We hebben gezien dat een willekeurige meervoudigheid aan gelijkaardige dingen (entiteiten) in het haakformalisme kan voorgesteld worden als het andersduaal (atoombuur) patroon <x_i><<x>_i> versus <<x_i><<x>_i>>. We bewijzen nu dat de symbolen die we gebruiken om entiteiten te tellen de ordening vertonen van de gehele getallen.

Ordening bij conjunctie van onderscheidingen met dezelfde waarde

We bewijzen nu dat voor elke positieve n geldt dat voor <x_i><<x>_i> de meervoudigheid i+n de meervoudigheid i impliceert. Dus als we m identieke entiteiten tellen, tellen we simultaan m-1 identieke entiteiten, tot men 1 entiteit telt, omgekeerd geldt dat niet. Tellen (het ervaren van het tellen) gebeurt dus altijd in een eindig universum. Dus m impliceert m-1, m is groter dan m-1, en uiteindelijk wordt 1 bereikt.

Te bewijzen: <x_i><<x>_i><<x_i+n><<x>_i+n>> is niet te onderscheiden van <>.

Bewijs:

<x_i><<x>_i><<x_i+n><<x>_i+n>>

<x_i><<x>_i><<<<x_i>>x_n><<<<x>_i>><x_n>>>

<x_i><<x>_i><<<>x_n><<><x_n>>>

<x_i><<x>_i><<<>><<>>>

<x_i><<x>_i><>

<>

QED

Bijvoorbeeld <x_i><<x>_i> is ruimer dan <x_i-1><<x>_i-1>, dus: is <x_i><<x>_i> ervaren dan is <x_i-1><<x>_i-1> simultaan ervaren.

<<x_i><<x>_i>><x_i-1><<x>_i-1>

<<<x_i-1><<x>_i-1>x_i><<x_i-1><<x>_i-1><x>_i>>

<<<><<x>_i-1>x_i><<x_i-1><><x>_i>>

<<<>><<>>>

<>

QED

Met een voorbeeld is de afleiding gemakkelijker te volgen:

<<abc><<a><b><c>>><ab><<a><b>>

<<<ab><<a><b>>abc><<ab><<a><b>><a><b><c>>>

<<<><<a><b>>abc><<ab><><a><b><c>>>

<<<>><<>>>

<>

Hieruit volgt dat elk natuurlijk getal het supremum is van getallen die kleiner of gelijk zijn.

We bewijzen dat met een voorbeeld: stel dat zowel b<a> geldt als c<a>, we bewijzen nu dat a het supremum van b en c.

We berekenen de conjunctie <<b<a>><c<a>>> en aangezien beide termen gelden heeft deze dus waarde <>

<<b<a>><c<a>>> schrijven we nu als <<b><c>><a> en dit is een disjunctie en de uitdrukking dat <<b><c>> fijner is dan a, dus a is het supremum.

QED

We geven een voorbeeld met 3 getallen die staan voor a, b en c: 8 is het supremum van getallen kleiner of gelijk aan 8 bijvoorbeeld 2 en 4, maar ook 2 en 7 of 3 en 8 enz...

Ordening bij disjunctie van onderscheidingen met dezelfde waarde

Hieruit volgt dat we de duale simultaneïteit ook bewezen hebben voor het andersduaal patroon <<x_i><<x>_i>> aangezien <x_i><<x>_i><<x_i+n><<x>_i+n>> niet te onderscheiden is van <<<x_i><<x>_i>>><<x_i+n><<x>_i+n>>. Merk op dat de simultaneïteit zich nu in de andere richting voordoet: <<x_i><<x>_i>> impliceert <<x_i+n><<x>_i+n>>, dus gebeurt <<x_i><<x>_i> dan gebeurt ook <<x_i+n><<x>_i+n>>.

Dus kunnen we aantonen dat <<x_i><<x>_i>> fijner is dan <<x_i-1><<x>_i-1>>. Inderdaad, dit is de uitdrukking <<x_i><<x>_i>><<<x_i-1><<x>_i-1>>> en dit is natuurlijk niet anders dan de zojuist bewezen uitdrukking <<x_i><<x>_i>><x_i-1><<x>_i-1>.

Hieruit volgt dat elk getal het infimum is van getallen die groter of gelijk zijn.

Het kleinste getal, dat dan het symbool 1 krijgt, komt overeen met één onderscheiding. Het is het onderscheidingsvermogen dat hier bepalend is. Maar dat betekent ook dat een gelijkaardig onderscheidingsvermogen geldt voor het grootste getal, de onvermijdelijke bovengrens.

Ordening

Deze ordening kunnen we als volgt uitdrukken: een natuurlijk getal is isomorf met een atoombuur met het aantal onderscheidingen gelijk aan dat natuurlijk getal. Concreet: heeft een entiteit n gelijkwaardige aspecten dan heeft het ook (simultaan) n-1 gelijkwaardige aspecten. Zo kunnen we de som modelleren die een gevolg zal zijn van de operatie conjunctie of disjunctie. Maar ook: de reciproque van een natuurlijk getal is isomorf met een atoombuur met het aantal onderscheidingen gelijk aan dat natuurlijk getal. Concreet: heeft een entiteit 1/n-1 gelijkwaardige aspecten dan heeft het ook (simultaan) 1/n gelijkwaardige aspecten. We zullen daarom ook de getalvermenigvuldiging in het haakformalisme modelleren.

Merk op dat voor de atomen die de meervoudigheid <x_i><<x>_i> realiseren, namelijk <x_i> en <<x>_i> de inbeddings-simultaneïteit geldt, en dat de atomen die door de meervoudigheid <<x_i><<x>_i>> gerealiseerd worden, namelijk x_i en <x>_i, de nevenschikking-simultaneïteit geldt. De twee operaties kunnen we de volgende namen geven in de standaard taal: een kleinere keuzevrijheid (disjunctie) impliceert een grotere keuzevrijheid maar een grotere eis (conjunctie) impliceert een kleinere eis.