alle deeltjes verdeeld zijn (we hebben wel moeten veronderstellen dat dit een beperkt aantal is) dan is de factor (N-N₁-N₂-N₃) gelijk aan nul. Het is nu gemakkelijk in te zien dat het aantal mogelijkheden van een bepaalde verdeling (een aantal deeltjes in de i-de toestand) gegeven wordt door N!/Π_i(N_i!) met Σ_iN_i=N en i van 1 tot n. Om de waarschijnlijkheid van die verdeling te vinden moeten we dan enkel nog delen door het totaal aantal mogelijkheden n^N (de deeltjes onderscheiden zich niet van elkaar) zodanig dat deze waarschijnlijkheid gegeven wordt door N!/(Π_i(N_i!)n^N). Dit herkennen we als de meervoudigheid die aan de basis ligt van de Maxwell-Bolzmann verdeling, de verdeling over een gekozen aantal toestanden van een aantal deeltjes met allemaal dezelfde gekozen en vastliggende waarde.

Deze heldere afleiding maakt duidelijk wat de veronderstelling is van “een klassiek deeltje”: interacties tussen deeltjes kunnen beschreven worden maar deeltjes blijven deeltjes en als er iets anders dan deeltjes gevormd wordt dan kan dit niet beschreven worden met dezelfde interacties. Er is van schaal en structuur geen sprake, deelentiteiten en superentiteiten zijn begrippen die buiten de veronderstelling liggen, entiteiten kunnen niet ontstaan.

Besluit: fermionen, bosonen, klassieke deeltjes en het tralie patroon

Sommige karakteristieken van fermionen, bosonen en klassieke deeltjes hebben we op een eenvoudige manier kunnen afleiden uit de verdeling van toestanden in een tralie. We hebben daarvoor niet meer nodig dan twee gehele getallen: n voor het aantal posities in het bitstring model en m voor het aantal bits met dezelfde waarde. Fermionen, bosonen en klassieke deeltjes onderscheiden zich doordat ze sporen zijn van drie verschillende soorten toestanden die onvermijdelijk met elkaar verbonden zijn. De drie soorten toestanden zijn: allemaal met een waarde voor n=m, allemaal van eenzelfde niveau in de tralie voor m<n, allemaal van gelijk welk niveau voor m>n.